Extremum d'une fonction

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Extremum d'une fonction
Message de perfect posté le 08-06-2020 à 12:42:53 (S | E | F)
Bonjour,

J'ai un exercice qui demande à connaître le minimum de cette fonction x²/(x-1) mais je ne sais pas comment m'y prendre. Je précise que je suis en seconde car certaines méthodes proviennent des classes supérieures.

Cordialement,
perfect

Réponse : Extremum d'une fonction de lumie27, postée le 08-06-2020 à 16:50:43 (S | E)
Bonjour,
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La première chose à faire et de bien regarder la forme de la fonction. Déjà, vous pouvez la tracer à l'aide d'une calculatrice graphique afin de vous faire une idée, puis plus tard de vérifier vos résultats (Avec la calculatrice Casio : pour connaître le minimum ou le maximum d'une fonction : on sélectionne le menu "GRAPH" puis on entre la fonction ; on fait "F6" (Pour "DRAW".) ; on fait "G-Solv" avec "F5" ; on sélectionne "MAX" (Avec "F2".) ou "MIN" (Avec "F3".).

1) Quel est l'ensemble de définition de cette fonction ?
2) Quelle est la forme de la fonction ? (Affine, ....).

Ensuite, déduire de la question 1) à quoi vous allez vous intéresser.
Puis, déduire de la question 2) comment il est possible de résoudre le problème posé.
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Il existe au moins deux méthodes, dont l'une marche à tous les coups mais pas l'autre.
L'une est la détermination directe par le calcul en cas de polynôme de degré 2 (1) : avec bêta et alpha.
L'autre est l'utilisation d'un tableau de variation.

3) Quelle méthode est la bonne dans cette situation ?
4) De quoi avez-vous besoin pour réaliser cette méthode ?

Répondez à ces questions puis appliquez.
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Vérifiez vos résultats à l'aide de la calculatrice et portez un regard critique sur ce qu'elle indique.

5) Êtes-vous en accord avec ce qu'elle indique ? Si oui/non pourquoi ?
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(1) : on rappelle que cela peut s'écrire sous la forme : y = ax^2 + bx + c.
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Si vous avez un quelconque problème, n'hésitez pas à re-poster quelque chose (Une question, une ébauche, ....).
Bonne recherche.😇

Réponse : Extremum d'une fonction de tiruxa, postée le 08-06-2020 à 21:49:17 (S | E)
Bonjour,

Plus simplement si l'on demande de déterminer le minimum de f (je suppose pour x supérieur strictement à 1)

Il suffit de représenter la fonction et ensuite démontrer ce que l'on a pu observer.

Supposons que vous pensiez que f(a) est le minimum, il sufft alors de justifier que f(x) est supérieur à f(a) pour tout x de Df, c'est à dire que f(x) - f(a) est positif pour tout réel xde Df.

Réponse : Extremum d'une fonction de perfect, postée le 12-06-2020 à 12:48:25 (S | E)
Bonjour,

Merci beaucoup à vous deux pour ces conseils, j'aimerais déterminer le minimum de f sans représenter la fonction (mais merci tiruxa pour ce conseil, très utile ).

Vos recommandations, lumie27, sont très méthodiques, je m'y emploie donc avec rigueur :

1) L'ensemble de définition est x strictement supérieur à 1.
2) Il me semble que ce soit une fonction homographique au vu de la représentation graphique mais celle-ci ne se présente pas sous la forme ax+b/(cx+d) donc j'en doute fortement...

Il ne s'agit pas d'un polynôme de degré 2. Je n'ai pas de tableau de variation à ma disposition.

3) Je ne vois pas justement...
4) ...
5)...

Cordialement,
perfect

Réponse : Extremum d'une fonction de lumie27, postée le 12-06-2020 à 12:57:00 (S | E)
Bonjour,
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1) Ok, c'est donc ce que tiruxa a précisé. Je pense d'ailleurs que sa méthode est peut-être plus simple (Elle nécessite moins de calcul il me semble.).
2) Vous avez la bonne information : il fallait trouver que ce n'était pas un polynôme de degré 2.

"Je n'ai pas de tableau de variation à ma disposition." : pourrait-on en faire un selon vous ?

