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[Maths]Limites de fonction
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[Maths]Limites de fonction
Message de milo-scorpion posté le 06-08-2008 à 00:39:48 (S | E | F)
Bonjour a toutes et a tous, j'ai un petit soucis au niveau de ma limite avec des exponentiel:
--->je suis désolé je ne sais pas comment noter le exponentiel de x par l'ordinateur, je noterai donc exp x .
Limite de exp x - 2 / exp x + 1
*Donc quand x tend vers - l'infini:
sachant que exp x tend vers 0, je peux sensiblement "remplacer" le exp x par 0 ce qui me donnerai 0 - 2 / 0 + 1 ---> -2/1 donc -2
*Quand x tend vers + l'infini:
Je résonnerai de la meme facon mais d'apres le corrigé de mon exercice, le resultat est 1 apres avoir factorié: + infini/+infini
Pourquoi trouve t il + infini et ne remplace t on pas le exp x par 0 dans cette partie la ?
Je ne comprend pas pourquoi, quelq'un pourrait il m'eclaircir svp ??
J'ai vraiment du mal sur les limites avec ln et exp...
Réponse: [Maths]Limites de fonction de TravisKidd, postée le 06-08-2008 à 04:14:41 (S | E)
Si a > 1, alors a+inf = +inf, et a-inf = 1/+inf = 0. (Rappelle: a-b = 1/ab.)
Si 0 < a < 1, c'est l'invers, donc a+inf = 0 et a-inf = +inf.
Dans le cas de exp x = ex, on a e = 2.718... > 1.
Mais attention, +inf/+inf est une forme indéterminée, on ne peut pas tout simplement dire que c'est 1. Il faut plutôt employer la règle de L'Hôpital: si le quotient est une forme indéterminée, la limite de ce quotient sera égale à la limite du quotient des dérivées. Or dans ce cas la dérivée du haut est ex, et la dérivée du fond est aussi ex. Alors il s'agit de trouver la limite de ex/ex, ce qui est (enfin) clairement 1.
PS: Il faut des parenthèses pour écrire ton énoncé sur une seule ligne: (ex-2)/(ex+1).
PPS: On peut rendre une puissance entre les balises sup et /sup, alors e < sup > x < /sup > (sans éspaces) donne ex.
Réponse: [Maths]Limites de fonction de iza51, postée le 06-08-2008 à 08:33:34 (S | E)
Bonjour,
pour calculer la limite de
Réponse: [Maths]Limites de fonction de milo-scorpion, postée le 07-08-2008 à 22:46:26 (S | E)
RE
Merci pour vos réponse,
Traviskid:
Je ne saisi pas vraiment ta méthode désolé...
je rappel que mon niveau de math est 3eme technologique et que je fais un équivalent BAC-L par correspondance, et qu'il ne me reste que les maths a valider (un bac litteraire avec des exponentielle parait louche je sais, mais ils sont bien dans mon programme, cependant, la fonction que je vous ai donné fait partie des plus compliqué que j'aurai a étudier).
Je pense ne pas avoir toutes les notions pour comprendre ton explication.
IZA:
Ta méthode me parait plus simple, cependant je ne suis pas allé en terminale et par conséquent je ne comprend pas la transformation de ton polynome.
Comment a partir de (exp x - 2) / ( exp x +1) tu arrives a obtenir ce qu'il y a dans ta seconde parenthese ?? tu met exp x en facteur, mais ensuite tes valeurs changent
cependant je pense comprendre la fin de ta méthode.
Par contre comment sait on que exp(-x) tend vers 0 qand x tend vers +inf ? Est ce une valeur a apprendre par coeur ?
Je sais que je pose bcp de question mais il ne me reste plus que CETTE etape pour avoir mon foutu bac (début septembre) donc ne m'oubliez pas svp !!
Merci
Réponse: [Maths]Limites de fonction de manfred, postée le 07-08-2008 à 23:01:14 (S | E)
La fonction e est une fonction croissante et strictement positive sur l'ensemble des réels. On peut donc en déduire que :
e(x) tend vers +inf quand x tend +inf
Mais sachant cela, qu'arrive t'il quand le (x) devient (-x) ?
