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Résoudre 1 équation ln
Message de milo-scorpion posté le 19-08-2008 à 17:37:20
Bonjour, je suis en train d'apprendre comment resoudre une equation avec les logarithme, et donc les regles qui vont avec, mais je en suis pas sur d'en comprendre le sens.
Voici mon equation, je numeroterai mes étapes pour etre plus clair:
ln(x²-4)=ln(1-4x)
voici comment je l'ai résolu:
1/ ln(x²-4)-ln(1-4x)=0 je met tout d'un coté
2/ exp ln(x²-4)-ln(1-4x)= exp 0 je met exp de chaque coté
3/ (x²-4)/(-4x+1) = 1 application règle exp0 = 1 ET exp x/exp y = exp x-y
4/ (x²-4) = 1((-4x+1) Je passe le dénominateur de l'autre coté
5/ x²+4x-5=0
Je constate une chose, si j'avai juste mis "exp" de chaque coté au tout début avant l'étape 1, alors j'en serai revenu exactement a l'étape 4 !!!!
Pourquoi nous embete t on avec ces regle de ln (1/x) = 1-ln x ou exp xy = exp x X exp y etc ????
Le fait d'avoir appliqué la regle exp x/exp y = exp x-y dans l'étape 3 pour ensuite passer le dénominateur de l'autre coté du "égal", ce qui fait qu'il devient numerateur est completement inutile !! C'est du temps perdu !?
Je n'aurai rien touché au début cela reviendrait exactement au meme...
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Modifié par bridg le 14-11-2009 12:02
Message de milo-scorpion posté le 19-08-2008 à 17:37:20
Bonjour, je suis en train d'apprendre comment resoudre une equation avec les logarithme, et donc les regles qui vont avec, mais je en suis pas sur d'en comprendre le sens.
Voici mon equation, je numeroterai mes étapes pour etre plus clair:
ln(x²-4)=ln(1-4x)
voici comment je l'ai résolu:
1/ ln(x²-4)-ln(1-4x)=0 je met tout d'un coté
2/ exp ln(x²-4)-ln(1-4x)= exp 0 je met exp de chaque coté
3/ (x²-4)/(-4x+1) = 1 application règle exp0 = 1 ET exp x/exp y = exp x-y
4/ (x²-4) = 1((-4x+1) Je passe le dénominateur de l'autre coté
5/ x²+4x-5=0
Je constate une chose, si j'avai juste mis "exp" de chaque coté au tout début avant l'étape 1, alors j'en serai revenu exactement a l'étape 4 !!!!
Pourquoi nous embete t on avec ces regle de ln (1/x) = 1-ln x ou exp xy = exp x X exp y etc ????
Le fait d'avoir appliqué la regle exp x/exp y = exp x-y dans l'étape 3 pour ensuite passer le dénominateur de l'autre coté du "égal", ce qui fait qu'il devient numerateur est completement inutile !! C'est du temps perdu !?
Je n'aurai rien touché au début cela reviendrait exactement au meme...
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Modifié par bridg le 14-11-2009 12:02
Réponse: Résoudre 1 équation ln de iza51, postée le 19-08-2008 à 17:52:25
Bonjour,
pour résoudre une équation avec des ln, il faut et on n'a pas d'autre choix utiliser l'implication si ln(A)=ln(B), alors A=B
on obtient des solutions pour A=B
On étudia alors la réciproque
Les solutions de ln A=ln B sont forcément aussi solutions de A=B
On regarde donc si les solutions de A=B sont oui ou non solutions de ln A=ln B
Je viens de faire un cours sur ce sujet
il est encore dans les tests en attente: il s'appelle logarithmes
Si x et solution de ln(x²-4)=ln(1-4x)
alors x est aussi solution de x²-4=1-4x
alors ... poursuis les calculs et poste tes résultats!
Le fait d'appliquer la fonction exp comme tu l'as fait est inutile et fastidieux (il doit manquer plein de parenthèses dans ce que tu écris)
Quand tu arrives à x²+4x-5=0, tu dois par exemple calculer le discriminant et appliquer les formules donnant les solutions (trinôme de degré 2) puisque tu dois trouver les valeurs de x solutions de x²+4x-5=0
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Modifié par iza51 le 19-08-2008 17:58
Réponse: Résoudre 1 équation ln de milo-scorpion, postée le 19-08-2008 à 18:03:07
En ayant poursuivit mon calcul, j'en suis arrivé à:
x²+4x-5=0
Racine évidente:
x' = 1
x" = -5
Et comme avec les calculs ln l'on prend toutes les valeurs au dessus de 0 (Df: [0;+inf[
Alors S: (1)
Mais je ne comprend pas l'utilité de toutes ces regles si l'on a juste besoin d'appliquer cela...
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Modifié par milo-scorpion le 19-08-2008 18:03
Réponse: Résoudre 1 équation ln de iza51, postée le 19-08-2008 à 18:22:00
l'ensemble de définition de l'équation ln(x²-4)=ln(1-4x) n'est pas ]0 ; + inf[
Beaucoup de corrigés parlent d'ensemble de définition, mais je trouve que ce n'est pas toujours judicieux!
cette façon de faire permet de travailler par équivalences mais c'est compliqué de chercher cet ensemble
on peut aussi travailler par implications; c'est souvent plus simple et c'est autorisé!