3) Est-ce possible de calculer bêta et alpha du coup ?
bêta = f(alpha) et alpha = (-b)/(2a)
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Vous avez réussi la première étape. Maintenant, il faut choisir la bonne application (C'est sans doute le plus difficile quand on n'a pas l'habitude : on se trompe souvent.).
Enfin, vous n'aurez plus qu'à appliquer.
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Bon courage.🙃

Réponse : Extremum d'une fonction de tiruxa, postée le 12-06-2020 à 14:43:46 (S | E)
Bonjour,

Bon en gros Lumie27 vous propose de fermer des portes comme dans une enquête policière... Non ce n'est pas une fonction affine, non ce n'est pas une fonction trinôme, ce n'est pas non plus une fonction homographique (quotient de fonction affnes).

Ce type de fonction est une fonction rationnelle mais cela ne vous avance en rien pour son étude !

On en vient tôt ou tard pour ce type de fonction à faire un tableau de valeurs à la calculette ou une représentaton graphique...

Après et c'est en cela que la méthode que je conseillais diffère un peu de celle de Lumie27, je proposais juste de démontrer que la fonction admet un minimum en a, alors que Lumie27 vous conseille de faire un tableau de variation ce qui va demander davantage de calculs.
Ceci dit vous pouvez faire les deux c'est très formateur.

Juste une précision, mais je pense que vous le savez déjà, en première vous verrez une méthode plus rapide pour construire le tableau de variation.

Bon travail

Réponse : Extremum d'une fonction de perfect, postée le 18-06-2020 à 13:36:26 (S | E)
Bonjour,

Effectivement, je comprend le principe de ces deux différentes méthodes, cependant je ne sais pas m'y prendre pour dresser un tableau de variation. Comment procéder ?

Cordialement,
perfect

Réponse : Extremum d'une fonction de lumie27, postée le 18-06-2020 à 15:11:33 (S | E)
Bonjour,
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Dans ce cas, je propose de se servir de la dérivée de la fonction. On arrivera alors à un tableau de signes qui mènera ensuite vers une tableau de variations.
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Du coup, voici quelques étapes. :

1) Bien repérer la forme de la fonction (Est-ce qu'il y a un quotient ? Est-ce qu'il y a des carrés ?).

2) La dérivée.
a) Trouver la formule de la dérivée liée à cette forme.
b) Dériver la fonction.

3) Obtenir une forme factorisée.
🔥Aide : on aura un quotient mais il faut veiller à ce que le numérateur soit sous une forme factorisée.

4) Dresser un tableau de signes : il y aura une ligne par "étapes".
🔥Aide : par exemple, si l'on avait 2x/(4x^2) on aurait une ligne pour le 2x, une autre pour le 4x^2 et enfin une dernière pour la réunion de ces deux éléments.
a) Tracer le tableau.
b) Remplir les "intitulés".
c) Justifier les signes.
🔥Aide : il faut chercher les valeurs annulantes ; il faut repérer les types de fonctions (Affines, linéaires, ....) à chaque ligne pour justifier le sens de variation.
d) En déduire le tableau de signe final de la dérivée sur l'intervalle voulu.

5) Déduire du tableau de signe de la dérivée le tableau de variations de la fonction.
🔥Aide : on aura deux flèches à tracer.
a) Il faut se servir de propriétés reliant le signe au sens de variation.
b) Trouver le minimum en remplaçant x par la valeur voulue dans l'équation.
🔥Aide : la valeur à utiliser est indiquée dans le tableau de signes.
c) Pour que le tableau soit complet, il faudrait également trouver les limites (Ici, il y en aurait 2.). Néanmoins, ce n'est pas l'objectif premier et ce n'est pas réellement demandé.