Et bien sur ton ensemble, les réels, cela reviendrait au même que de chercher la limite de e(x) quand x tend vers -inf; et comme la fonction e est croissante et strictement positive, cette derniere, en -inf, ne peut "qu'hellas" uniquement tendre vers 0
.Je sais pas si c'est clair, mais bon ^^.
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Modifié par manfred le 07-08-2008 23:02
Réponse: [Maths]Limites de fonction de milo-scorpion, postée le 07-08-2008 à 23:19:15 (S | E)
Merci manfred,
Donc selon ton raisonnement (quel idée de faire ses maths a ces heures hein!), exp x en moin l'infini tend QUE vers 0. Donc autant apprendre par coeur qu'une exp x en -inf = 0 il y aura moin de risque d'étourderie dans mon raisonnement.
Donc toujours en raisonnant de la meme facon:
(exp x - 2)/(exp x + 1) quand x tend vers moin l'infini revient a dire
--> (0 - 2)/(0 + 1) ce qui nous donne -2/1 = -2
Mais quand x tend vers +inf l'on remplace les exp x par + inf si j'ai bien compris.
(exp x - 2)/(exp x + 1) --> (+inf - 2)/(+inf + 1)
Les 2 +inf ne peuvent pas s'annuler puisqu'il y en a un en haut et un en bas ? comme cela on retombe sur -2/1 mais ce n'est pas la réponse...
Réponse: [Maths]Limites de fonction de iza51, postée le 08-08-2008 à 00:14:57 (S | E)
propriété des exponentielles: ea.eb=ea+b
et e0=1
Alors 1=ex-x=ex.e-x
Donc ex-2=ex-2e0=ex-2x+(-x)
ex-2=ex-2ex.e-x=ex(1-2e-x)
on fait le même travail pour ex+1
Est-ce plus clair ainsi?
remarque 1: dans la recherche de limites, "(+inf - 2)/(+inf + 1)"="inf"/inf" "A un nombre infiniment grand, si j'enlève 2, le résultat sera toujours infiniment grand" cette formulation n'est pas très rigoureuse mais c'est pour t'expliquer; idem en ajoutant +1
on obtient "inf"/inf" qui est une forme indéterminée
Dans certains cas, la réponse est inf, dans d'autres cas, on trouve 0, dans d'autre on trouve 1 etc. tout peut arriver ("qui est le plus fort?" voilà la bonne question!)
pour lever l'indétermination, une méthode est de mettre le facteur qui tend vers l'infini en facteur au numérateur et au dénominateur; c'est ce que j'ai fait en mettant exp(x) en facteur
remarque 2: on sait que exp(x) tend vers 0 quand x tend vers -inf
on en déduit que exp(-x) tend vers 0 quand x tend vers +inf CAR ALORS (-x) tend vers -inf
des annales de maths en bac L te seraient-elles utiles? on les trouve sur le site de l'APMEP; voici un lien
Lien Internet
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Modifié par iza51 le 08-08-2008 00:16
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Modifié par iza51 le 08-08-2008 00:50
Réponse: [Maths]Limites de fonction de milo-scorpion, postée le 08-08-2008 à 20:11:29 (S | E)
Bien, je "pense" avoir compris.
Va falloir pratiquer pour que sa rentre...
Une autre question alors:
lim -ln(x)/x²
x->0
En suivant ton raisonnement:
ln(x) (-1/x² + 1)
Quand x tend vers 0:
* ln(x)= 0
d'apres la propriété a connaitre par coeur:
( lim x ln(x) = 0 )
x->0
* (-1/x² + 1) = (-1/0+ + 1) = -inf
(car - / + = "-" )
mon raisonnement est il juste ?
Réponse: [Maths]Limites de fonction de iza51, postée le 08-08-2008 à 21:50:43 (S | E)
Bonjour,
lim -ln(x)/x²=+ inf
x->0
car ln(x) a pour limite -inf quand x tend vers 0+ (limite de cours)
donc -ln(x) a pour limite + inf quand x tend vers 0+
et comme 1/x² a pour limite +inf quand x tend vers 0+
on peut conclure que le produit (-ln(x))/x² a pour limite +inf quand x tend vers 0+
tu as écrit ln(x) (-1/x² + 1). mais ln(x) (-1/x² + 1)=-ln(x) /x² +ln(x)
j'ai développé en utilisant l'égalité a(b+c)=ab+ac
tu as écrit "ln(x)= 0
d'apres la propriété a connaitre par coeur:
( lim x ln(x) = 0 )
x->0 "
??? que veux-tu dire? je ne comprends pas!
mais ln x=0 seulement lorsque x=1
quand x tend vers 0, la limite de ln x est -inf
et d'autre part quand x tend veers 0, la limite de x ln x est 0
ces deux limites ne disent pas la même chose!
