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[Maths]Dm terminal (1)

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[Maths]Dm terminal
Message de mulute posté le 31-01-2008 à 21:23:13 (S | E | F)

bonjour j'ai un dm de math est ce quelqu'un pourrait m'aider ?
En tout cas je vous remercie d'avance.

Partie A :
on pose, pour n supérieur ou égal à 1, Un= 1+ 1/1! + 1/2! +...+ 1/n! et Vn = Un + 1/n*n!

1) calculer U1, V1, U2, V2, U3, et V3

2) montrer que (Un) est croissante et que (Vn) est décroissante.

3) étudier lim(n tend vers +infini) 1/(n*n!). en déduire que les suites (Un) et (Vn) sont adjacentes

4) on note l leur limite commune. en utilisant U6 et V6, déterminer un encadrement de l d'amplitude inférieure à 10-3. Que peut on alors conjecturer concernant la valeur de la limite l ?

Je mettrais la partie B plus tard

Pour la question 1)j'ai trouvé :- U1= 2
- V1= 3
- U2= 2,5
- V2= 2,75
- U3= 2,66
- V3= 2,65
2)*Un+1= 1+ 1/1! + 1/2! +...+ 1/n!+ 1/(n+1)!
Un= 1+ 1/1! + 1/2! +...+ 1/n!
Un+1 plus grand que Un donc Un est croissante
*Vn = Un + 1/(n*n!)
Vn+1 = Un+1 + 1/((n+1)*(n+1)!)
Donc Vn plus grand que Vn+1

3)* lim 1/(n*n!) quand n tend vers + l'infini
Lim n*n!(quand n tend vers + l'infini)= + infini
Donc lim 1/n*n!(quand n tend vers + l'infini) = - l'infini

Mais je ne sais pas comment faire pour en déduire que les 2 suites sont adjacentes

4) je n'ai pas trouvé

Merci de me dire si mes résultats sont corrects.
Je vous remercie d'avance.




-------------------
Modifié par magstmarc le 01-02-2008 14:17
Exposants + indices
Erreur dans la limite.


Réponse: [Maths]Dm terminal de lagouv, postée le 31-01-2008 à 21:51:39 (S | E)
Alors pour commencer , deux suites sont adjacentes si l'une est croissante, l'autre décroissante, et si lim V-U = 0
Cela répond à la fin de la question 3.

Ensuite on dit que lim V = lim U = l . Tu calcules u6 et V6 comme demandé.

Tu sais que V est décroissante et de limite l ,
donc V1>V2>V3>V4>V5>V6>...> lim V = l donc en particulier l < V6

De meme U est croissante
donc u1U6

et voilà comment tu obtients ton encadrement. Et la conjecture devrait découlé des valeurs de u6 et v6 qui devrait surement être assez proches.

Voilà...


Réponse: [Maths]Dm terminal de marie11, postée le 31-01-2008 à 22:04:53 (S | E)
Bonjour.

Définition:
Soit U et V deux suites définies dans N.
Dire que U et V sont adjacentes, c'est dire que
· l'une est croissante
· l'autre est décroissante
· lim (V-U)=0


Voici une autre définition:

Deux suites réelles Un et Vn sont dites adjacentes si elles vérifient les propriétés suivantes :

1- Un est une suite croissante.
2- Vn est une suite décroissante.

3- Pour tout n, Un ≤ Vn

4- Vn - Un ──> 0 si n ──> ∞

Important
Théorème:
Deux suites adjacentes convergent, et elles ont la même limite!

Il suffit donc de déterminer la limite d'une des deux suites.

Aidez-vous de ces définitions pour terminer votre exercice.



Réponse: [Maths]Dm terminal de magstmarc, postée le 01-02-2008 à 14:17:07 (S | E)
Hello,

Attention, si on peut affirmer sans dommage ici que Un+1 > Un (on rajoute à chaque fois un nombre strictement positif au terme précédent), par contre la comparaison de Vn et Vn+1 n'est pas immédiate.
Une bonne méthode est de calculer Vn+1 - Vn et d'étudier son signe.

Bonne continuation


Réponse: [Maths]Dm terminal de mulute, postée le 03-02-2008 à 16:45:43 (S | E)
voila la partie 2:
Soit n entier fixé (n plus grand ou égal a 1). On pose, pour x appartient à[0;1], f(x)=(1+(x/1!)+(x^2/2!)+...+(xn/n!)e^-x

1)a) Calculer f(0) et f(1)
b) montrer que f est dérivable sur [0;1] et que f'(x)=-((xn)/n!)e^-x. En déduire que Un plus petit ou égal a e

2)On pose, pour x appartient[0;1], g(x)= f(x)+(x/n!)
a) calculer G'(x) et montrer que g est croissante sur [0;1]
b) en déduire que e-(e/n!) plus petit ou égal a Un
3) déduire des questions précédentes la valeur exacte de l

Merci d'avance


Réponse: [Maths]Dm terminal de mulute, postée le 03-02-2008 à 16:52:27 (S | E)
j'ai trouver f(0)= 1


Réponse: [Maths]Dm terminal de mulute, postée le 03-02-2008 à 17:01:19 (S | E)
pour f(1) je n'arrive pas à trouver le résultat je sais comment faire mais je suis bloqué dans les calculs.
Et je n'arrrive pas à calculer la dérivée de f




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