Voilà : vous avez trouvé le minimum de la fonction sur cet intervalle.💪👍

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Les tableaux de signes : Lien internet

Propriétés, tableaux de signes, tableaux de variations : Lien internet

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Bonne recherche et bon courage !😇

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Modifié par lumie27 le 18-06-2020 15:30

Réponse : Extremum d'une fonction de lemagemasque, postée le 18-06-2020 à 16:05:21 (S | E)
Bonjour,

N'y a-t-il pas quelque chose de remarquable dans l'expression de cette fonction ?
Un petit indice : pour tout $x$ appartenant au domaine de définition de $f$ , on a :
$f(x) = \frac{x^2 - 1 ^2 + 1}{x -1}$
A la fin, vous devriez obtenir quelque chose comme ax+b + c / (x - 1) avec a, b, c dans R
x -> c / (x - 1), ça ressemble beaucoup à la fonction x -> 1 / x. Donc si on pose quel que soit x dans R*, g(x) = 1 / x, et quel que soit x dans (à vous de trouver), h(x) = 1 / (x - 1) alors quel que soit x dans ?, h(x) = g(x - 1).
x -> x - 1 est croissante sur R, g est ? sur ?.
Par composition de fonctions, h est (croissante / décroissante) ? sur ?.
(C'est un résultat de votre cours sur la monotonie (= croissance / décroissance) de fonctions composées qui est très utile ici, et qu'on oublie souvent...).

Si une fonction est croissante / décroissante, alors où atteint-elle son minimum ?

Si on ne voit pas cette astuce de calcul, on peut effectivement appliquer la méthode de ce message : https://www.anglaisfacile.com/forum/lire.php?num=15&msg=110461#7
(La méthode de tiruxa, bien que plus courte que la méthode évoquée par lumie27, demande de tracer le graphe de la fonction sur une calculatrice. Or, dans le supérieur, et notamment dans le cycle de prépa intégrée d'une école d'ingénieurs, on n'a pas le droit à la calculatrice dans les DS de maths notamment. Mais c'est bien pour avoir une intuition du minimum).

NB : Cette "astuce" vient de la décomposition en éléments simples (notion vue en 1re année postbac en prépa et très rapidement en terminale, utilisée notamment pour intégrer des quotients de polynômes (fractions rationnelles)). Je n'ai malheureusement pas de lien simple à vous fournir, si vous étiez intéressé...

Bonne journée !
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Modifié par lemagemasque le 18-06-2020 16:30
Je suis désolé, je suis fâché avec le LaTeX de mathematiquesfaciles...

Cette méthode ne permet pas de conclure en réalité. En effet, on ne peut rien dire sur la monotonie d'une somme de 2 fonctions de variations contraires (somme d'une fonction croissante avec une fonction décroissante), voir mon message plus bas.

Réponse : Extremum d'une fonction de tiruxa, postée le 18-06-2020 à 17:13:13 (S | E)
Bonjour,

Ok Lemagemasque... mais je pense que vous oubliez que le demandeur est élève de seconde donc évitons de lui conseiller des méthodes qu'il ne verra que plus tard !

Perso quand on me demande de déterminer un minimum, je ne construis pas le tableau de variation de f, à mon avis c'est maladroit, en math il faut trouver la méthode efficace la plus rapide...

Vous trouvez que l'utilisation de la calculatrice que j'envisageais est un handicap pour la méthode que je proposais..

Ok mais, j'ai fait mes études à une époque où la calculatrice de poche n'avait pas encore été inventée... oui la préhistoire donc

On faisait pourtant des représentations graphiques à cette époque.

Il suffit de calculer quelques images "à la main"

Pour x supérieur à 1
f(1,25)=f(5/4)=(25/16)/(1/4)=25/4=6.25
c'est le plus difficile...
de même f(1.5)=4.5
f(2)=4
f(3)=4.5
f(4)=16/3=5+1/3

Pas besoin de davantage pour imaginer que 4 ou f(2) est le minimum

Il suffit de démontrer que f(x)-f(2) est positif pour valider la réponse

f(x)-f(2)=x²/(x-1)-4=(x²-4x+4)/(x-1)

Voilà et là on peut conclure...

Réponse : Extremum d'une fonction de lemagemasque, postée le 18-06-2020 à 18:31:46 (S | E)
Bonjour tiruxa,

Je ne voulais pas vous froisser, ayant trop de respect pour vous au vu de vos connaissances...
Cependant, je peux vous assurer que j'ai bien vu les théorèmes et autres évoqués dans mon message (à part le terme de "décomposition en éléments simples")... en seconde

Je suis aussi partisan du principe de la méthode la plus courte, mais je préfère personnellement la méthode du tableau de variations.

