Géométrie dans l'espace

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Géométrie dans l'espace
Message de bourich62 posté le 27-11-2018 à 18:11:56 (S | E | F)
Bonjour, j'aborde un nouveau sujet dans mes révisions, la géométrie dans l'espace.
Je vous propose cet exercice, que je souhaite réaliser seule. J'ai juste besoin de coup de main de votre part
Merci d'avance pour les conseils !

Soit 8 points de l'espace orthonormé (0 , i , j , k ) définis comme suit :
A (α1 ,α1 ,α1 )
B (α1 +α2 ,α1 ,α1 )
C (α1 +α2 ,α1 +α2 ,α1 )
D (α1 ,α1 +α2 ,α1 )
E (α1 ,α1 ,α1 +α2 )
F (α1 +α2 ,α1 ,α1 +α2)
G (α1 +α2 ,α1 +α2 ,α1 +α2)
H (α1 ,α1 +α2 ,α1 +α2)
Avec α1 ≠α2 ; α1 et α2 € R

Travail à effectuer
1) Montrez que EG et HF sont orthogonaux

Donc ici je calcule déjà la norme de mes vecteurs :
||EG||= rac[(a1+a2-a1)²+(a1+a2-a1)²+(a1+a2-a1-a2)²=rac[(a2)²+(a2)²+0]=a2+a2= 2a2
||HF||= rac[(a1+a2-a1)²+(a1-a1-a2)²+(a1+a2-a1-a2)²]= rac[(a2)²+(-a2)²+0]= a2-a2=0

Pour que deux vecteurs soient orthogonaux, il faut que EG*HF=0. Donc je calcule: 2a2*0=0.
Ces deux vecteurs sont bien orthogonaux.

2) Montrez que EF et HG sont égaux

||EF||=rac[(a2)²+0+0]=a2
||HG||=rac[(a2)²+0+0]=a2
Donc, les vecteurs EF et HG sont égaux.

3) Que pouvez vous en déduire à ce stade de la figure formée par EFGH ?

On peut en déduire que cette figure serait un losange.

4) Soit I le milieu de [EG]. Montrez que I € (HF)

Donc je calcule les coordonnées du point I.
I=[(a1+a1+a2)/2];[(a1+a1+a2)/2];[(a1+a2+a1+a2)/2]= (a1+a2/2;a1+a2/2;a1+a2)
Je calcule le milieu de HF (comme la figure serait un losange, le milieu est censé être le même que celui de EG)
I'=[(a1+a1+a2)/2];[(a1+a2+a1)/2];[(a1+a2+a1+a2)/2]= (a1+a2/2;a1+a2/2;a1+a2)

Donc I=I'. I appartient bien à la droite (HF).

5) Montrez que ||IH|| et ||IE||sont égaux (ceux sont des vecteurs je ne sais pas mettre de fèches^^)

||IH||=rac[(a1-a1-a2/2)²+(a1+a2-a1-a2/2)²+(a1+a2-a1-a2/2)²]=rac[(-a2/2)²+(a2-a2/2)²+(a2-a2/2)²= -3a2/2+ 2a2= a2
||IE||=rac[(a1-a1-a2/2)²+(a1-a1-a2/2)²+0]= -a2/2 -a2/2 = -2a2/2 = -a2.

Ici je dois trouver que IH=IE. Or j'ai dû faire une erreur de signe vue le résultat...

6) Que pouvez déduire de la nature de EFGH pour tout a1 et a2 € R+ ?

Donc avec l'égalité trouvée à la question précédente, on peut en déduire que EFGH est un carré.

Je m'arrête ici pour le moment, je reprendrais la suite plus tard dans la soirée

7) Que déduisez vous du quadrilatère ABCD ?

A partie de maintenant, nous avons a1=0.

De plus, on considère que si AE=BF alors AE=BF=CG=DH (que des vecteurs ici, toujours ce problème de flèches)

8) Montrez que AE et BF sont égaux (2 vecteurs)

9) Montrez que ||AE||et ||AB||sont égaux (2 vecteurs)

10) On considère que AE et EF sont orthogonaux.(2 vecteurs) Que déduisez vous de la nature de la figure ABCDEFGH ?

Réponse : Géométrie dans l'espace de wab51, postée le 28-11-2018 à 08:43:19 (S | E)
Bonjour
Ce ne sont que des applications du cours .Maîtriser le cours et apporter plus de soins aux calculs en faisant attention aux erreurs .

