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Pythagore et divisibilité.
Message de marie11 posté le 04-07-2007 à 09:58:46 (S | E | F | I)
Bonjour.
On considère le cas où les mesures des côtés d'un triangle rectangle sont des nombres entiers.
par exemple : 3 ; 4 ; 5 ── 9 ; 12 ; 15 ── 8 ; 15 ; 17.........
en effet :
5² = 4² + 3²
15² = 12² + 9²
17² = 15² + 8²
1- Démontrer que ces trois nombres ne sont pas tous impairs, donc qu'il exite au moins un nombre pair.
2- Démontrer que l'un au moins de ces nombres est divisible par trois.
Niveau : terminale S (spé)
Correction : À la rentrée.
Bonnes vacances !
Message de marie11 posté le 04-07-2007 à 09:58:46 (S | E | F | I)
Bonjour.
On considère le cas où les mesures des côtés d'un triangle rectangle sont des nombres entiers.
par exemple : 3 ; 4 ; 5 ── 9 ; 12 ; 15 ── 8 ; 15 ; 17.........
en effet :
5² = 4² + 3²
15² = 12² + 9²
17² = 15² + 8²
1- Démontrer que ces trois nombres ne sont pas tous impairs, donc qu'il exite au moins un nombre pair.
2- Démontrer que l'un au moins de ces nombres est divisible par trois.
Niveau : terminale S (spé)
Correction : À la rentrée.
Bonnes vacances !
Réponse: Pythagore et divisibilité. de mamachat, postée le 05-07-2007 à 14:57:01 (S | E)
C'est fastoche! Je suis en 4ème et j'arrive à le faire!!
mamachat
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Modifié par magstmarc le 05-07-2007 15:32
Prouve-le...
Réponse: Pythagore et divisibilité. de TravisKidd, postée le 06-07-2007 à 04:05:00 (S | E)
1- In any set of 3 integers the sum of two of which is the other, one of the integers must be even, because if the two addends were odd, the sum would be even. Hence, if they are perfect squares, one of their square roots must be even, since the parity of a perfect square is the same as that of its square root. Thus at least one number in any Pythagorean triple is even. QED
2- Suppose that there were a Pythagorean triple containing no multiple of three. Then their squares would all be congruent to 1 mod 3. But this is impossible, because the sum of two numbers congruent to 1 mod 3 is congruent to 2 mod 3. This being a contradiction, every Pythagorean triple must contain a multiple of 3. QED
Réponse: Pythagore et divisibilité. de plurien, postée le 06-07-2007 à 14:11:36 (S | E)
Bonnes vacances Marie 11
Mais moi avec mon certificat d'étude je vais pouvoir ramer jusqu'a la rentrée .
Merçi pour tout
Réponse: Pythagore et divisibilité. de toufa57, postée le 06-07-2007 à 15:50:42 (S | E)
Bonjour ,
...Quant à moi,je suis en train de nager depuis deux jours !!!en direction du lycée.
Il faudra bien que je m'en sorte ,sinon je baisserais les bras en me tenant à la rame de plurien. 
Je compte sur toi plurien si tu rames dans ma direction.
et 
Réponse: Pythagore et divisibilité. de madoda, postée le 08-07-2007 à 13:33:23 (S | E)
Bonjour marie11,
Je crois qu'il faut se référer au théorème de Fermat-Wiles, pour voir plus clair dans ce que tu nous proposes.
Pour tout x,y et z € N*, il existe k,l et m € N* tel que:
x²+y²=z², avec x= 2k.l.m , y=k(m²-l²) et z=k(m²+l²),avec m >l
On peut voir que x est obligatoirement pair, autrement dit les 3 entiers de Pythagore x,y et z ne peuvent pas être tous impairs.
En outre, quelle que soit la valeur donnée à l et m, m²-l² est toujours un multiple de 3.
J'espère que tu es satisfaite par ma réponse.