Je viens de me rendre compte que le raisonnement que je suggérais était faux. En effet, je faisais apparaître une somme de 2 fonctions. Appelons-les i et j, où i était la fonction x -> x + 1 et j la fonction x -> 1 / (x - 1). Comme i est croissante et j décroissante, j'allais conclure que la somme était croissante, mais c'est faux...

Bonne journée !

Réponse : Extremum d'une fonction de tiruxa, postée le 18-06-2020 à 19:35:59 (S | E)
Pas de soucis le Magemasque

Je défendais juste mon point de vue...

Je trouvais amusant que je devienne le défenseur de la calculatrice, moi qui l'ai si peu utilisée... mais bon c'est bien que l'on vous conseille (impose plutôt) d'utiliser d'autres méthodes.

Je pense que Perfect qui a posé la question a du la résoudre depuis longtemps mais comme les posts sont assez rares en ce moment, demandons nous comment étudier le sens de variation de f sur ]1;+inf[ sans utiliser la dérivée.

Je pense que le plus simple est de chercher le signe du taux d'accroissement c'est à dire de (f(a)-f(b))/(a-b) où a et b sont deux réels distincts éléments de ]1;+inf[.

Le calcul (je détaille pas ici) nous donne (ab-a-b)/((a-1)(b-1))

Le dénominateur étant strictement positif cela se ramène à étudier le signe de ab-a-b.

Or ab-a-b = a(b-1)-b+1-1 = a(b-1)-(b-1)-1 = (a-1)(b-1)-1

Si a-1>1 et b-1>1 (c'est à dire si a et b sont dans ]2;+inf[) alors (a-1)(b-1)>1 et le taux d'accroissement est strictement positif
f est donc strictement croissante sur ]2;+inf[.

Même raisonnement pour a-1<1 et b-1<1 donc sur ]1;2[, on trouve f strictement décroissante sur ]1;2[

Réponse : Extremum d'une fonction de lemagemasque, postée le 21-06-2020 à 17:41:58 (S | E)
Bonjour tiruxa,

Veuillez m'excuser de ne pas vous avoir répondu de suite.

Bien vu pour le taux d'accroissement ! Je ne l'ai personnellement jamais utilisé pour déterminer la monotonie d'une fonction, m'en tenant davantage aux calculs "mécaniques" de dérivées.

Bonne journée !

Réponse : Extremum d'une fonction de tiruxa, postée le 21-06-2020 à 22:55:41 (S | E)
Bonjour,

Vous savez bien sûr que le nombre dérivé n'est autre que la limite du taux d'accroissement.

C'est bien sûr le cas ici, si on fait tendre a et b vers x (où x>1), a et b restants distincts, la limite du taux d'accroissement (ab-a-b)/((a-1)(b-1)) est (x²-2x)/(x-1)² qui n'est autre que f'(x).

Mais bon mêmesion peut calculer facilement le taux d'accroissement, l'étude de son signe n'est pas facile en général.

L'avantage de la dérivée est que l'éude du signe est facilitée puisqu'il n'y a qu'une seule variable, x, alors que dans le taux on en a deux.
La factorisation aussi est plus facile pour la dérivée.

Réponse : Extremum d'une fonction de lemagemasque, postée le 21-06-2020 à 23:25:12 (S | E)
Oui, bien sûr

Ce que je voulais dire, c'est que je trouve que le calcul de la dérivée est généralement plus rapide que le calcul du taux d'accroissement avec factorisation pour étude du signe.
Par exemple, ici, je reconnais une expression de la forme u/v. Je connais les dérivées de x -> x², id, etc.
Par conséquent, pour un réel x > 1 donné, je peux facilement obtenir le nombre dérivé f'(x) de f en ce point :
f'(x) = [2x (x - 1) - x² * 1] / [x - 1]² = (x² - 2x) / (x - 1)².
(x - 1)² étant positif, car c'est le carré d'un réel, le signe de f'(x) dépend uniquement du signe de (x² - 2x).
etc

Bonne soirée !

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