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Équation du 2nd degré sans discriminant
Message de posté le 19-06-2007 à 17:55:57 (S | E | F)
Bonjour.
Récemment je fus interpellée par cette question:
« A quoi servent les identités remarquables ? »
Voici un bel exemple d'application des identités remarquables à la résolution d'une équation du second degré.
Vous demandez à un élève de troisième de résoudre :
x² - x - 6 = 0 (E)
Il vous répondra qu'il n'est pas encore au lycée...... et pourtant !!
Voici la méthode :
On pose x = X + a
Et l'on substitue cette nouvelle valeur dans (E).
On obtient :
(X + a)² - (X + a) - 6 = 0
On développe
X² + 2aX + a² - X - a - 6 = 0
X² + X(2a - 1) + a² - a - 6 = 0
On décide alors de choisir a = 1/2 de façon que le coefficient de X soit nul.
De la sorte nous aurons une équation de la forme X² - A² = 0.
Remplaçons a par 1/2, on obtient :
X² + 1/4 - 1/2 - 6 = 0
Soit après calculs
X² - 25/4 = 0 <══> (X + 5/2)(X - 5/2) = 0
D'où DEUX solutions
X' = 5/2
X" = -5/2
Puisque l'on a posé :
x = X + a
Alors on obtient :
x' = 5/2 + 1/2 = 6/2 = 3
x" = -5/2 + 1/2 = -4/2 = -2
Verifiez que 3 et -2 annulent le trinôme x² - x - 6.
Vérifiez aussi que (x - 3)(x + 2) = x² - x - 6
Donc l'ensemble des solutions de (E) est : S = {-2 ; 3}.
Maintenant amusez-vous, en utilisant cette méthode, à résoudre :
2x² - 5x - 12 = 0
6x² - 7x - 3 = 0
8x² + 14x + 5 = 0
Que se passerait-il si vous aviez à résoudre x² + 2x + 3 = 0 ?
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Modifié par bridg le 21-10-2007 05:28
Message de posté le 19-06-2007 à 17:55:57 (S | E | F)
Bonjour.
Récemment je fus interpellée par cette question:
« A quoi servent les identités remarquables ? »
Voici un bel exemple d'application des identités remarquables à la résolution d'une équation du second degré.
Vous demandez à un élève de troisième de résoudre :
x² - x - 6 = 0 (E)
Il vous répondra qu'il n'est pas encore au lycée...... et pourtant !!
Voici la méthode :
On pose x = X + a
Et l'on substitue cette nouvelle valeur dans (E).
On obtient :
(X + a)² - (X + a) - 6 = 0
On développe
X² + 2aX + a² - X - a - 6 = 0
X² + X(2a - 1) + a² - a - 6 = 0
On décide alors de choisir a = 1/2 de façon que le coefficient de X soit nul.
De la sorte nous aurons une équation de la forme X² - A² = 0.
Remplaçons a par 1/2, on obtient :
X² + 1/4 - 1/2 - 6 = 0
Soit après calculs
X² - 25/4 = 0 <══> (X + 5/2)(X - 5/2) = 0
D'où DEUX solutions
X' = 5/2
X" = -5/2
Puisque l'on a posé :
x = X + a
Alors on obtient :
x' = 5/2 + 1/2 = 6/2 = 3
x" = -5/2 + 1/2 = -4/2 = -2
Verifiez que 3 et -2 annulent le trinôme x² - x - 6.
Vérifiez aussi que (x - 3)(x + 2) = x² - x - 6
Donc l'ensemble des solutions de (E) est : S = {-2 ; 3}.
Maintenant amusez-vous, en utilisant cette méthode, à résoudre :
2x² - 5x - 12 = 0
6x² - 7x - 3 = 0
8x² + 14x + 5 = 0
Que se passerait-il si vous aviez à résoudre x² + 2x + 3 = 0 ?
