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Devoir Maison de seconde
Message de cathie posté le 22-02-2008 à 17:41:11
Bonsoir.
Voici le sujet du D.M. que j'ai à faire puis ce que j'ai trouvé.
J'ai besoin d'aide pour savoir là où j'ai faux, être si possible corrigée avec des explications (surtout pour le 3.a).
Le potager de Samir :
Samir veut entourer une partie de son potager d'un grillage pour la protéger des lapin qui viennent manger ses légumes.
Il a récupéré 120 m de grillage et souhaite entourer une zone rectangulaire. Il se demande quelles devront être les dimensions de ce rectangle pour que l'aire protégée soit la plus grande possible.
1. Zoé dit à Samir : "Tous les rectangles auront le même périmètre 120 m, donc aussi la même aire. Tu peux prendre n'importe lequel d'entre eux".
Qu'en pensez-vous ?
2. On note x et y les dimensions du rectangle.
a. Montrer que y = 60 - x et que 0 inférieur ou égal à x inférieur ou égal à 60 ( inférieur ou égal est un mélange de = et de A(x)
0 => 0
5 => 275
10 => 500
15 => 675
20 => 800
25 => 875
30 => 900
35 => 875
40 => 800
45 => 675
50 => 500
55 => 275
60 => 0
Pour la courbe : il me semble que c'est une parabole ou une hyperbole où les extrémités (qui ont un nom que j'ai oublié) tournées vers le bas ont pour coordonnées (0;0) et (60;0) et "le point le plus haut" a pour coordonnées (30;900).
Pour l'échelle je n'ai pas encore réfléchie.
3.a.
Je crois que je n'ai pas réussi :
L'aire du rectangle doit être maximale. L'aire maximale trouvée est de 900 m² avec x = 30 m.
A(x) = 900, or A(x) = -x² + 60x
d'où (les crochets sont des parenthèses mais c'est pour éviter la confusion)
2[A(x)] = 900 + ( -x² + 60x)
2[A(x)] = 900 – x² + 60x
2[A(x)] = (x – 30)²
A(x) + 900 = (x – 30)²
A(x) = -900 + (x – 30)²
A(x) = 900 – (x – 30)²
b.
L'aire maximale étant de 900 m², A(x) inférieur ou égal à 900 pour tout x Є [0 ; 60].
c.
L'aire maximale est de 900 m² (dois-je dire autre chose?démontrer?)
d.
y = 60 – x et x = 30
y = 60 – 30
y = 30
x=y=30
La largeur et la longueur sont de même longueur, l'aire pourrait se traduire par x² ou y² ce qui correspond à la formule d'un carré.
Samir doit donner à la zone rectangulaire une forme carré.
Merci d'avance.
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Modifié par magstmarc le 22-02-2008 22:48pour le vocabulaire de la parabole... "les branches" et "le sommet"
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Modifié par bridg le 21-09-2008 19:09
Réponse: Devoir Maison de seconde de fr, postée le 22-02-2008 à 19:45:50
Bonsoir Cathie,
Pour le 1) donner un contre-exemple comme vous l'avez fait suffit amplement : pour montrer qu'une proposition est fausse, il suffit de donner un contre exemple (ici, comme il existe 2 rectangles de périmètre identique qui n'ont pas la même aire, la proposition est fausse)
A contrario, pour prouver qu'une proposition est vraie, il faut montrer qu'elle est vraie dans tout le domaine de définition, avec les hypothèses données.
2a)
Attention, vous avez défini x et y comme respectivement la largeur et la longueur, or la largeur est inférieure ou égale à la longueur. Ce n'est pas respecté pour si x>30, car alors on a y<30 ... (définissez simplement x un côté et y l'autre)
Il faut également justifier les bornes de l'intervalle simplement en précisant qu'une longueur est forcément positive ou nulle (d'où 2 inéquations : x>=0 et y>=0).
2b) OK
2c) il est demandé de construire point par point, peut-être faudra-t-il plus de points pour avoir une "belle" courbe (sans angle).
Il s'agit effectivement d'une parabole ...
3a) Vous mettez la charrue avant les boeufs : vous déclarez que l'aire maximale est 900, alors que c'est le but de la question (cela n'est pas encore démontré), de plus,
A(x)=900 est faux car A(10) est différent de 900 (voir question 1), ici
A(x)=-x²+60x (vrai quel que soit x)
Là, vous avez 2 méthodes selon votre programme et les indications données :
- soit vous développez la formule donnée "900 – (x – 30)²" et vous comparez avec le résultat obtenu au 2b)
- soit, si vous n'avez pas la formule donnée (méthode plus générale), vous considérez -x²+60x comme le début d'une identité remarquable du style a(x²+2bx+b²) = a(x+b)²
ici, vous avez a=-1, et 2ab=..., d'où b= ...
or comme -x²+60x = -x²+60x+ab²-ab², vous avez ...
3b) Attention, vous partez encore de la conclusion,
ici la forme A(x)=900-(x-30)² permet, sachant qu'un nombre au carré est forcément ...
de dire A(x) est ...
