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[Maths]Trigonométrie 2nde
Message de moumoune2792 posté le 08-04-2008 à 18:50:44 (S | E | F)
Bonjour,
J'ai un gros problème sur un Devoir Maison de maths que je dois rendre vendredi!! Oui il me reste peu de temps et pourtant ce n'est pas faute d'avoir chercher. Dans ma classe, ça fait 1 semaine qu'on cherche sans trouver de solutions alors si par miracle quelqu'un pouvait me donner des pistes cela m'aiderait beaucoup mais aussi toute ma classe!
Alors voilà:
a- Construire un triangle ABC, rectangle en A, dont l'hypoténuse a pour longueur 8 cm et tel que abc (avec chapeau) = pie/8
b- On note H le projeté orthogonal de A sur la droite (BC) et o le milieu de [BC]. Calculer les mesures en radians des angles du triangle AOH. En déduire la longueur exacte de [OH], puis celles de [AB] et de [AC].
c- Déterminer les valeurs exactes de sin pie/8 et de cos pie/8. Vérifier les résultats obtenus à l'aide d'une calculatrice.
Pour la question a- nous trouvons tous:
OHA (avec chapeau) = pie/2
HOA (" " ) = pie/4
HAO ( " " ) = pie/4
Et cela sans vraiment faire de calculs! Pour la suite, nous ne trouvons aucune piste vraissemblable!
Voilà, j'attends vos réponses avec impatience, cela ne m'empêchant pas de chercher dans mon coin, bien sûr!
Message de moumoune2792 posté le 08-04-2008 à 18:50:44 (S | E | F)
Bonjour,
J'ai un gros problème sur un Devoir Maison de maths que je dois rendre vendredi!! Oui il me reste peu de temps et pourtant ce n'est pas faute d'avoir chercher. Dans ma classe, ça fait 1 semaine qu'on cherche sans trouver de solutions alors si par miracle quelqu'un pouvait me donner des pistes cela m'aiderait beaucoup mais aussi toute ma classe!
Alors voilà:
a- Construire un triangle ABC, rectangle en A, dont l'hypoténuse a pour longueur 8 cm et tel que abc (avec chapeau) = pie/8
b- On note H le projeté orthogonal de A sur la droite (BC) et o le milieu de [BC]. Calculer les mesures en radians des angles du triangle AOH. En déduire la longueur exacte de [OH], puis celles de [AB] et de [AC].
c- Déterminer les valeurs exactes de sin pie/8 et de cos pie/8. Vérifier les résultats obtenus à l'aide d'une calculatrice.
Pour la question a- nous trouvons tous:
OHA (avec chapeau) = pie/2
HOA (" " ) = pie/4
HAO ( " " ) = pie/4
Et cela sans vraiment faire de calculs! Pour la suite, nous ne trouvons aucune piste vraissemblable!
Voilà, j'attends vos réponses avec impatience, cela ne m'empêchant pas de chercher dans mon coin, bien sûr!
Réponse: [Maths]Trigonométrie 2nde de jordan777, postée le 08-04-2008 à 23:08:38 (S | E)
Bonsoir,
ABC est rectangle en A.
Tu sais que l'hypoténuse est le coté le plus long et qu'il est toujours situé à l'opposé de l'angle droit dans un triangle rectangle.
Donc BC est le plus grand coté du triangle et a une longueur de 8 cm.
D'autre part, on te dit que l'angle en B vaut PI/8 radians.
Donc le troisième angle est aisément calculable sachant que la somme des angles intérieurs d'un triangle vaut 180 degrés (ici PI radians).
Une fois que tu connais tous les angles intérieurs du triangle et la longueur
de l'hypoténuse, tu peux te servir des formules du cours sur les sinus cosinus et tangente :
sin = coté opposé / hypoténuse
cos = coté adjacent / hypoténuse
tangente = coté opposé / coté adjacent
Comme tu connais la valeur de l'hypoténuse, et toutes les mesures des angles, tu peux déterminer les mesures des deux autres cotés.
A ce stade, tu connais tous les angles et toutes les longueurs des cotés.
On te demande de tracer AO et AH.
Tu sais que O est le milieu de BC et tu connais la longueur de BC donc tu en déduit celle de AO.
Dans le triangle ACH, tu connais AC et l'angle en C donc tu peux en déduire la valeur de CH.
Connaissant CH et OC tu trouve par soustraction la longueur de OH.
AOH est rectangle en H puisque H est la projection orthogonale de A sur BC.
Tu as donc AHC=PI/2 et ACH calculé précédemment. Tu en déduis facilement la valeur de CAH.
Tu possède CH et AC donc par application du théorème de Pythagore, tu en déduit AH puis AO.
La valeur des angles du triangle rectangle AOH sera donnée par les formules des sinus, cosinus et tangente de ses angles intérieurs (sin = coté opposé / hypoténuse, ...).
Réponse: [Maths]Trigonométrie 2nde de marie11, postée le 08-04-2008 à 23:25:39 (S | E)
Bonjour.
Vous n'avez pas connaissance en seconde de la formule d'Al Kashi qui aurait simplifié avantageusement les calculs.
Lien Internet
Aussi voilà ce que je vous propose.
Le triangle AOC est isocèle.
Soit OK la hauteur issue de O. K est donc le milieu de [AC]. Il s'ensuit que AB = 2OK (droite des milieux)
Dans le triangle AOC on peut calculer l'aire de 2 façon différentes.
on a :
2S = AH x OC = OK x AC (I)
d'autre part puisque le triangle BAC est rectangle en A, d'après le théorème de PYTHAGORE
BC² = AB² + AC² (II)
(I) , (II) et AB = 2OK conduisent à écrire :
donc
d'où en remplaçant OK dans (II) ( AB = 2.OK) on obtient :
Après réduction au même dénominateur on obtient :
2R4 + AC4 = 4R2 AC2
soit
2R4 + AC4 - 4R2 AC2 = 0
ATTENTION !!! Ici petite astuce de calcul On ajoute 2R4 aux deux membres de l'égalité.
4R4 + AC4 - 4R2 AC2 = 2R4
et l'on voit apparaître au premier membre une identité remarquable.
(2R2 - AC2)2 = 2R2
ATTENTION !!
Dans le cercle de centre O [AC] est une corde dont la mesure est inférieure à R√ 2
Ainsi
(2R2 - AC2) > 0
d'où
(2R2 - AC2) = R2 √2
Après calculs on obtient :
Vous pouvez vérifiez sur votre calculatrice que :
Remarque :
Vous apprendrez l'année prochaine que :
et que
A titre d'exercice, remplacez
dans les formules précédentes et retrouvez les valeurs exactes de sin π/8 et cosπ/8
Réponse: [Maths]Trigonométrie 2nde de moumoune2792, postée le 09-04-2008 à 06:47:39 (S | E)
Merci beaucoup d'avoir pris du temps pour mon exercice je vais essayer de comprendre tout ça maintenant!!
Réponse: [Maths]Trigonométrie 2nde de marie11, postée le 09-04-2008 à 09:24:22 (S | E)
Bonjour.
Autre solution, plus simple.
Puisque l'angle AOC = π/4 alorrs AH = OH = (R/2)√2
Donc
HC = OC - OH = R(1 - (1/2)√2)
dans le triangle rectangle AHC
AH² + HC² = AC²
AC² = ((R/2)√2)² + R²(1 -(1/2)√2)²
AC² = R²(2 -√2)
et finalement :
On calculera AB en considérant le triangle BHA rectangle en H.
On sait que :
AH = (R/2)√2
BH = R + (R/2)√2