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Modifié par bridg le 21-10-2007 05:28
Réponse: Équation du 2nd degré sans discriminant de carmy, postée le 23-06-2007 à 19:30:22 (S | E)
Pouvons nous utiliser le delta ?
Réponse: Équation du 2nd degré sans discriminant de , postée le 23-06-2007 à 20:19:24 (S | E)
Bonjour carmy.
Non.Si j'ai indiqué cette méthode c'est justement pour ne pas calculer le discriminant.
Ainsi un élève de 3° qui manipule avec aisance les identités remarquables est en mesure de déterminer les solutions des équations que j'ai proposées.
Alors au travail.
Réponse: Équation du 2nd degré sans discriminant de jo93, postée le 24-06-2007 à 22:02:00 (S | E)
Bonjour marie11,
Je ne suis pas encore en 3ème mais je vais essayer en suivant cette méthode de résoudre la première équation.
2x²-5x-12=0.
Soit x=X+a ==> 2(X+a)²-5(X+a)-12 = 0
2(X²+2aX+a²)-5X-5a -12 = 0
2X²+4aX+2a²-5X-5a-12 = 0
2X²+X(4a-5)+2a²-5a-12 = 0
ici a=5/4 ==> 2X²+2(25/16)-5(5/4)-12 = 0.En réduisant au même dénominateur,j'obtiens:16X² - 121 = 0 <==>(4x)² - (11)² = 0
(4X-11)(4X+11) = 0
d'où X1=11/4 ou X2=-11/4.
Donc x= X1+a = 11/4+5/4 = 4
x= X2+a = -11/4+5/4=-6/4=-3/2
Les solutions de cette équation sont donc : 4 et -3/2
Merci et j'essaierai de faire la suite.
Réponse: Équation du 2nd degré sans discriminant de jo93, postée le 24-06-2007 à 23:08:50 (S | E)
Bonsoir,
Voici la suite:
6x²-7x-3 = 0. En remplaçant xpar X+a,on aura:
6(X+a)²-7(X+a)-3 = 0
6(X²+2a+a²)-7X-7a-3 = 0
6X²+12aX+6a²-7X-7a-3 = 0
6X²+X(12a-7)+6a²-7a-3 = 0 ; a = 7/12
Donc:6X²+6(49/144)-(49/12)-3 = 0
6X²+(49/24)-(98/24)-(72/24) =0
6X²-(121/24) =0.
(144X²/24)-(121/24) = 0 <===>144X²-121 = 0
(12X)²-(11)² =0
(12X-11)(12X+11) = 0
Donc:X1=11/12 où X2= -11/12
On aura donc:x1=X1+a= 11/12 + 7/12=18/12=3/2 x2=X2+a= -11/12 + 7/12= - 4/12= -1/3
Les solutions sont donc: 3/2 et -1/3
Pour 8x²+14x+5 = 0,j'ai fait pareil en ayant a= -7/8 ,je trouve l'identité remarquable:64X²- 9 =0
(8X-3)(8x+3) = 0 ===>X1=3/8 ;X2=-3/8ce qui nous donne
x1 =X1+a= 3/8 - 7/8 = -4/8 = -1/2
x2 =X2+a= -3/8-7/8 = -10/8 = -5/4
Les solutions sont donc -1/2 et -5/4
Quant à x²+2x+3 = 0 ,je trouve a= -1 et à la fin X²+2 = 0
X²= -2
C'est impossible car un carré est toujours positif;la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas.
En espèrant que je ne me suis pas trompé ,je vous dis
Réponse: Équation du 2nd degré sans discriminant de , postée le 25-06-2007 à 13:23:03 (S | E)
Bonjour Djamil.
Tu as parfaitement appliqué la méthode que j'ai indiquée.
Tu sais maintenant résoudre des équations du second degré.
Tous tes résultats sont exacts.
Bravo !!
Réponse: Équation du 2nd degré sans discriminant de jo93, postée le 25-06-2007 à 18:20:33 (S | E)
Bonjour marie11,
Merci pour le bravo , et pour la méthode que je viens d'apprendre grâce à vous.Je suis bien content de pouvoir et savoir résoudre des équations du 2ème degré !!!Mille merci à vous.