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Modifié par iza51 le 08-08-2008 21:51
Réponse: [Maths]Limites de fonction de milo-scorpion, postée le 08-08-2008 à 22:01:50 (S | E)
*Quand tu dis "limite de cours" pour [ln(x) a pour limite -inf quand x tend vers 0+], est ce une limite a apprendre par coeur ?
Et pour ""1/x² a pour limite +inf quand x tend vers 0+""
N'oublie pas que c'est -1/x² et non 1/x²
Donc peut importe le x² qui sera positif, puisque le numerateur est negatif, cela nous donnera automatiquement un resultat negatif, donc -inf non ?
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Modifié par milo-scorpion le 08-08-2008 22:14
Désolé je n'avais pas vu ton edit pour la seconde partie de mon post.
J'ai vraiment du mal a rendre les monomes de cette forme, il y a une formule type pour ne pas se tromper ??
Et donc pour la premiere partie, j'utilisais la formule de cette page, a apprendre par coeur, c'est a dire lim x ln(x) quand x tend vers 0 est égal a 0. Toi tu me dis que c'est egal a -inf.
Regarde la limite du milieu tout en bas de la page.
Lien Internet
Réponse: [Maths]Limites de fonction de iza51, postée le 08-08-2008 à 22:22:04 (S | E)
oui une limite de cours est à connaitre par cœur!
quand x tend vers 0, la limite de ln x est -inf
quand x tend vers 0, la limite de -1/x² est -inf
d'où la limite du produit + inf
peu importe où on met le -
dans le post précédent, j'avais mis -lnx a pour limite + inf quand x tend vers 0+
et j'avais donné aussi la limite de +1/x²; ce qui revient au même !
si si le résultat de la limite cherchée est bien +inf
j'ai compris le problème!
dans le cours que tu as trouvé sur internet, il manque les deux premières limites de cours, celles que l'on peut voir sur le dessin de la courbe
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Modifié par iza51 le 08-08-2008 22:24
Réponse: [Maths]Limites de fonction de milo-scorpion, postée le 08-08-2008 à 22:29:32 (S | E)
Mais je ne comprend pas une chose alors:
tu me dis
"quand x tend vers 0, la limite de ln x est -inf"
Pourquoi dans ce lien la: Lien Internet
Tout en bas de la page, il marque que quand x tend vers 0, la limite de x ln x est zero ?
Sachant que le premier x (celui avant le ln) peut tres bien etre 1, alors cela revient au meme que ln x non ?
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Modifié par milo-scorpion le 08-08-2008 22:37
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Modifié par milo-scorpion le 08-08-2008 22:38
Réponse: [Maths]Limites de fonction de iza51, postée le 08-08-2008 à 22:36:32 (S | E)
dans le cours donné par le lien , on donne
car normalement, quand x tend vers 0, x tend vers 0 et lnx tend vers - inf, le produit est indéterminé à priori.
Qui tire le plus fort x vers 0 ou ln x vers l'infini?
le cours de maths donne la réponse c'est "x" qui est le plus fort
et le produit x ln x tend vers 0 quand x tend vers 0
c'est la limite donné par le lien
il faut aussi apprendre
on le voit sur le dessin: la courbe pour x très proche de 0, est "proche de la "verticale", les y= ln x tendent vers - infini
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Modifié par iza51 le 08-08-2008 22:36
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Modifié par iza51 le 08-08-2008 22:41
Réponse: [Maths]Limites de fonction de milo-scorpion, postée le 08-08-2008 à 22:39:49 (S | E)
Je comprend !
Merci bcp, je retourne sur mes exercices !
