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Division euclidienne
Cours gratuits > Forum > Forum maths || En basMessage de diallo20 posté le 16-10-2022 à 21:50:58 (S | E | F)
Bonjour ! Aidez moi à résoudre ça svp.
Un entier a s'écrit sous la forme a = 8k+6 ou (k) est un entier. Déterminer les quotient et le reste de la division euclidienne de a par 4.
Merci d'avance !
Réponse : Division euclidienne de wab51, postée le 17-10-2022 à 02:43:49 (S | E)
Bonsoir
Appeler q= quotient et r= reste de la division euclidienne du dividende a=8k+6 par le diviseur 4 .
Réécrire a=8k+6 sous la forme euclidienne a=4q+r avec 0≤r<4 .C'est facile et la réponse en moins d'une ligne .
Pour vous aider un peu dans le raisonnement ,voici une explication à partir de cet exemple :
la division de 19 par 3 écrite sous cette forme 19=3*5 + 4 n'est pas une division euclidienne car le reste r=4 ne remplit pas la condition r< 3 (4 n'est pas srictement inférieur à 3???)
réécrivons donc 19 sous forme euclidienne c.a.d 19=4q+r avec 0≤r<4
19=3*5 + 4 =3*5 + 3 +1 =3(5 + 1)+1=3*6 + 1 avec r=1<3
donc q=6 et r=1
Remarque
On pourrait peut être aussi penser à une autre voie de raisonnement sans passer par la division euclidienne mais là attention la réponse serait prise comme fausse parce qu'elle n'a pas respecté la condition imposée de l'hypothèse de l'énoncé " division euclidienne" .Bon courage
Réponse : Division euclidienne de diallo20, postée le 17-10-2022 à 18:00:26 (S | E)
Merci à vous 🤝,je passé par la division euclidienne et je trouvé a=4(2k)+4+2 et je factorisé par 4 qui est: a=4(2k+1)+2.
D'où :q=2k+1 et r=2.
J'espère que je trouvé ?
Merci d'avance
Réponse : Division euclidienne de wab51, postée le 18-10-2022 à 13:37:56 (S | E)
Oui ,votre réponse est tout à fait juste dans le cas où il s'agit d'une division euclidienne dans les entiers naturels N ou encore les entiers relatifs positifs Z+ N=Z+) .C'est pourquoi ,il faut comprendre du mot " entiers " de l'énoncé qu'il s'agit d'un ensemble plus large " les entiers relatifs Z et par conséquent a et k sont des entiers relatifs qui peuvent être des entiers relatifs positifs donc entiers naturels ou entiers relatifs négatifs Z- .Ce dernier cas doit figurer comme un deuxième cas du raisonnement pour une réponse complète .
<u>1er cas</u> : a et k sont des entiers relatifs positifs ou naturels : là , comme je l'ai précédemment dit , votre réponse est juste et le quotient q=2k+1 et le reste r=2 sont aussi des entiers positifs et appartiennent bien à cet ensemble
<u>2e cas</u> : a et k sont des entiers relatifs strictement négatifs Z*- (a<0 pour k<0) :
Posons k=-k' donc k'=entier relatif strictement positif ,on a donc 8k+6=-8k'+6 =4(-2k')+4+2=4(-2k'+1)+2 avec 2<│4│=4 .Conclusion :Oui, on constate qu'on trouve avec a<0 et k<0 ,un quotient négatif q=2k+1 et un même reste positif r=2 .
Voilà ,je pense qu'avec ce raisonnement complet , la réponse est à présente complète . Merci
Réponse : Division euclidienne de diallo20, postée le 18-10-2022 à 14:26:45 (S | E)
Je suis ravie merci !
Réponse : Division euclidienne de wab51, postée le 18-10-2022 à 16:07:44 (S | E)
On peut aussi procéder par un raisonnement encore beaucoup plus court résumé comme suit:
1er cas : Pour tout nombre relatif positif ou nul a (a Є Z+) correspond un nombre relatif positif ou nul k (k Є Z+) tel que :
8k+6=4(2k+1)+2 avec quotient q=2k+1=nbre relatif positif ou nul et reste r=2=nbre relatif positif
2e cas : Pour tout nombre relatif strictement négatif a ( a Є Z*- ) correspond un nombre relatif strictement négatif k (k Є Z*- ) tel que :
8k+6=4(2k+1)+2 avec quotient q=2k+1=nbre relatif strictement négatif et reste r=2=nbre relatif
positif
Merci et très bonne après midi
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