Réponse: Équation du 2nd degré sans discriminant de bulle35, postée le 27-06-2007 à 14:46:47 (S | E)
une autre solution
reprenons l'équation x² -x-6 = 0
ce n'est pas une identité remarquable mais on considère que x²-x est le début d'une expression de la forme ( a-b)² soit a²-2ab + b² avec a=x et 2ab = x soit
b = 1/2 et b² = 1/4
on peut alors écrire que x²-x-6 = x²-x +1/4 -1/4 -6 et ensuite en regroupant
(x²-x + 1/4 )- (1/4 + 6 ) donc (x- 1/2)² -25/4 et donc ( x-1/2)²- (5/2)²
ce qui permet de retomber sur un produit remarquable a²-b² soit (a-b)(a+b)
x² -x -6 = (x-1/2- 5/2) (x-1/2+5/2)
= (x-3) (x+2)
il est alors facile de résoudre l'équation proposée
(x -3) ( x+2) = 0
on doit avoir :
x-3=0 donc x=3 ou x+2 = 0 donc x = -2
voilà une autre méthode mais qui nécessite de bien savoir manipuler les identités remarquables ,quelques difficultés parfois pour trouver le "b" et donc le "b²"
lorsqu'on se trouve face à des 2x² + - .... ou 3x²+ - ...., il suffit de factoriser le coëfficient 2 ou 3
2x² -5x -12 = 2( x²- 5/2x -6 ) par exemple et on reprend la méthode proposée
A essayer
Bon courage
Réponse: Équation du 2nd degré sans discriminant de toufa57, postée le 01-07-2007 à 19:00:11 (S | E)
Bonjour,
Merci à marie11 et bulle35 de proposer deux autres manières de résoudre une équation du 2ème degré sans avoir appris le discriminant au préalable.
Je pense que la méthode de marie est plus abordable pour les élèves de 3ème . Effectivement,avec celle de bulle,on peut facilement se tromper étant donné qu'à ce niveau d'études, on ne sait pas manipuler les identités remarquables de cette façon;on les applique simplement, telles qu'elles sont énoncées , pour développer ou factoriser.
Si mes souvenirs ne me trompent pas,la méthode de bulle correspond à ce que l'on appelle "la forme canônique" que l'on apprend (et toujours si mes souvenirs sont bons) en seconde ,et qui s'applique jusqu'en terminale et plus , même dans l'analyse des fonctions.Et c'est là où elle est très intéréssante car elle facilite les calculs.
En tout cas
et 
à vous.
Réponse: Équation du 2nd degré sans discriminant de dijor, postée le 29-07-2007 à 19:16:12 (S | E)
C'ct vrai qu'il existe différent moyen de résoudre une équation du second degré. Mais si on a inventé le discriminant c'est justement pour simplifier cela !
De plus je pense que les professeurs de mathématique qui ont des troisièmes n'exigent pas un niveau de raisonnement à leurs élèves !
Mais il vrai que cette technique peut être utile surtout pour les équations type : x^3+4x²+5x+6 ( C'est d'ailleurs si mes souvenirs sont bons la technique utilisé ! ) Ceci n'est qu'un exemple je ne sais pas si ça marche !
Réponse: Équation du 2nd degré sans discriminant de hajoura-86, postée le 20-10-2007 à 23:46:05 (S | E)
J'ai voulu répondre mais je sais pas comment
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Modifié par bridg le 21-10-2007 05:29
Réponse: Équation du 2nd degré sans discriminant de salah91, postée le 25-02-2008 à 15:48:53 (S | E)
pour résoudre se genre d'équations on peut calculé
= b²-4ac dans une equation ax²+bx+c=0apres on a x'=(-b-rac.carre
)/2a oux''=(-b+rac.carre
)/2a<< Forum maths