Ah oui petite derniere question:
me manque t il des limites sur les exponentielles histoire de ne pas etre perdu toute la soirée comme ce soir ;) :
J'ai ces 4 là:
lim x exp x = 0
x->-oo
lim (exp puissance x) / x = +oo
x->+oo
lim (e puissance x) = +oo
x->+oo
lim (e puissance x)-1 / x = 1
x->0
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Modifié par milo-scorpion le 08-08-2008 22:48
Réponse: [Maths]Limites de fonction de iza51, postée le 08-08-2008 à 23:11:08 (S | E)
il y cinq limites à connaitre
deux en -infini
deux en +infini
et une en 0
cette limite exprime le fait que l'exponentielle est dérivable en 0 et que le nombre dérivé est 1
car e0=1 et donc si on ne connait pas la limite, on peut penser que la limite est indéterminée et là encore les mathématiciens ont prouvé que cette limite valait 1
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Modifié par iza51 le 08-08-2008 23:11
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Modifié par iza51 le 08-08-2008 23:14
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Modifié par iza51 le 09-08-2008 10:05
Réponse: [Maths]Limites de fonction de TravisKidd, postée le 09-08-2008 à 00:20:53 (S | E)
Pour xlnx on peut le réécrire comme (ln x)/(1/x). Comme x tend vers 0 cela devient une forme indéterminé, donc la règle de l'Hôpital s'applique.
Si x > 0 (ce qui est le cas ici) la dérivée du numératuer ln x est 1/x (à apprendre par coeur), et la dérivée du dénominateur 1/x est -1/x2. Donc on peut aussi bien trouver la limite de (1/x)/(-1/x2) = -x. Comme x tend vers 0, c'est evident que -x tend vers 0.
Cette méthode évite la justification non-rigoreuse de se demander ce qui "tire plus fort".
Pour (ex-1)/x on utilise encore la règle de l'Hôpital. La dérivée de ex-1 est ex et la dérivée de x est 1. Donc il suffit de trouver la limite de ex/1 = ex.
Réponse: [Maths]Limites de fonction de iza51, postée le 09-08-2008 à 09:15:33 (S | E)
"la règle de l'Hôpital " est apprise en faculté!
je N'AI JAMAIS DIT que se demander ce "qui tire plus fort" était une justification. C'est juste un moyen mnémotechnique pour se souvenir de limites ADMISES et à apprendre par coeur dès le lycée!!!
Milo-scorpion a besoin d'aide: il demande de l'aide pour apprendre à faire lui-même en vue de passer un examen!
On n'est pas là pour étaler nos connaissances; on est là pour donner des moyens de réussir selon le niveau de chacun!
... ce N'est PAS UN MANQUE DE RIGUEUR de ma part!
De plus, la règle de l'HÔPITAL se démontre en utilisant le théorème : "si f est définie sur un intervalle ouvert contenant a et si f est dérivable en a, alors
Et l'égalité
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Modifié par iza51 le 09-08-2008 09:20
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Modifié par iza51 le 09-08-2008 10:06
Réponse: [Maths]Limites de fonction de milo-scorpion, postée le 21-08-2008 à 23:03:20 (S | E)
Succeptible iza
Néamoins tes explications sont les plus clair et tu es la mieux placé pour comprendre ceux qui ont des difficultées ici a mon avis.
Sinon j'aimerai revenir sur le post 3 de ce sujet. (Ton post donc).
Pour les limites j'ai compris le raisonnement, mais la ou je bloque c'est de developpement quand tu as mis "exp" en facteur en haut et en bas.
Comment arrives-tu a obtenir ce resultat ?
exp x - 2 / exp x + 1 = exp x (1-2exp -x)/ exp x (1+exp -x) ??
En verifiant on retombe bien sur la fonction de base, je ne remet pas ca en doute, c'est juste que je n'arrive pas a "trouver" le calcul pour donner le developpement... (comment as tu su que c'etait exp -x aussi ? )
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Modifié par milo-scorpion le 21-08-2008 23:03
Réponse: [Maths]Limites de fonction de taconnet, postée le 21-08-2008 à 23:32:01 (S | E)
Bonjour.