.Les autres questions suivantes se ramènent aux applications de cours .Bon courage

Réponse : Géométrie dans l'espace de bourich62, postée le 28-11-2018 à 13:11:57 (S | E)
Bonjour,
malheureusement je ne dispose pas de cours donc j'essaye de me débrouiller avec ce que je trouve sur internet (et j'aurai tellement aimé avoir des cours avec une tonne d'exemple pour appliquer ce que le cours nous dit)

Donc pour la question 1 :

il faut plutôt faire :
xx'+yy'+zz'=0 donc a2*a2+a2*(-a2)=0

pour la question 3 :
on peut dire que la figure EFGH est un losange car elle a ses diagonales perdendiculaires, et les 4 côtes de même longueur.

pour la question 5 :
je remarque que je me suis trompée dans le calcul de IH, et je trouve comme nouveau résultat 0. Or pour IE, je trouve toujours -a2.

pour la question 6 :
il faut préciser que comme les diagonales se coupent toutes les deux en I, elles sont égales, et donc nous avons bien un carré

Réponse : Géométrie dans l'espace de bourich62, postée le 28-11-2018 à 13:23:37 (S | E)
Suite de l'exercice :

question 7:
Si AE=BF=CG=DH ; alors on peut en déduire que ABCD est aussi un carré, car le plan de ABCD est parallèle au plan EFGH.

question 8 :
||AE||=rac[(0-0)²+(0-0)²+(a2-0)²]=rac(a2)²=a2
||BF||=rac[(a2-a2)²+(0-0)²+(a2-0)²]=rac(a2)²=a2

Donc les vecteurs AE et BF sont égaux.

question 9 :
||AE||=a2
||AB||=rac[(a2-0)²+(0-0)²+(0-0)²]=rac(a2)²=a2

Donc les vecteurs AE et AB sont égaux.

Question 10 :

Si AE et EF sont orthogonaux, alors on peut dire que la figure ABCDEFGH est un cube.
En effet, ABCD était un carré, EFGH l'étant aussi, avec AB perpendiculaire à EF, tout est réunis pour que la figure soit un cube.

Réponse : Géométrie dans l'espace de wab51, postée le 28-11-2018 à 15:03:21 (S | E)
"Vaut mieux faire bien que vite!Votre correction n'est pas entièrement terminée,elle suit la mesure au fur et à mesure .Profitez -en donc,pour bien comprendre pour éviter de réitérer les mêmes fautes ou les mêmes erreurs.
2) Montrez que EF et HG sont égaux
||EF||=rac[(a2)²+0+0]=a2
||HG||=rac[(a2)²+0+0]=a2
Donc, <s>les vecteurs</s> EF et HG sont égaux (tels sont écrits "EF et HG "dans la question ,il s'agit de longueur de segments,ou de distances entre deux points ou de normes de vecteurs .Veuillez confirmer la bonne écriture.Par contre,si la question posée est"montrer que les deux vecteurs EF ET HG
sont égaux?",votre raisonnement est faux ."deux vecteurs qui ont la même norme ne sont pas forcément égaux ,ils peuvent avoir des directions différentes comme ils peuvent avoir des sens différents".Pour démontrer que deux vecteurs sont égaux ,il suffit de démontrer que leurs coordonnées respectives sont égales.
Correction de "pour la question 3 :
"on peut dire que la figure EFGH est un losange car elle a ses diagonales perdendiculaires, et <s>les 4 côtes de même longueur</s>.(faux)
Les deux vecteurs vec.EF et ve.HG sont égaux ,donc EF=HG et ont meme direction donc (EF)\\(HG) et par conséquent le quadrilatère EFGH est un parallélogramme d'abord et comme ses deux diagonales sont perpendiculaires alors c'est un losange .

Remarque:Au vue du respect de la consigne citée plus haut ,et pour éviter la marmelade ,je vous conseille de continuer à suivre le travail de cette 1ére partie jusqu'à l'achever entièrement et d'en supprimer tous les rajouts qui sont venus après .Il y'a encore du travail .Merci

Réponse : Géométrie dans l'espace de bourich62, postée le 28-11-2018 à 15:35:52 (S | E)
Pour la question 2, il s'agit bien de deux vecteurs, j'ai oublié de le préciser dans l'énoncé.

du coup pour préciser que 2 vecteurs sont égaux, il faut montrer que leurs coordonnées respectifs sont les mêmes
et pour montrer deux distances sont égales, je dois montrer que ||XX||=||XX||.

donc à la question 8, il faut que je montre que les coordonnées respectifs sont égaux

et à la question 9, j'ai utilisé la bonne méthode. ||XX||=||XX||

Réponse : Géométrie dans l'espace de wab51, postée le 28-11-2018 à 15:56:13 (S | E)
6)Correction
6) Que pouvez déduire de la nature de EFGH pour tout a1 et a2 € R+ ?
"Votre déduction que EFGH est un carré,n'est qu'un résultat mais non justifié.La bonne réponse est" EFGH est un losange et en plus de ses diagonales perpendiculaires ,elles sont en plus égales" "

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Modifié par wab51 le 28-11-2018 15:57

Réponse : Géométrie dans l'espace de bourich62, postée le 28-11-2018 à 17:33:31 (S | E)
D'accord donc préciser que du losange, on trouve les diagonales de même longueurs et ainsi il devient un carré
c'est noté
encore merci à vous pour votre temps (j'ai vue que vous me corrigiez beaucoup, vous êtes un professeur de mathématiques peut être ?)

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