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[Maths]Au casino - exercice
Message de TravisKidd posté le 04-10-2007 à 15:08:51 (S | E | F)
Un gentilhomme entre un casino avec $20. (Il est un grand joueur, non?
) Il trouve un jeu binaire auquel la probabilité de gagner $10 sur un pari de $10 est 45%. La probabilité de perdre $10 est donc 55%. Il s'engage à parier $10 à la fois, et à quitter le casino soit avec $40, soit avec rien.
La question: quelle est la probabilité que notre gentilhomme part avec $40? On peut assumer sans justification que la probabilité qu'il joue jusqu'à jamais est 0. On peut aussi arrondir raisonnablement sa réponse.
Niveau universitaire, mais si un lycéen ambitieux voudrait l'attaquer ce serait impressionnant.
Bonus: Et s'il préfère partir avec $50?
Message de TravisKidd posté le 04-10-2007 à 15:08:51 (S | E | F)
Un gentilhomme entre un casino avec $20. (Il est un grand joueur, non?
) Il trouve un jeu binaire auquel la probabilité de gagner $10 sur un pari de $10 est 45%. La probabilité de perdre $10 est donc 55%. Il s'engage à parier $10 à la fois, et à quitter le casino soit avec $40, soit avec rien.La question: quelle est la probabilité que notre gentilhomme part avec $40? On peut assumer sans justification que la probabilité qu'il joue jusqu'à jamais est 0. On peut aussi arrondir raisonnablement sa réponse.
Niveau universitaire, mais si un lycéen ambitieux voudrait l'attaquer ce serait impressionnant.
Bonus: Et s'il préfère partir avec $50?
Réponse: [Maths]Au casino - exercice de TravisKidd, postée le 05-10-2007 à 17:04:03 (S | E)
Personne ??
Réponse: [Maths]Au casino - exercice de happyman, postée le 14-01-2008 à 10:18:02 (S | E)
Comme notre homme possède déjà 20$, il lui restait de gagner un autre 20$ pour avoir 40$. Il fallait jouer avec succès deux fois avec un pari de 10$.
La probabilité de gagner à chaque fois est 45% soit 0.45.
Le résultat sera 0.45 * 0.45 soit : 0.2025 donc 20.25 %
Pour arriver à 50$, il devrait gagner le pari de 10$ trois fois successifs.
Le résultat sera 0.45 * 0.45 * 0.45 = 0.091 soit 9%
Réponse: [Maths]Au casino - exercice de TravisKidd, postée le 14-01-2008 à 16:15:18 (S | E)
Enfin après plus que trois mois quelqu'un d'assez brave pour essayer !!!
Un bon essai, mais heureusement (car je suis sadiste
) le problème n'est pas aussi simple que ça !!Et s'il perd au premier pari, puis gagne aux trois prochains? Ou s'il gagne au premier, perd au deuxieme, puis gagne au 3e et 4e?
Il faut vraiment y réflechir !!! Bon courage !!!
Réponse: [Maths]Au casino - exercice de happyman, postée le 18-01-2008 à 11:12:37 (S | E)
Si nous supposons :
p : la probabilité de gagner à un seul pari (p = 0.45 d'après l'énoncé)
q : la probabilité de sortir gagnant avec 40$ (la solution de notre problème).
Comme notre home a déjà 20$, plusieurs cas se présentent :
1) Gagner deux fois successifs (p*p)
2) Gagner une fois puis perdre une fois, retour au problème initial (probabilité q)
3) Perdre une fois puis gagner une fois, retour au problème initial (probabilité q)
Nous tirons l'équation récursive: q = p*p + p*(1-p)*q+ (1-p)*p*q.
Solution : q = p*p / (2*p*p -2*p +1) (calcul : q = 0.40, soit 40%)
Pour sortir gagnant avec 50$ : q = p*p*p + p*(1-p)*q+(1-p)*p*q.
q = p*p*p /(2*p*p-2*p+1) (calcul q = 0.18, soit 18%)
Réponse: [Maths]Au casino - exercice de TravisKidd, postée le 20-01-2008 à 19:19:20 (S | E)
Pour $40 oui, c'est la bonne solution !
Pour $50, il y a d'autres cas à considérer !
Réponse: [Maths]Au casino - exercice de happyman, postée le 21-01-2008 à 09:55:30 (S | E)
Bonjour,
Aprés représentation graphique du problème :
Etat initial : l'homme possède $20.
Etats finaux : L'homme possède $50 ou l'homme possède rien.
Etats transitoires : L'homme possède $30 ou $40.
Le cas qui m'a échappé : L'homme gangne deux fois successifs puis il boucle entre le $30 et $40 puis enfin perd une fois --> retour à l'état initial.
qs = p*p*((1-p)+(1-p)*p*(1-p)+ (1-p)*p*(1-p)*p*(1-p)+...)*(1-p)*q
= p*p*s*(1-p)*q ,avec s = (1-p) + (1-p)*p*(1-p)+....
L'équation sera : q = p*p*p + p*(1-p)*q + (1-p)*p*q + p*p*s*(1-p)*q
La résolution de l'équation revient à calculer la somme s:
s = (1-p)+ (1-p)*p*(1-p)+ (1-p)*p*(1-p)*p*(1-p)+...
Cette somme se réduit en : s = s1 - s2 tel que :
s1 = 1 + p + p*p + p*p*p + ...
s2 = p + p*p*p + p*p*p*p*p +...
En supprimant les facteurs impairs s se réduit en :
s = 1 + p*p+ p*p*p*p + p*p*p*p*p*p+... une somme d'une série géométique de raison r = p*p.
J'ai oublié comment faire la somme d'une série géométrique.
Enfin nous pouvons calculer q en fonction de p et s :
q = (p*p*p) / (1 - 2*p*(1-p) - p*p*s*(1-p))