Voici une solution plus simple :
ex - 2 = ex + 1 - 3
Ainsi le quotient Q =(ex - 2)/(ex + 1) s'écrit:
Q =(ex - 2)/(ex + 1) = (ex + 1 - 3)/(ex +1) = 1 - 3/(ex + 1)
Lorsque x ──> +∞ alors ex +1 ──> +∞
donc le quotient
3/(ex + 1)──> 0
conséquence :
si x ──> +∞ alors Q ──> 1
la limite de ce quotient quand x ──> + ∞ est 1
Remarque :
si x ──> - ∞ alors Q ──> -2
Réponse: [Maths]Limites de fonction de TravisKidd, postée le 22-08-2008 à 09:15:17 (S | E)
A iza:
En fait vous avez à la fois raison et tort. Il est vrai que la règle de l'Hôpital est inutile pour trouver la limite de (ex-1)/x comme x tend vers 0 -- et je m'en veux bien de ne pas l'avoir vu plus tôt -- mais ce n'est pas parce que la règle ne marche pas. Plutôt c'est parce que pour appliquer la règle il faut prendre la dérivée de ex, mais pour prover que ex est sa propre dérivée il faut d'abord trouver la limite en question !! Vous êtes en fait tombé dans la même piège que moi avec votre e'(0)=e0=1.
En effet la limite en question est bien difficile de prouver, prenant en compte la definition de e comme la limite de (1+1/x)x comme x tend vers +inf. Pour les lycéens il n'y a aucun moyen rigoreux de prouver cette limite (même si l'on peut la "vérifier" avec une calculatrice), et il est donc pour eux à apprendre par coeur, votre explanation "les mathématiciens ont prouvé" étant la meilleure justification de ce fait qu'ils peuvent comprendre.
Par contre, si l'on défine ln x comme l'antidérivée de 1/x et arrive à prouver que sa fonction inverse a la forme ex pour quelque constant e, alors il devient simple de prouver que ex est sa propre dérivée, et l'emploi de la règle de l'Hôpital est donc justifiable.
En tout cas, si on se laisse ignorer l'éventualité d'une preuve circulaire, la règle de l'Hôpital est, à mon esprit, tout à fait simple, assez facile à apprendre par les lycéens, et utile dans presque tous les cas où elle se dit applicable.
Réponse: [Maths]Limites de fonction de iza51, postée le 22-08-2008 à 11:03:26 (S | E)
Bonjour,
pour écrire cela, j'ai utilisé la formule exp(x)*exp(-x)=exp(x-x)=exp(0)=1
ainsi on peut écrire
exp(x)-2= exp(x)*1 - 2*exp(x)*exp(-x)
et en mettant exp(x) en facteur, il vient: exp(x)-2 =exp(x) *(1- 2*exp(-x) )
de même on écrit exp(x)+1=exp(x)*1 + exp(x)*exp(-x)=exp(x)*(1+exp(-x) )
en écrivant le quotient, on peut simplifier le facteur commun au numérateur et au dénominateur qui est exp(x)
d'où les égalités données
ok?
Réponse: [Maths]Limites de fonction de TravisKidd, postée le 22-08-2008 à 18:01:29 (S | E)
Bien sûr mais vous avez mentionné la limite de (ex-1)/x comme x tend vers 0, d'où cette discussion.
Réponse: [Maths]Limites de fonction de milo-scorpion, postée le 22-08-2008 à 22:06:03 (S | E)
J'ai essayé de développer sur une feuille mais je n'y suis pas arrivé, je n'ai pas compris les premieres étapes.
Ensuite en mettant "exp" en facteur etc, ca c'est ok.
Réponse: [Maths]Limites de fonction de iza51, postée le 23-08-2008 à 05:36:57 (S | E)
Bonjour,
"je n'ai pas compris les premieres étapes."
Veux-tu parler de exp(x)*exp(-x)=exp(x-x)=exp 0=1?
On le déduit de la propriété algébrique: exp(x)*exp(-y)=exp(x-y)
alors on peut écrire 2 sous la forme 2=2*1=2*exp x *exp(-x) évidemment c'est une manière un peu compliquée de parler de 2 (et on peut faire la même chose avec n'importe quel nombre!), mais cela permet de fabriquer un facteur commun ...
à Traviskidd
"Vous êtes en fait tombé dans la même piège que moi avec votre e'(0)=e0=1."