3c) le 3b vous aide car vous avez démontré que A(x) est borné par la valeur ...
donc 2 formulations :
- si vous trouvez une valeur de x pour laquelle A(x) atteint son maximum, vous avez trouvé le maximum
- pour maximiser A(x), il convient de minimiser (x-30)² (car il y a un signe - devant), or le minimum de (x-30)² est ... car il est forcément ... (vu au-dessus) ,pour x=...
3d) OK
PS : pour information (hors sujet ici), la surface maximale que l'on peut obtenir pour un périmètre donné, si l'on ne se contraint pas à une forme donnée (ici un rectangle), est obtenue en prenant un cercle ...
Réponse: Devoir Maison de seconde de marie11, postée le 22-02-2008 à 20:09:54
Bonjour Cathie.
Dans un premier temps je vous félicite d'avoir eu le courage de poster un travail aussi long. Vous méritez donc une réponse.
1- C'est parfait. Rien à ajouter.
Pour démontrer qu'une assertion est fausse un seul contre exemple est suffisant.
2- Le tracé point par point montre que la courbe est une parabole.
La forme la plus générale d'une parabole est :
y = ax² + bx + c avec a≠ 0
Une parabole passe par un extremum qui peut être un maximum ou un minimum.
Les calculs montrent que
A(x) = -x² + 60x
3- Vous êtes en classe de seconde et vous ne connaissez pas les dérivées, c'est la raison pour laquelle, on vous demande de montrer que l'aire s'écrit aussi :
A(x) = 900 - (30 - x)²
C'est très simple !! Il suffit de développer cette expression
A(x) = 900 - ( 900 -60x + x²) = 900 - 900 + 60x - x² = -x² + 60x
Ainsi on a prouvé que l'aire A(x) a aussi pour valeur 900 - (30 -x)²
Mise sous cette forme, on constate que l'aire A(x) est maximale si (30 - x) = 0 ; c'est à dire si x = 30
Le maximum atteint est 900; x = 30 et donc y = 30.
Il s'agit alors d'un enclos carré.
En première vous n'aurez aucune difficulté à faire un tel problème.
Vous apprendrez que:
« le produit de 2 nombres de somme constante est maximum, lorsque les 2 facteurs sont égaux. »
Réponse: Devoir Maison de seconde de cathie, postée le 24-02-2008 à 18:33:26
Merci beaucoup, vos réponses m'ont bien aidé.
Parcontre je n'ai pas très bien compris fr :
"PS : pour information (hors sujet ici), la surface maximale que l'on peut obtenir pour un périmètre donné, si l'on ne se contraint pas à une forme donnée (ici un rectangle), est obtenue en prenant un cercle ..."
Réponse: Devoir Maison de seconde de fr, postée le 24-02-2008 à 21:02:10
Bonsoir Cathy,
En effet, ce point est hors sujet, et ce n'est pas bien grave pour cet exercice.
Vous apprendrez plus tard que de toutes les formes géométriques, celle qui maximise la surface pour un périmètre donné est le cercle :
si P est le périmètre d'une figure,
- si c'est un carré : la surface est de P²/16
- si c'est un cercle : la surface est de P²/4pi
mais comme l'exercice vous oblige à prendre une forme de rectangle, vous ne pouvez mieux faire (pour vous rapprocher du cercle) que d'en faire un carré...
Désolé de vous avoir semé un doute...
Sinon, extrait de cette page : Lien Internet
Si l'on prend une corde de longueur l donnée et que l'on s'en sert pour délimiter une surface fermée, la surface ayant la plus grande aire est délimitée par un cercle.
Réponse: Devoir Maison de seconde de cathie, postée le 24-02-2008 à 22:00:37
C'est Cathie et non pas Cathy.
Ce sont des figures inscriptibles donc?
Réponse: Devoir Maison de seconde de fr, postée le 25-02-2008 à 13:43:07
Bonjour Cathie, désolé d'avoir mal orthograpié votre pseudo...
En effet, si l'on considère une figure (fermée) avec N côtés et à périmètre constant, si vous voulez maximiser l'aire délimitée par cette figure, on aboutit toujours à une figure régulière, donc inscriptible dans un cercle :
- si 3 côtés => triangle équilatéral : A=P²/18 (environ 0.0555556*P²)
- si 4 côtés => carré : A=P²/16 (= 0.0625*P²)
- si 5 côtés => pentagone régulier : A=P²*racine_carrée(25+10*racine_carrée(5))/100 (environ 0.0688191*P²)
- si 6 côtés => hexagone régulier : A=P²*racine_carrée(3)/24 (environ 0.0721687*P²)
...
Sachant qu'à chaque fois que l'on rajoute un côté, l'aire est plus grande pour le même périmètre ...
Le cercle est LA figure qui optimise l'aire par rapport à son périmètre.
A=P²/(4pi) (environ 0.0795775*P²)
Mais tout ceci dépasse le cadre de votre exercice ...
