Périmètre minimal

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Périmètre minimal
Message de lolazsasz posté le 01-12-2019 à 17:06:09 (S | E | F)
Bonjour, j'ai un problème d'un dm que je n'arrive pas à faire.
Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider ?
Voici le problème :
ABCD est un rectangle. Sachant que son aire mesure 1m2, comment choisir ses dimensions pour que son périmètre soit minimal ?
Merci de vos réponses !

Réponse : Périmètre minimal de wab51, postée le 01-12-2019 à 19:54:43 (S | E)
Bonsoir
Vous aviez certainement essayer par faire quelque chose,même si cela pourrait vous sembler être faux.Ce n'est pas du tout un problème .Le vrai handicap est de ne rien faire .Vos tentatives ,vos propositions nous aideront beaucoup pour savoir comment vous aider .
Voilà une piste à suivre
1)Désigner par x et y les deux dimensions inconnues du rectangle ABCD .
2)Exprimer l'aire du rectangle ABCD égale à 1m² en fonction de x et de y .
3)Déterminer l'expression P(x) du périmètre du rectangle en fonction de x
4)Déterminer les variations de la fonction P .Quelle est son minimum?Commencer par ce travail et on verra la suite .(pour la Q-4 ,pouvons nous savoir votre niveau ).Bonne continuation et bon courage

Réponse : Périmètre minimal de pirouette, postée le 01-12-2019 à 20:28:31 (S | E)
Bonjour,
Si j'aplatis le rectangle avec un côté égal à 10 mètres, le périmètre est supérieur à 20 mètres.
Dans l'autre sens, en choisissant la forme carré, le périmètre mesure seulement 4 mètres.
Est-ce qu'on peut descendre en-dessous de 4 mètres ?
xy = 1 avec x et y deux côtés qui se suivent.
On peut s'en servir pour étudier un périmètre inférieur à 4.
2x + 2y < 4

Réponse : Périmètre minimal de wab51, postée le 02-12-2019 à 07:28:38 (S | E)
Bonsoir pirouette
Excusez-moi,j'ai passé tout un bon moment à essayer de comprendre votre proposition ,mais hélas!personnellement ,je n'ai pas compris.Je pense aussi que la question est claire et exige évidemment une justification donc une démonstration algébrique.
On pourrait envisager que "pour une aire donnée d'un rectangle,le périmètre est minimale si ses deux dimensions sont égales" mais là ,encore ce résultat n'est pas du tout évident ,et exige un raisonnement ,une démonstration.Mais toutefois et pour la réponse à la question,en voici une figure géométrique mobile pour plus d'illustrations ,insérer le lien "C:\Users\Kova\Documents\MINIMUM.gif".Bien cordialement

Réponse : Périmètre minimal de tiruxa, postée le 02-12-2019 à 07:41:08 (S | E)
Bonjour,

Certes la réponse de Pirouette n'est pas complète mais c'est normal en forum.

Elle a le mérite d'être proche de celle l'élève qui attaque le problème sans connaissances approfondies, au départ il prend des exemples (rectangle de 10 sur 0,1) puis carré qui lui font conjecturer que le carré doit être la réponse. Ensuite il donne un début de démonstration

Le périmètre 2x+2y peut il être strictement inférieur à 4 avec y=1/x ?

ou bien x+1/x peut il être strictement inférieur à 2, on démontre vite que c'est impossible.

Réponse : Périmètre minimal de wab51, postée le 02-12-2019 à 18:27:25 (S | E)
Bonsoir à tous
La méthode envisagée dans ma première intervention est simple , abordable et bien adaptable aux compétences du programme du niveau de seconde (1ère année des lycées) et vise à déterminer le minimum d'une fonction par simple connaissance du cours (n'est-il pas déjà précisé qu'il s'agit d'un problème d'un d.m.).La 1ére démarche n'est-elle pas celle à bien mener l'intervenant à traduire mathématiquement d'abord les données du problème pour arriver à exprimer le périmètre du rectangle P en fonction de l'une des dimensions inconnues (ou variables) appelée x .Il faut aussi bien voir " qu'elle constitue le noyau ,l'idée maîtresse de la question du problème ".Et de là,et à partir de cette fonction P(x) (périmètre en fonction de x) ,le raisonnement devient encore plus facile avec "une simple étude de variation de P(x) dans l'intervalle ]0,+inf[ tout en mettant en évidence la preuve déjà de cette écriture P(x)=2(x+1/x) (somme de deux fonctions usuelles très bien connues).Toujours dans le meme cadre de vision,par simple et léger calcul du signe de P(x) constater que la fonction P change de signe dans son intervalle d'étude R*+ et par conséquent admet un minimum x=1 pour un périmètre égal à 4 .Quand à la figure adressée par image Gif,n'est qu'une sorte de curiosité pour renforcer l'interprétation et aider à vérifier le résultat.
Bien amicalement et mes remerciements à tous .

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