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Problème de maths sur suite Sn=1-n + 1-n
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Message de schumi5908 posté le 13-02-2021 à 19:16:58 (S | E | F)
Bonjour.
Mon fils est actuellement en terminale générale avec une spécialité Mathématiques. Il a un devoir à rendre avec un exercice sur lequel il sèche.
J'essaie de l'aider mais je n'y parviens pas non plus, en tout cas, pas en totalité.
L'exercice est le suivant :
1) Soient f et g les fonctions définies sur [0;1[ par f(x)=x-ln(1+x) et g(x)=x+ln(1-x)
Etudier les variations de f et g sur [0;1[
En déduire que, pour tout x de [0;1[, ln(1+x) <= x <= -ln(1-x)
2) Soit S la suite définie, pour tout nombre entier naturel n>=1, par Sn=1/n + 1/n+1 + … + 1/n
Montrer que pour tout entier naturel n>=1 et k tel que n<=k<=5n, on a 1/k appartient à [0;1[ et ln(1+1/k)<=1/k<=-ln(1-1/k)
En déduire que pour tout entier naturel n>=2, on a*: ln(5+1/n)<=Sn<=ln(5n/n-1)
En déduire la limite de la suite Sn
Nous avons résolu la question 1 mais ne parvenons pas à résoudre la question 2.
Avez-vous des idées, des pistes pour nous aider ?
Merci d'avance à tous
Message de schumi5908 posté le 13-02-2021 à 19:16:58 (S | E | F)
Bonjour.
Mon fils est actuellement en terminale générale avec une spécialité Mathématiques. Il a un devoir à rendre avec un exercice sur lequel il sèche.
J'essaie de l'aider mais je n'y parviens pas non plus, en tout cas, pas en totalité.
L'exercice est le suivant :
1) Soient f et g les fonctions définies sur [0;1[ par f(x)=x-ln(1+x) et g(x)=x+ln(1-x)
Etudier les variations de f et g sur [0;1[
En déduire que, pour tout x de [0;1[, ln(1+x) <= x <= -ln(1-x)
2) Soit S la suite définie, pour tout nombre entier naturel n>=1, par Sn=1/n + 1/n+1 + … + 1/n
Montrer que pour tout entier naturel n>=1 et k tel que n<=k<=5n, on a 1/k appartient à [0;1[ et ln(1+1/k)<=1/k<=-ln(1-1/k)
En déduire que pour tout entier naturel n>=2, on a*: ln(5+1/n)<=Sn<=ln(5n/n-1)
En déduire la limite de la suite Sn
Nous avons résolu la question 1 mais ne parvenons pas à résoudre la question 2.
Avez-vous des idées, des pistes pour nous aider ?
Merci d'avance à tous
Réponse : Problème de maths sur suite Sn=1-n + 1-n de roseodile, postée le 13-02-2021 à 19:39:41 (S | E)
Bonsoir une réponse rapide.
La première question ne présente pas de difficultés
Pour la seconde il faut vérifier le texte, je comprends pas la formation de la somme: le premier terme et le dernier sont identiques, je pense qu'il manque des parenthèses pour n+1
Une piste écrire l'encadrement pour chaque terme de la somme et additionner membre à membre et ensuite utiliser ln(ab) = lna +lnb , ln(a/b)= lna -lnb.
Merci de transmettre vos résultats
Réponse : Problème de maths sur suite Sn=1-n + 1-n de tiruxa, postée le 13-02-2021 à 21:33:59 (S | E)
Bonjour, comme le dit Roseodile il y a une erreur dans Sn, je pense que c'est :
Sn= 1/n + 1/(n+1) + … + 1/(5n)
Puisque k est compris entre n et 5n on a 1/k compris entre 1/(5n) et 1/n c'est à dire que 1/k prend toutes la valeurs possibles des termes de Sn, ces nombres là étant compris entre 0 et 1 on peut leur appliquer la double inégalité du 1°.
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