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[Maths]Espaces vectoriels
Message de martinr posté le 27-04-2008 à 00:29:47 (S | E | F)
Bonjour à tous,j'ai un probleme avec la fin de mon dm sur 2 exs sur les espaces vectoriels.Merci de m'aider à y voir plus clair.
ex 1:
Soit E=R3[x] et f:E vers E où f(p)=P(X+1)-P
a)Prouver que f est un endomorphisme de E.
b)déterminer ker(f),Im(f) et une base de ces 2 sev.
Pour le a j'imagine qu'il faut d'abord montrer que f est une application linéaire?
Pour le b je pense à la base canonique mais comment l'utiliser?
ex 2:soit E ev sur R et f application linéaire sur E telle que pour v appartenant à E,f(v) appartient à Vect(v).Soit u un vecteur fixé non nul de E,il existe donc lambda réel tel que f(u)=lambda*u.
a)Soit v appartenant à Vect (u),montrer que f(v)=lambda*v.
b)Soit v n'appartenant pas à Vect (u),montrer que (u,v) est libre puis en observant f(u+v) prouver que f(v)=lambda*v.
c)conclure que f=lambda..Ide.
Message de martinr posté le 27-04-2008 à 00:29:47 (S | E | F)
Bonjour à tous,j'ai un probleme avec la fin de mon dm sur 2 exs sur les espaces vectoriels.Merci de m'aider à y voir plus clair.
ex 1:
Soit E=R3[x] et f:E vers E où f(p)=P(X+1)-P
a)Prouver que f est un endomorphisme de E.
b)déterminer ker(f),Im(f) et une base de ces 2 sev.
Pour le a j'imagine qu'il faut d'abord montrer que f est une application linéaire?
Pour le b je pense à la base canonique mais comment l'utiliser?
ex 2:soit E ev sur R et f application linéaire sur E telle que pour v appartenant à E,f(v) appartient à Vect(v).Soit u un vecteur fixé non nul de E,il existe donc lambda réel tel que f(u)=lambda*u.
a)Soit v appartenant à Vect (u),montrer que f(v)=lambda*v.
b)Soit v n'appartenant pas à Vect (u),montrer que (u,v) est libre puis en observant f(u+v) prouver que f(v)=lambda*v.
c)conclure que f=lambda..Ide.
Réponse: [Maths]Espaces vectoriels de magstmarc, postée le 27-04-2008 à 00:45:13 (S | E)
Hello martin,
Pour le a j'imagine qu'il faut d'abord montrer que f est une application linéaire?
Oui, et justifier rapidement quand même que le polynôme image est toujours dans E (je suppose qu'il s'agit des polynômes de degré < ou égal à 3)
Pour le b je pense à la base canonique mais comment l'utiliser?
Pour le Ker : facile de trouver tous les polynômes tels que P(x+1) = P(x)pour tout x réel (analyse puis réciproque)
Pour l'Im : Forme générale d'un polynôme de degré 3 et un petit développement...il y a au moins un terme qui va se simplifier
Pour le reste on verra plus tard
