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Inéquation par récurrence
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Message de svphelp posté le 22-02-2022 à 01:37:58 (S | E | F)
Bonsoir, j'ai vraiment besoin d'aide je suis désespérée svp.
La question est la suivante :
"Démontrer alors que pour tout entier naturel n non nul : Un >= ln(n+1)"
Sachant que :
Un= 1 + 1/2 + 1/3 +...+1/n
Un+1= Un + 1/n+1
U1= 1
U2=1,5
U3=11/6
U20=3,60
U100=5,19
U500=6,79
ln(1+x)<= x
ln(n+1)-ln(n)<= 1/n
Voilà c'est toutes les informations qui me sont données. Je sais également qu'il faut répondre à la question par une démonstration par récurrence
Merci d'avance !
PS: <= veut dire inférieur ou égal
Message de svphelp posté le 22-02-2022 à 01:37:58 (S | E | F)
Bonsoir, j'ai vraiment besoin d'aide je suis désespérée svp.
La question est la suivante :
"Démontrer alors que pour tout entier naturel n non nul : Un >= ln(n+1)"
Sachant que :
Un= 1 + 1/2 + 1/3 +...+1/n
Un+1= Un + 1/n+1
U1= 1
U2=1,5
U3=11/6
U20=3,60
U100=5,19
U500=6,79
ln(1+x)<= x
ln(n+1)-ln(n)<= 1/n
Voilà c'est toutes les informations qui me sont données. Je sais également qu'il faut répondre à la question par une démonstration par récurrence
Merci d'avance !
PS: <= veut dire inférieur ou égal
Réponse : Inéquation par récurrence de tiruxa, postée le 22-02-2022 à 11:05:10 (S | E)
Bonjour
Bienvenue sur ce site.
Bon l'hypothèse de récurrence est Un >= ln(n+1)
On doit démontrer que Un+1 >= ln(n+2)
Or Un+1 - Un = 1/(n+1)
et 1/(n+1) >= ln(n+2) - ln(n+1) (d'après ln(n+1)-ln(n)<= 1/n, pour tout n >0)
donc Un+1-Un >= ln(n+2) - ln(n+1)
ou Un+1 >= ln(n+2) - ln(n+1) + Un
Comme par hypothèse de récurrence - ln(n+1) + Un est positif cella permet de conclure.
Réponse : Inéquation par récurrence de chezmoi, postée le 24-02-2022 à 18:35:57 (S | E)
Bonsoir,
Avez-vous pensé de y = ln(x)
Dessinez une graphique
Calculez ∫ln(x) dx ?
Et...
de ma part et bonne chance !
Réponse : Inéquation par récurrence de chezmoi, postée le 13-03-2022 à 19:10:06 (S | E)
Bonsoir
Voici des indices...
Intégral riemann
Δx = 1/n
f(xi) = ?
La somme...
Bonne chance
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