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Algèbre linaire
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Message de dani1505 posté le 20-04-2020 à 14:27:38 (S | E | F)
Bonjour,
J’aimerais avoir un peu d’aide sur cet exercice niveau 1er année licence maths. L’exercice est le suivant:
1) On considère l’espace vectoriel E1 = C^1 (R) des fonctions avec dérivée continue sur R, muni des opérations usuelles de somme de fonctions et produit d’une fonction par un scalaire.
a) Soit F1 ={f∈E1 | f(0)=0 et f′(0)=0}.Montrer que F1 est un sous-espace vectoriel de E1.
b) Soit G1 ={g∈E1 | ∃a,b∈R, ∀t∈R, g(t)=at+b}.Montrer
que G1 est un sous-espace vectoriel de dimension 2 de E1.
c) Prouver que E1 = F1 ⊕ G1.
2) On considère maintenant l’espace vectoriel En = Cn(R) des fonctions avec n dérivées continues sur R, muni des opérations usuelles de somme de fonctions et produit d’une fonction par un scalaire. Notons :
Fn = {f ∈ En | f(0) = 0, f′(0) = 0,...,f(n)(0) = 0}.
En s’inspirant des questions précédentes, trouver un sous-espace vectoriel de dimension finie Gn tel que En = Fn ⊕ Gn.
J’ai réussi la première question sans difficulté apparente. C’est en revanche sur la 2ème question ou j’ai du mal. La fonction nulle ne semble pas appartenir à G1 non ? (G1 ne pourrait donc pas être un sous espace de E1). Je ne sais pas vraiment non plus comment prouver sa dimension.
Merci d’avance de votre aide.
Message de dani1505 posté le 20-04-2020 à 14:27:38 (S | E | F)
Bonjour,
J’aimerais avoir un peu d’aide sur cet exercice niveau 1er année licence maths. L’exercice est le suivant:
1) On considère l’espace vectoriel E1 = C^1 (R) des fonctions avec dérivée continue sur R, muni des opérations usuelles de somme de fonctions et produit d’une fonction par un scalaire.
a) Soit F1 ={f∈E1 | f(0)=0 et f′(0)=0}.Montrer que F1 est un sous-espace vectoriel de E1.
b) Soit G1 ={g∈E1 | ∃a,b∈R, ∀t∈R, g(t)=at+b}.Montrer
que G1 est un sous-espace vectoriel de dimension 2 de E1.
c) Prouver que E1 = F1 ⊕ G1.
2) On considère maintenant l’espace vectoriel En = Cn(R) des fonctions avec n dérivées continues sur R, muni des opérations usuelles de somme de fonctions et produit d’une fonction par un scalaire. Notons :
Fn = {f ∈ En | f(0) = 0, f′(0) = 0,...,f(n)(0) = 0}.
En s’inspirant des questions précédentes, trouver un sous-espace vectoriel de dimension finie Gn tel que En = Fn ⊕ Gn.
J’ai réussi la première question sans difficulté apparente. C’est en revanche sur la 2ème question ou j’ai du mal. La fonction nulle ne semble pas appartenir à G1 non ? (G1 ne pourrait donc pas être un sous espace de E1). Je ne sais pas vraiment non plus comment prouver sa dimension.
Merci d’avance de votre aide.
Réponse : Algèbre linaire de roseodile, postée le 20-04-2020 à 14:47:08 (S | E)
Bonjour,
Les fonctions appartenant à G1sont des fonctions bien connues depuis le lycée, je pense que vous faites erreur la fonction nulle est bien une fonction de G1
Réponse : Algèbre linaire de tiruxa, postée le 20-04-2020 à 18:54:08 (S | E)
Bonjour
Dans le 1) il y a deux conditions dans F1 et aussi deux coefficients pour les fonctions de G1,
donc dans le 2) il y a (n+1) conditions dans Fn donc, si l'on s'inspire du 1), on prend (n+1) coefficients dans Gn, c'est dire des fonctions polynômes de degré n...
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