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Matrices, Diagonalisation
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Message de dani1505 posté le 26-04-2020 à 11:49:54 (S | E | F)
Bonjour,
j'ai un exercice à faire sur les matrices mais j'ai quelques difficultés à le finir. Voici l’exercice .
Première partie: On a :
A= (0 1)
(-2 3)
1) Calculer les valeurs propres de A.
2) Montrer que A est diagonalisable.
3) Déterminer une base de vecteurs propres de A et en déduire une matrice de passage P telle que P^-1*A*P=D soit diagonale. Exprimer les matrices D et P.
4) Calculer A^k pour tout k appartenant à N.
2ème partie: Soient u0 et u1 des nombres réels. On définit la suite (Un) avec n appartenant à N par la donnée de u0 et u1 et de la relation de récurrence:
uk+2= 3uk+1 -2uk (k appartenant à N)
1) on pose:
Uk= ( uk )
(uk+1)
Exprimer Uk+1 en fonction de Uk (avec une relation matricielle faisant intervenir la matrice A).
2)En déduire Uk en fonction de U0 (avec une relation matricielle faisant intervenir la matrice A^k).
3)Exprimer finalement uk en fonction de k, u0 et u1.
Petite indication: les U et u ne veulent pas dire la même chose.
J'ai déterminé les valeurs propres de A en calculant son polynôme caractéristique. J'ai trouvé 1 et 2 pour les valeurs propres, elles sont réelles et distinctes donc A est diagonalisable. Je suis allé jusqu'à la question 1 de la 2ème partie en trouvant que Uk+1=AUk. Pour la suite, j'ai du mal à continuer car je n'arrive pas à trouver une relation entre A^k=P*D^k*P^-1 et Uk et U0.
Merci d'avance de votre aide.
Message de dani1505 posté le 26-04-2020 à 11:49:54 (S | E | F)
Bonjour,
j'ai un exercice à faire sur les matrices mais j'ai quelques difficultés à le finir. Voici l’exercice .
Première partie: On a :
A= (0 1)
(-2 3)
1) Calculer les valeurs propres de A.
2) Montrer que A est diagonalisable.
3) Déterminer une base de vecteurs propres de A et en déduire une matrice de passage P telle que P^-1*A*P=D soit diagonale. Exprimer les matrices D et P.
4) Calculer A^k pour tout k appartenant à N.
2ème partie: Soient u0 et u1 des nombres réels. On définit la suite (Un) avec n appartenant à N par la donnée de u0 et u1 et de la relation de récurrence:
uk+2= 3uk+1 -2uk (k appartenant à N)
1) on pose:
Uk= ( uk )
(uk+1)
Exprimer Uk+1 en fonction de Uk (avec une relation matricielle faisant intervenir la matrice A).
2)En déduire Uk en fonction de U0 (avec une relation matricielle faisant intervenir la matrice A^k).
3)Exprimer finalement uk en fonction de k, u0 et u1.
Petite indication: les U et u ne veulent pas dire la même chose.
J'ai déterminé les valeurs propres de A en calculant son polynôme caractéristique. J'ai trouvé 1 et 2 pour les valeurs propres, elles sont réelles et distinctes donc A est diagonalisable. Je suis allé jusqu'à la question 1 de la 2ème partie en trouvant que Uk+1=AUk. Pour la suite, j'ai du mal à continuer car je n'arrive pas à trouver une relation entre A^k=P*D^k*P^-1 et Uk et U0.
Merci d'avance de votre aide.
Réponse : Matrices, Diagonalisation de tiruxa, postée le 26-04-2020 à 15:38:02 (S | E)
Bonjour
Pour le 2) de la deuxième partie, on peut montrer par récurrence que pour tout entier k, Uk= A^k U0
C'est en fait similaire aux suites géométriques dans R.
Ensuite la diagonalisation de la première partie a permis de calculer les A^k...
Réponse : Matrices, Diagonalisation de dani1505, postée le 26-04-2020 à 15:59:46 (S | E)
Bonjour,
Merci pour votre réponse. J’ai réussi la qst 1 et 2 mais je bloque sur la dernière. Comment s’y prendre pour exprimer uk en fonction de k, u0 et u1 à partir de la relation de récurrence de l’énoncé et Uk= P*D^k*P^-1*Uo ?
Réponse : Matrices, Diagonalisation de tiruxa, postée le 26-04-2020 à 16:48:22 (S | E)
Il reste à calculer le produit des matrices du membre de droite de l'égalité, alors le terme de la première ligne de la matrice obtenue est uk.
Réponse : Matrices, Diagonalisation de dani1505, postée le 26-04-2020 à 17:39:33 (S | E)
Oui, mais il faudrait l’expression de D^k non ?
Réponse : Matrices, Diagonalisation de tiruxa, postée le 26-04-2020 à 19:59:30 (S | E)
Si D est (a 0)(0 b) alors D^k=(a^k 0)(0 b^k)
C'est quand même l'intérêt d'avoir une matrice diagonale...
Ce résultat se démontre par récurrence mais je pense qu'il figure dans le cours.
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