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Algèbre linéaire
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Message de dani1505 posté le 29-04-2020 à 10:34:39 (S | E | F)
Bonjour !
Je bloque sur un exercice d’algèbre sur les applications linéaires.
L’exercice est le suivant:
Soient E et F deux espaces vectoriels. On suppose que F est finiment engendré et qu’il existe une application linéaire injective f: E ➡️ F
1) Montrer que Im f est finiment engendré puis qu’il existe v1,v2,v3....vp appartenant à E tels que Im f = Vect (f(v1),f(v2)...f(vp)).
2) Prouver que E est finiment engendré.
Pour la première question, on sait par supposition que f est injective donc que ker f = {0}. D’après le théorème du rang, on a alors dim E= dim Im f soit E=Im f. Pour montrer que Im f est finiment engendré, j’aurais donc montré que E est finiment engendré mais c’est la question 2 de l’exercice. Je ne vois donc pas vraiment comment répondre à cette question sans utiliser la question suivante.
Merci d’avance de votre aide 🙂.
Message de dani1505 posté le 29-04-2020 à 10:34:39 (S | E | F)
Bonjour !
Je bloque sur un exercice d’algèbre sur les applications linéaires.
L’exercice est le suivant:
Soient E et F deux espaces vectoriels. On suppose que F est finiment engendré et qu’il existe une application linéaire injective f: E ➡️ F
1) Montrer que Im f est finiment engendré puis qu’il existe v1,v2,v3....vp appartenant à E tels que Im f = Vect (f(v1),f(v2)...f(vp)).
2) Prouver que E est finiment engendré.
Pour la première question, on sait par supposition que f est injective donc que ker f = {0}. D’après le théorème du rang, on a alors dim E= dim Im f soit E=Im f. Pour montrer que Im f est finiment engendré, j’aurais donc montré que E est finiment engendré mais c’est la question 2 de l’exercice. Je ne vois donc pas vraiment comment répondre à cette question sans utiliser la question suivante.
Merci d’avance de votre aide 🙂.
Réponse : Algèbre linéaire de tiruxa, postée le 29-04-2020 à 12:05:15 (S | E)
Bonjour,
Attention Imf est un sev de F donc il ne peut être égale à E. Il a juste même dimension que E.
Pour la première question, F est de dimension finie et Imf est un sev de F donc de dimension finie aussi.
Il existe donc une famille de vecteurs de F, u1,u2,...,up qui engendre Imf.
Comme ils sont dans Imf ces vecteurs s'écrivent comme des images de vecteurs de E, donc il existe v1, v2,...,vp tels que
u1=f(v1), u2=f(v2)..., up= f(vp).
Réponse : Algèbre linéaire de puente17, postée le 29-04-2020 à 16:44:17 (S | E)
Bonjour,
Dim f(E) <= Dim F
f injective de E dans F donc c'est un isomorphisme de E sur f(E) donc E et f(E) ont même dimension.
Réponse : Algèbre linéaire de dani1505, postée le 29-04-2020 à 16:54:23 (S | E)
Bonjour,
Merci de votre réponse, tiruxa. La réponse à la 2ème question se déduit alors de façon intuitive ?
Réponse : Algèbre linéaire de tiruxa, postée le 29-04-2020 à 17:17:25 (S | E)
2) On peut se servir de la 1.
Soit v un vecteur de E on peut démontrer qu'il est une combinaison linéaire des vi, i=1 à p.
En effet f(v) est un élément de Imf donc d'après la 1)
f(v)= a1 u1+ a2 u2+... +ap up
= a1 f(v1)+ a2 f(v2)+... +ap f(vp)
= f(a1 v1+ a2 v2+...+ ap vp) par linéarité de f
l'injectivité de f permet de conclure...
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