Fonction polynôme

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Fonction polynôme
Message de determinee1 posté le 17-02-2020 à 15:24:38 (S | E | F)
Bjr!!svp j'ai besoin d'aide
1) une fonction f définie sur R possède les propriétés suivantes:
*f est décroissante sur [-5;10]
*f(-2)=7 et f(4)=0
Déduisez en un encadrement de la fonction g définie sur[-2;4] par g(x)=x²+f(x)

2) soient les points A(3;3) ;B(1;-1) et C(0;2) dans le plan muni d'un repère orthonormé (o;i;j)
Le but de cet exercice est de trouver le point M de l'axe (o;i) tel que la somme MA²+MB²+2MC²soit minimale
x est l'abscisse du point M.
a) prouver que MA²+MB²+2MC² = 4x²-8x+28
b) on considère la fonction f définie sur R par 4x²-8x+28
Etudier les variations de f sur ]-...;1] et sur [1;+...[
Puis dresser le tableau de variation de f
C) quel est le point de l'axe (o;i) pour lequel MA²+MB²+2MC² est minimal? Quelle est la valeur du minimum?

Réponse : Fonction polynôme de wab51, postée le 17-02-2020 à 19:50:49 (S | E)
Bonsoir
1)Déduire en un encadrement de la fonction g définie sur[-2;4] par g(x)=x²+f(x)
*Pour f : d'après les données sur f:f est décroissante positive sur -2 ≤ x ≤ 4 .
*Pour x²: voir votre cours (décroissante positive pour -2 ≤ x ≤ 0 et croissante positive pour 0 ≤ x ≤ 4)
*Pour encadrer g :g(x)=x²+f(x) (somme de deux fonctions).Voir étude avec deux cas :
1er cas : pour -2 ≤ x ≤ 0 (cas x négatif)
2e cas : pour 0 ≤ x ≤ 4 (cas x positif)
*Puis déduire le résultat
2-a) prouver que MA²+MB²+2MC² = 4x²-8x+28
*Calculer ‖vecMA ‖² , ‖vecMB ‖² puis ‖vecMC ‖² (en déterminant d'abord les coordonnées respectives de chacun des trois vecteurs)
2-b) on considère la fonction f définie sur R par 4x²-8x+28
Etudier les variations de f sur ]-...;1] et sur [1;+...[
*C'est une fonction trinome du second degré en x .(voir votre cours )
Puis dresser le tableau de variation de f (cours)
C) quel est le point de l'axe (o;i) pour lequel MA²+MB²+2MC² est minimal? Quelle est la valeur du minimum? (résultat immédiat )

Poster les réponses pour vérification .Bonne continuité et bon courage .

Réponse : Fonction polynôme de determinee1, postée le 17-02-2020 à 20:46:11 (S | E)
Bonsoir!!merci mais je n'ai pas bien compris le numero 1 si vous pouviez plus détailler j'en serais ravie
Dans l'attente d'une suite favorable déjà merci..

Réponse : Fonction polynôme de wab51, postée le 17-02-2020 à 22:02:42 (S | E)
1)Encadrement de g :
a) -2 ≤ x ≤ 0 → f(0) ≤ f(x) ≤ f(-2) (changement de sens de la double inégalité car x est négatif) → 0 < f(x) ≤ 7
-2 ≤ x ≤ 0 → 0 ≤ x² ≤ 4 (changement de sens de la double inégalité car x est négatif)
et en faisant la somme membre à membre des deux inégalités , on obtient 0 ≤ f(x) + x² ≤ 11 (inégalité 1)
b) 0 ≤ x ≤ 4 → f(4) ≤ f(x) ≤ f(0) (car f décroissante positive) → 0 ≤ f(x)
0 ≤ x ≤ 4 → 0 ≤ x² ≤ 16
et en faisant la somme membre à membre des deux inégalités , on obtient 0 ≤ f(x) + x² ≤ 16 (inégalité 2)
c)Conclusion de (1) et de (2) on obtient 0 ≤ f(x) + x² ≤ 11 , qui est l'encadrement demandé
Conseil:entre parenthèses les justifications de changement de sens de la double égalité en fonction des règles .Bonne continuation

Réponse : Fonction polynôme de wab51, postée le 17-02-2020 à 22:16:04 (S | E)
Remarque
‖vecMA ‖² = MA² (carré du module du vecteur MA = carré de la longueur ou de la distance MA (ça a le même sens).
Les deux écritures sont les mêmes par conséquent conserver l'écriture donnée par l'énoncé (sans les doubles barres).

Réponse : Fonction polynôme de determinee1, postée le 17-02-2020 à 22:54:14 (S | E)
Ok merci mais je ne comprends pas pourquoi vous avez écrit f(0)(sur la deuxième ligne ) or dans l'énoncé c'est f(4)=0
Merci d'avance

Réponse : Fonction polynôme de wab51, postée le 17-02-2020 à 23:41:18 (S | E)
Vous voulez dire cette ligne:" -2 ≤ x ≤ 0 → f(0) ≤ f(x) ≤ f(-2) (changement de sens de la double inégalité car x est négatif) → 0

parce que l'image de -2 ≤ x ≤ 0 par f est f(-2) ≥ f(x) ≥ f(0) et qu'on peut aussi l'écrire f(0) ≤ f(x) ≤ f(-2) (en changeant le sens et les bornes des inégalités (ce sont des règles comme j'avais conseillé ,il faut les savoir et surtout ne pas se tromper .Vrai,c'est un peu "un casse tête".

Réponse : Fonction polynôme de tiruxa, postée le 18-02-2020 à 00:27:47 (S | E)
Bonjour,

Il me semble Wab51 que vous vous compliquez la vie pour l'encadrement.

Il est plus commode de traiter f(x) en une seule fois.

Si -2 ≤ x ≤ 4 , alors f(4) ≤ x ≤ f(-2) donc 0 ≤ f(x) ≤ 7 (1)
car f est décroissante sur [-2;4]

Pour le x² là évidemment il faut couper l'intervalle à 0, mais peut être qu'un simple tableau de variation de la fonction "carré" suffit comme justification.

On voit alors sur ce tableau de variation (à présenter sur la copie) que 0 ≤ x² ≤ 16 (2)

Donc en ajoutant membre à membre les deux inéquations (1) et (2)
0 ≤ f(x)+x² ≤ 23

Réponse : Fonction polynôme de wab51, postée le 18-02-2020 à 08:22:22 (S | E)
Bonjour tiruxa
D'abord mille merci.Parfait ,rien à dire.
Je m'en suis rendu compte et je m'en veux à moi même .Quelle folie j'avais faite!J'avais perdu la tête!Quelle bêtise!Que dire encore de plus,lorsque tout juste là, au bout du nez,se prête un chemin simple ,commode et efficace avec le choix de trois issues :
1) A partir du graphe - ou 2) Tableau de variation - ou encore 3) simple procédé de calcul par simple application de deux petites règles sur les inégalités.Ou encore,de ne pas voir de la question "qu'il s'agit en plus d'une déduction".
Mes profondes excuses et plus particulièrement à la candidate "terminee1".

Réponse : Fonction polynôme de wab51, postée le 20-02-2020 à 09:02:33 (S | E)
Bonjour
Nous espérons que "terminee1" n'avait pas abandonné .Le problème devient encore plus intéressant qu'important surtout sur sa seconde partie qui est indépendante de la première.Nous continuons avec plaisir et l'aide nécessaire à vous accompagner jusqu'à la fin .

Voici encore un dessin comme support de travail Lien internet

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