Théorème des séries alternées

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Théorème des séries alternées
Message de floriandx posté le 03-10-2018 à 19:08:31 (S | E | F)
Bonjour j'ai une question par rapport à un exercice (je l'ai indiqué en vert sur la photo. Car dans le corrigé de la question 1) je ne comprends pas car : pour montrer le sens de variation d'une suite (Un) on ne doit pas s'intéresser aux termes consécutifs "Un+1" et "Un" normalement ?
énoncé: Lien internet

question: Lien internet

Merci d'avance pour votre réponse :-)

Réponse : Théorème des séries alternées de puente17, postée le 05-10-2018 à 10:35:19 (S | E)
pour montrer le sens de variation d'une suite (Un) on ne doit pas s'intéresser aux termes consécutifs "Un+1" et "Un" normalement ?

Oui, et c'est exactement ce que fait l'auteur du corrigé, en efet dans la suite étudiée S(2n+1) = Tn (en changeant de notation)
alors T(n-1) = S(2(n-1) +1) = S(2n-1)
donc on étudie bien la différence de deux termes consécutifs de la suite Tn c'est-à dire de S(2n+1)
Le reste c'est du cours sur les suites adjacentes.

Réponse : Théorème des séries alternées de floriandx, postée le 05-10-2018 à 16:50:46 (S | E)
Bonjour, merci pour votre réponse. Seulement je ne comprends pas très bien, les termes "S(2n-1)" et "S(2n+1)" se suivent directement ? Il n'y a pas le terme "S(2n)" entre les deux ? Dans l'ordre des termes de la suite on a pas "S(2n-1)" puis "S(2n)" puis "S(2n+1)" ?

Réponse : Théorème des séries alternées de janus, postée le 07-10-2018 à 14:13:50 (S | E)
On considère les deux sous suites de S, l'une avec les termes pairs et l'autre avec les termes impaires. Nous avons ainsi deux sous-suites formant une "partition" de S.
En étudiant chacune de ces sous-suites, on montre que l'une est croissante, tandis que l'autre est décroissante. Ce qui finalement ne nous indique rien sur la monotonie ou la non monotonie de S.

Cependant le but ici est d'étudier la limite de S et non sa monotonie!
Donc l'idée est de montrer que S(2n) et S(2n+1) sont des suites adjacentes (l'une croissante, l'autre décroissante, et la limite de la différence vaut 0(grâce à la limite de Un) ) et donc qu'elles convergent.

S(2n) et S(2n+1) convergent! Oui mais ce n'est pas S??? Et bien si deux sous-suites extraites convergent (avec l'ensemble des termes de deux sous-suites formant une partition de N, pas d'intersection, et pas de termes manquant en réunissant les deux suites) alors la suite elle même converge!

Donc S converge !

Réponse : Théorème des séries alternées de floriandx, postée le 07-10-2018 à 14:55:17 (S | E)
Bonjour, d'accord merci beaucoup pour votre réponse :-)
Mais j'aimerais savoir, pour étudier la monotonie de la suite (S(2n+1)), est-ce que l'on pouvait étudier le signe de "S(2n+1) - S(2n-3) ", ou bien le signe de "S(2n+1) - S(2n-5) " ... également par exemple, au lieu d'étudier le signe de "S(2n+1) - S(2n-1) " ?

C'est-à-dire, est-ce que en général, pas seulement pour cet exercice, pour étudier la monotonie d'une suite (Un) quelconque, on peut étudier le signe de "U(n+1) - U(n-1) ", ou bien le signe de "U(n+1) - U(n-2) " ... également par exemple, au lieu d'étudier le signe de "U(n+1) - U(n) " ?

Réponse : Théorème des séries alternées de janus, postée le 07-10-2018 à 15:45:25 (S | E)

Et bien réfléchissons, tu prends la suite $u_n = (-1)^n$ .

Si tu étudies la différence entre $u_{2n}$ et $u_{2n+2}$ , tu auras une valeur nulle, pareil avec des termes comme 2n+1 et 2n+-3. Or si tu étudies la différence entre deux termes de parité quelconque, alors tu auras 2 ou -2. Pour t'en convaincre, fais les calculs.

Néanmoins, on sait que cette suite n'est pas monotone, pourtant les résultats précédents pourraient nous amener à dire que c'est une suite constante, croissante ou décroissante. Ce qui n'est surtout pas vrai!

J'espère avoir répondu à ta question

Bon courage

Réponse : Théorème des séries alternées de puente17, postée le 08-10-2018 à 11:20:40 (S | E)
Attention à cette phrase qui est incomplète:

Et bien si deux sous-suites extraites convergent (avec l'ensemble des termes de deux sous-suites formant une partition de N, pas d'intersection, et pas de termes manquant en réunissant les deux suites) alors la suite elle même converge!

Et bien si deux sous-suites extraites convergent vers une même limite (avec l'ensemble des termes de deux sous-suites formant une partition de N, pas d'intersection, et pas de termes manquant en réunissant les deux suites) alors la suite elle même converge!

Réponse : Théorème des séries alternées de floriandx, postée le 08-10-2018 à 18:27:00 (S | E)

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