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[Maths]Périmètre minimal
Message de emna75 posté le 06-04-2008 à 12:23:48 (S | E | F)
Bonjour,
J'ai un Dm à rendre.
Je n'arrive pas à répondre à la question 2) de l'éxercie.
Je ne demande pas forcément les réponse mais une piste.
Merci
Enoncé:
On se propose de déterminer, parmi tous les rectangles dont l'aire est égale à 81m², celui qui a un périmètre minimal. On considère un rectangle dont l'aire est égale à 81m², et on note x l'une de ses dimensions.
1) a) à quel intervalle de R x appartient-il?
b) exprimer l'autre dimension, y, du rectangle en fonction de x
c) déterminer l'expression P(x) du périmétre du rectangle en fonction de x
2) determiner les variations de la fonction P sur chacun des intervalles ]0; 9] et [9; 81]
3) Répondre au problème posé
Message de emna75 posté le 06-04-2008 à 12:23:48 (S | E | F)
Bonjour,
J'ai un Dm à rendre.
Je n'arrive pas à répondre à la question 2) de l'éxercie.
Je ne demande pas forcément les réponse mais une piste.
Merci
Enoncé:
On se propose de déterminer, parmi tous les rectangles dont l'aire est égale à 81m², celui qui a un périmètre minimal. On considère un rectangle dont l'aire est égale à 81m², et on note x l'une de ses dimensions.
1) a) à quel intervalle de R x appartient-il?
b) exprimer l'autre dimension, y, du rectangle en fonction de x
c) déterminer l'expression P(x) du périmétre du rectangle en fonction de x
2) determiner les variations de la fonction P sur chacun des intervalles ]0; 9] et [9; 81]
3) Répondre au problème posé
Réponse: [Maths]Périmètre minimal de edwin_siu, postée le 06-04-2008 à 12:58:28 (S | E)
Slut,
J'imagine que tu es au lycée et donc la dérivation, tu es autorisé d'en faire !!!!
1a . D = R*+
b . y = 81/x
c . P(x) = 2[x +(81/x)] = (2x² + 162)/x apres avoir développé et mis au meme dénominateur
2 . P'(x)= [(4x)x - (2x² + 162)]/x² = (2x² - 162) /x²
2x² - 162 =0 <=> x = 9 ou x = -9
tableau de variation : x -9 0 9 81
P'(x) - - +
Px décroit décroit croit
Voilà tu réponds à ta kestion
Comme t'avais le droit d'utiliser la dérivation tu sais forcément l'extrémum local.
l'extrémum local est le point soit plus haut soit plus bas de la courbe sur un interalle [a;b] à ce point la dérivé change de signe , donc comme tu pe voir sur ta calculatric ou sur le tableau de variation, c'est donc 9
Donc si x=9 l'aire = 81 et le perimètre est le plus petit.
-------------------------------
bon voilà cette méthode est valable si et seulement si t'es en première
sinon en second tu ne pe faire qu'avec la calculatrice , en observant la courbe de la fonction P et déduit la valeur min de Px min = A
apres tu résous l'équation Px = A pour trouver le x tel que Px soit le plus petit, voila
Bonne chance.
Réponse: [Maths]Périmètre minimal de emna75, postée le 06-04-2008 à 13:02:06 (S | E)
Merci pour votre aide.
Je n'ai rien compris à la premiére partie car je suis en seconde.
Avec la calculatrice , je trouve que la fonction est décroissante de 0 à 9 et croissante de 9 à 81.
C'est sa?
Merci
Réponse: [Maths]Périmètre minimal de marie11, postée le 06-04-2008 à 16:39:15 (S | E)
Bonjour Emma.
Par hypothèse l'aire est 81m².
Si on désigne par x une de ses dimensions et par y l'autre on doit avoir :
xy = 81 donc on doit avoir x≤ 81 et x > 0
L'intervalle sur lequel varie x est ] 0 ; 81].
Puisque xy = 81 <══> y = 81/x
Donc le périmètre est :
P(x) = 2(x + 81/x)
Étudions les variations de P sur l'intervalle ]0 ; 9[
Soient 0 < a < b < 9
Calculons
P(a) = 2(a + 81/a)
P(b) = 2(b + 81/b)
Étudions le signe de P(b) - P(a)
Or a et b sont inférieurs à 9 donc le produit ab est inférieur à 81 donc
Conséquence :
Sur l'intervalle ]0 ; 9[ la fonction P est décroissante.
Procédez de même en utilisant cette méthode pour étudier les variations de P sur l'intervalle ]9 ; 81]
Soient 9 < a < b ≤ 81.
Vous montrerez alors que la fonction P est décroissante sur ]0 ; 9[ et croissante sur ]9 ; 81].
Cette fonction présente donc un minimum pour x = 9
Réponse: [Maths]Périmètre minimal de emna75, postée le 06-04-2008 à 16:44:35 (S | E)
Merci pour votre aide.
Je vais essayer de continuer.
Je posterai ce que j'aurais trouver pour une correction.
Encore Merci
Réponse: [Maths]Périmètre minimal de emna75, postée le 06-04-2008 à 16:47:41 (S | E)
Pour P moi je trouve P= 2(x+(81/x)
Je me trompe?
Réponse: [Maths]Périmètre minimal de marie11, postée le 06-04-2008 à 16:52:03 (S | E)
Oui emma c'est exact.
C'est un oubli. Je vais rectifier.
Réponse: [Maths]Périmètre minimal de emna75, postée le 06-04-2008 à 16:53:47 (S | E)
ok, Merci beaucoup.
Je vais alors calculer les images avec la fonction que j'ai trouvé.
J'enverai ensuite la suite.
Merci de votre aide.
Réponse: [Maths]Périmètre minimal de emna75, postée le 06-04-2008 à 16:58:08 (S | E)
J'ai fait le calcul:
Pour P(a)je trouve:
=2[a+ (81/a)]
=2a + 2 x 81/a
= 2a²/a + 162/a
= 2a²+ 162/ a
C'est juste?
Merci
Réponse: [Maths]Périmètre minimal de marie11, postée le 06-04-2008 à 17:12:27 (S | E)
Reprenez les calculs que j'ai proposés. Ne faites pas intevenir les exposants.
Réponse: [Maths]Périmètre minimal de emna75, postée le 06-04-2008 à 17:13:49 (S | E)
Mais je ne peux pas reprendre le calcul que vous avez proposer car vous vous êtes trompé de fonction non?
Merci
Réponse: [Maths]Périmètre minimal de marie11, postée le 06-04-2008 à 17:51:12 (S | E)
Non le coefficient 2 n'intervient pas dans l'étude du signe.
Réponse: [Maths]Périmètre minimal de marie11, postée le 06-04-2008 à 18:04:05 (S | E)
Je reprends le calcul:
P(a) = 2(a + 81/a)
P(b) = 2(b + 81/b)
Calculons:
P(a) - P(b) = 2(a-b) + 162(1/a - 1/b) = 2[(a -b) + 81 (b-a)/ab]
P(a) - P(b) = 2(a-b)[1 - 81/ab]
Or sur ]0 ; 9[ a et b sont inférieurs à 9 donc ab < 81 et donc 81/ab > 1
Donc
[1 - 81/ab] < 0 <══> P(a)- P(b) et a - b sont de signes opposés.
Sur ]0 ; 9[ la fonction est décroissante.
Reprenez les mêmes calculs sur ]9 ; 81] en remarquant que sur cet intervalle le produit ab est supérieur à 81.