Pas d'accord! en terminale S aujourd'hui en France, on définit la fonction exponentielle de la façon suivante:
"La fonction exp est la solution de l'équation différentielle y'=y qui vaut 1 en 0"
Ainsi on peut utiliser exp'(0)=exp(0)=1 pour justifier la limite!
Réponse: [Maths]Limites de fonction de TravisKidd, postée le 23-08-2008 à 16:27:49 (S | E)
Très bien alors !
Donc votre méthode et l'emploi de la règle de l'Hôpital sont également justifiable. Deux côtés de la même pièce, en fait.
De plus si l'on peut comprendre la définition de exp x comme la solution d'une équation différentielle, alors on doit sûrement pouvoir comprendre la règle de l'Hôpital !!
Et il reste, bien sûr, de prouver que exp x = ex pour un certain nombre réel e entre 2,718281828 et 2,718281829.
(Bien que déterminer la valeur de e n'est pas nécessaire pour déterminer les limites, pourvu que l'on sache que e>1.)
Réponse: [Maths]Limites de fonction de milo-scorpion, postée le 24-08-2008 à 23:03:33 (S | E)
J'insiste avec ce calcul je sais, mais je n'arrive pas a le faire.
Je bloque a ce passage la:
pour écrire cela, j'ai utilisé la formule exp(x)*exp(-x)=exp(x-x)=exp(0)=1
ainsi on peut écrire
exp(x)-2= exp(x)*1 - 2*exp(x)*exp(-x)
*Je comprend la propriété que tu utilises, c'est a dire exp(x-y) mais ensuite, à quoi te sert le 1 ?
*Puis donc,la ou j'ai réellement du mal, dans:
"exp(x)-2= exp(x)*1 - 2*exp(x)*exp(-x) "
pourquoi exp(x)*1 ? Il vient d'ou ce "exp" et ce "1" ?
Et ensuite pourquoi (-2) multiplie la propriété ci dessus ?
Mes questions sont peut etre bête, mais ce calcul me turlupine vraiment et j'en aurai forcément besoin pour calculer des limites!
Réponse: [Maths]Limites de fonction de iza51, postée le 24-08-2008 à 23:22:33 (S | E)
(re)bonjour
exp(x)-2= exp(x)*1 - 2*exp(x)*exp(-x)
le 1 ne sert à rien d'autre qu'à savoir comment factoriserexemple: on peut factoriser 2a²-3a; a est facteur commun et on a 2a²-3a=a(2a-3); c'est simple
je veux maintenant factoriser 2a²-a, a est facteur commun oui mais de quoi pour le terme a ??? on peut se poser la question! réponse le deuxième a est facteur de 1 puisque 1 est neutre pour la multiplication
et on écrit 2a²-a=a(2a-1)
on aurait pu détailler le calcul: 2a²-a=2a*a-a*1=a*(2a-1)
ici je fais apparaitre un 1 qui ne sert qu'à comprendre comment factoriser
on doit avoir en tête que exp(x)* exp(-x)=1
car cette égalité peut faire apparaître, permet de fabriquer des facteurs communs qui n'existaient pas (si je puis dire!)
2, c'est 2 mais c'est aussi 2*1 car 1 est neutre mais c'est encore 2*exp(x)*exp(-x) Après tout c'est correct!
et hop le tour est joué
exp(x)-2= exp(x)*1 - 2*exp(x)*exp(-x)
exp(x) est facteur commun
exp(x)-2= exp(x) *(1-2*exp(-x))
note: ce qui était donné: exp(x)-2
exp(x) est un nombre; si je le multiplie par 1, c'est toujours le même nombre!
exp(x) = exp(x)*1 = 1*exp(x)
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Modifié par iza51 le 24-08-2008 23:35
Réponse: [Maths]Limites de fonction de milo-scorpion, postée le 24-08-2008 à 23:38:13 (S | E)
Très bien expliqué !!!!
J'ai compris en refesant le calcul sur la feuille cette fois et c'est ok !!
Les soulignés m'ont bien aidé et le coup du facteur commun avec des exponnentiel devient compliqué avec toutes ces propriétés dis donc !!
Réponse: [Maths]Limites de fonction de iza51, postée le 24-08-2008 à 23:47:14 (S | E)
oui cela peut te paraitre compliqué
mais une fois que l'on connait la méthode, cela devient simple!
si!si!