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Modifié par magstmarc le 08-07-2007 20:47
-ce n'est pas le théorème de Fermat-Wiles. Euclide l'a démontré il y a très très longtemps
-énoncé de ton théorème faux, je rectifie
Pour tous x,y,z entiers strictement positifs
si x²+y²=z² alors il existe des entiers str. positifs k,p et q (p>q) tels que
x = k(p²-q²) ; y = 2kpq ; z = k(p²+q²)
- à mon avis, pour cet exercice il faut utiliser seulement x²+y²=z² et x,y,z entiers.
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Modifié par magstmarc le 09-07-2007 15:02
Réponse: Pythagore et divisibilité. de toufa57, postée le 09-07-2007 à 12:09:36 (S | E)
Bonjour magstmarc,
Alors x = z ?
Je continue à nager.Réponse: Pythagore et divisibilité. de magstmarc, postée le 09-07-2007 à 15:03:31 (S | E)
merci toufa J'ai corrigé
Réponse: Pythagore et divisibilité. de another_system, postée le 09-07-2007 à 21:20:17 (S | E)
Il suffit de le faire par l'absurde pour les deux.
Dans le 1 on suppose donc que les 3 sont impairs....
Dans le 2, on suppose qu'ils sont tous congrus à 3 modulo 1 ou 2
Réponse: Pythagore et divisibilité. de tetrakos, postée le 12-07-2007 à 13:03:05 (S | E)
(impair)²=impair car (2k+1)*(2k+1)=4k²+4k+1=2(2k²+2k)+1 ==> impair
(pair) * (n'importe quoi) = (pair) car cela peut s'écrire comme une somme : pair + pair + pair + pair ... soit 2k+2k'+2k''....=2(k+k'+k''...) ==> pair
pair + impair = impair car (2k+1)+(2k)=2(2k)+1 ==> impair
impair + impair = pair car (2k+1)+(2k+1)=2(2k+1) ==> pair
[question 1]
soit l'expression a²=b²+c²
_si b ou
_si b et c sont impairs, leurs carrés sont impairs et on a donc une somme d'impairs
or une somme de deux impairs est paire donc on aurait a² pair
donc a est pair, donc au moins un terme est pair
pour la deuxième question je repasse dans deux heures
le temps de préparer mes congruences et de manger...
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Modifié par magstmarc le 12-07-2007 15:03
Pour chacune de tes démonstrations "pair + impair = impair" et "impair + impair = pair" il faut un k et un k'... sinon tu n'as pas le cas général
Réponse: Pythagore et divisibilité. de ahmed007, postée le 12-07-2007 à 23:53:42 (S | E)
on fait un resonnement par absurde
supposons que x et y et z sont tous impaires
donc il existe k et k' telsque x=2k+1 et y=2k'+1
donc x2 + y2 = 2(2k2+2k’2+2k+2k’+1)
donc z2 est paire
donc z paire contradiction
donc les 3 nombres ne sont pas tous impairs
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Modifié par ahmed007 le 13-07-2007 09:21
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Modifié par ahmed007 le 13-07-2007 10:04
Réponse: Pythagore et divisibilité. de ahmed007, postée le 13-07-2007 à 09:15:19 (S | E)
pour la 2eme question
si x ou y est divisible par 3 c'est ce qu'on veut
si x et y ne le sont pas on a x=3k+1 ou x=3k+2 et de meme pour y y=3k'+1 ou y=3k'+2
on z2=x2-y2=(x-y)(x+y)
dans tous les cas de xety on aura z2=3(....) donc z2 est divisible par 3
donc z l'est aussi car 3 est un nombre premier.
comment ecrire une puissance et les autres symboles mathematiques; merci
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Modifié par ahmed007 le 13-07-2007 09:20
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Modifié par ahmed007 le 13-07-2007 09:22
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Modifié par magstmarc le 13-07-2007 09:32
Pour le carré tu l'as sur ton clavier quelque part.
Sinon, et pour les autres puissances :
il faut mettre la puissance entre les balises SUP et /SUP
les balises sont à mettre entre < et >
x3 + y5
Si tu édites ce post tu verras la syntaxe !
Pour les indices c'est SUB et /SUB
xf - xi
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Modifié par ahmed007 le 13-07-2007 10:02
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Modifié par ahmed007 le 13-07-2007 10:24
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Modifié par ahmed007 le 13-07-2007 17:46
