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Exercice niveau terminale Fonctions
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Message de noe971 posté le 15-02-2024 à 14:36:54 (S | E | F)
Bonjour j'ai des difficultés pour un exercice en mathématiques niveau terminale :
Partie A :
Soit la fonction f(x)=(e^x)/(x) − e + 1 définie sur R*.
1) Calculer f'(x) et montrer qu'elle est du même signe que x−1.
2) Déterminer les limites de f(x) aux bornes de son domaine de définition, en les
justifiant. Préciser d'éventuelles asymptotes verticales ou horizontales.
3) Dresser le tableau de variations de f(x).
4) Montrer que f''(x) est du même signe que (x^3)−2x²+2x et en déduire la
convexité de la fonction f.
Pour la 1) j'ai trouvé :
f'(x) = (e^x(x - 1))/x²
x² > o dans le signe de f'(x) dépend de (xe^x) - e^x, de plus e^x > 0, donc f'(x) est du même signe que x-1.
Pour la 2) j'ai commencé à chercher les limites mais je n'ai pas réussi, voilà ce que j'ai fais :
f(x)=(e^x)/(x) − e + 1
f(x)=(e^x) x 1/(x) - e +1
lim(e^x) = +infini
lim(1/x) = 0
lim(-e) = -infini
lim(1) = 1
Je ne sais pas quoi faire ensuite.
Pour la deuxième partie de la question, notre professeur ne nous a jamais parlé des "asimptotes" donc j'ai besoin d'aide.
Si quelqu'un peut m'aider, merci
Message de noe971 posté le 15-02-2024 à 14:36:54 (S | E | F)
Bonjour j'ai des difficultés pour un exercice en mathématiques niveau terminale :
Partie A :
Soit la fonction f(x)=(e^x)/(x) − e + 1 définie sur R*.
1) Calculer f'(x) et montrer qu'elle est du même signe que x−1.
2) Déterminer les limites de f(x) aux bornes de son domaine de définition, en les
justifiant. Préciser d'éventuelles asymptotes verticales ou horizontales.
3) Dresser le tableau de variations de f(x).
4) Montrer que f''(x) est du même signe que (x^3)−2x²+2x et en déduire la
convexité de la fonction f.
Pour la 1) j'ai trouvé :
f'(x) = (e^x(x - 1))/x²
x² > o dans le signe de f'(x) dépend de (xe^x) - e^x, de plus e^x > 0, donc f'(x) est du même signe que x-1.
Pour la 2) j'ai commencé à chercher les limites mais je n'ai pas réussi, voilà ce que j'ai fais :
f(x)=(e^x)/(x) − e + 1
f(x)=(e^x) x 1/(x) - e +1
lim(e^x) = +infini
lim(1/x) = 0
lim(-e) = -infini
lim(1) = 1
Je ne sais pas quoi faire ensuite.
Pour la deuxième partie de la question, notre professeur ne nous a jamais parlé des "asimptotes" donc j'ai besoin d'aide.
Si quelqu'un peut m'aider, merci
Réponse : Exercice niveau terminale Fonctions de tiruxa, postée le 15-02-2024 à 17:06:14 (S | E)
Bonjour
Je vais t'aider pour les limites
D'abord -e est une constante (-2,718...) donc sa limite est -e que ce soit à l'infini ou ailleurs...
Ensuite un résultat de cours est que lim(x->+inf) (e^x/x)=+inf, on dit que "l'exponentielle l'emporte sur la puissance".
L'autre terme -e+1 etant une constante la limite de f en +inf est donc +inf.
En -inf, la limite de e^x est 0, idem pour e^x/x donc la limite de f en -inf est -e+1.
En 0 il faut distinguer 0+ ET 0-
Ecrivons f(x)=(1/x)e^x-e+1
la limite de e^x en 0 est e^0 soit 1
Pour 1/x la limite en 0+ est +inf et -inf en 0-.
Donc la limite de f(x)en 0+ est +inf, et -inf en 0-.
Pour les asymptotes je te donne la définition et tu les trouveras toi même.
Si la limite à l'infini (que ce soit + ou -) de f(x) est a, on a une asymptote horizontale d'équation y=a
Si la limite de f(x), quand x tend vers a, est infinie (+ou-), on a une asymptote verticale d'équation x=a
Réponse : Exercice niveau terminale Fonctions de noe971, postée le 15-02-2024 à 18:56:27 (S | E)
Cela signifie qu'on a une asymptote horizontale d'équation y=-e+1, et
une asymptote verticale d'équation x=-e+1
C'est ça ???
Réponse : Exercice niveau terminale Fonctions de tiruxa, postée le 15-02-2024 à 19:32:25 (S | E)
Ok pour l'horizontale
mais la verticale c'est x=0 puisque la limite de f est infinie quand x tend vers 0.
Réponse : Exercice niveau terminale Fonctions de noe971, postée le 15-02-2024 à 20:19:25 (S | E)
D'accord merci
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