Tu trouves 1 et -5 comme solutions de x²-4=1-4x
Sans étudier l'ensemble de définition, on dit:
réciproquement si x=1, alors (x²-4)=-3<0 donc ln(x²-4) n'existe pas donc 1 n'est pas solution!et si x=-5, alors x²-4=25=21>0 et 1-4x=1+20=21 donc ln(x²-4)=ln(1-4x)
donc -5 est bien une solution
pour répondre à ton autre question, "à quoi servent toutes les règles?"
il arrive que l'on soit obligé de les appliquer; cela dépend des calculs que l'on a à effectuer!
pour résoudre une équation avec des ln, on est obligé de procéder soit par changement de variable (exemple dans l'autre post!) soit revenir à ln( )=ln( )
et pour arriver à cela, on est souvent obligé d'appliquer les règles!
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Modifié par iza51 le 19-08-2008 18:22
Réponse: Résoudre 1 équation ln de milo-scorpion, postée le 19-08-2008 à 18:24:28
En effet c'est bien plus simple de penser comme cela, mais en test c'est réellement autorisé ??
Car dans mon barème j'ai un demi point pour le domaine de definition justement.
Et c'est valable pour les logarithmes car c'est tjrs au dessus de 0, mais pour les exponentielles, cette methode n'est pas applicable puisque ca peut etre negatif comme positif ?
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Modifié par milo-scorpion le 19-08-2008 18:24
Réponse: Résoudre 1 équation ln de iza51, postée le 19-08-2008 à 18:37:57
attention regarde bien mon corrigé
1 positif n'est PAS SOLUTION
et -5 négatif EST SOLUTION!
ln(X) existe pour X>0 certes
mais ici c'est x²-4 qui doit être positif et aussi 1-4x
Beaucoup de profs de maths utilisent (comme moi) cette méthode: celle qui utilise des "SI x est solution de ..., alors x est ..." puis "Réciproquement si x= .., alors ... alors x= .. est/n'est pas solution
Parce qu'elle est plus facile à comprendre au niveau du raisonnement !
et ce qui intéresse le prof, c'est de voir que les élèves ont compris un raisonnement! chercher un ensemble de définition n'a pas vraiment de sens pour les élèves! c'est une recette qu'ils appliquent sans chercher à comprendre! ce qui se voit quand l'ensemble donné est faux!
Les indications de barèmes donnés dans les livres corrigés sont donnés de façon approximative (et n'ont souvent rien à voir avec la réalité d'après mon expérience de correctrice de bac)
Réponse: Résoudre 1 équation ln de milo-scorpion, postée le 19-08-2008 à 18:56:22
Oui c'est vrai que le domaine de définition est un calcul imposé pour nous, et non une logique pour la solution final.
Par contre j'ai du mal m'exprimer dans mon précedent post:
oui (-5) est solution dans l'équation car tu t'es servi d'une inequation basée sur la règle des logarithmes.
Et pars cette regle, en remplacant x par les valeurs trouvé, tu prend celle qui donne un resultat positif meme si x est negatif.
Chose possible pour les logarithmes donc, mais pour les exponentielles tu ne peux pas appliquer le systeme de l'inéquation car x<0 est possible.
C'est ce que je voulais dire plus haut.
Donc dans ce cas comment fait-on ?
Réponse: Résoudre 1 équation ln de iza51, postée le 19-08-2008 à 19:03:44
si ln(x²-4)=ln(1-4x), alors ... alors x=1 ou -5
or (pour la réciproque) +1 ne convient pas car +1 rend négatif x²-4 (valeur -3)
et -5 convient car -5 rend positif x²-4 (valeur +21)
donc il y a une seule solution qui est -5
Si exp(x²-4)=exp(1-4x), alors ... alors x=1 ou -5
or (pour la réciproque) les deux valeurs +1 et -5 conviennent puisque exp est définie sur R
est-ce plus clair?
Réponse: Résoudre 1 équation ln de milo-scorpion, postée le 19-08-2008 à 19:10:05
Oui voila, donc quand c'est des exponentiel, l'on prend tout car c'est défini sur R, c'etait ce que je voulais savoir!
Merci
Réponse: Résoudre 1 équation ln de milo-scorpion, postée le 19-08-2008 à 19:41:41
Et pour revenir a ces regles, comment je sais si je dois l'appliquer ??
Comment le saurais-je afin de ne pas tourner en rond comme l'équation précedente ?
Cette équation est elle juste ? (avec ton raisonnement):
2ln x = ln (2x-1)
ln x² = ln(2x-1)
exp ln(x)² = exp ln(2x-1)
x² = 2x-1
donc x²-2x+1=0
Delta: 0
x' " : 1
Réciproquement, si x=1, alors 2*1 = (2*1)- 1
Donc 2 = 1
Alors 1 est solution de l'équation.
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Modifié par milo-scorpion le 19-08-2008 19:45
Réponse: Résoudre 1 équation ln de iza51, postée le 19-08-2008 à 19:50:20
exemple résoudre ln(x²-1)+ln(x+2)=ln [(x+3)(x-1)]
ici il y a "trois ln( )", on va donc appliquer des formules permettant de revenir à ln()=ln()
essaie et poste les réponses!
je recopie ton post en le corrigeant
Si 2ln x = ln (2x-1)
alors ln x² = ln(2x-1)
alors exp ln(x)² = exp ln(2x-1)
alors x² = 2x-1
et donc x²-2x+1=0
Delta: 0
x' " : 1
Réciproquement, si x=1, alors x=1>0 et 2x-1=1>0
et on a 2 ln x=2*ln 1=2*0=0 et ln(2x-1)=ln(1)=0
donc 2*ln(x)=ln(2x-1) pour x=1
Alors 1 est la seule solution de l'équation.
remarque: tu avais écrit des trucs incohérents comme 2=1 ???
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Modifié par iza51 le 19-08-2008 20:06
Réponse: Résoudre 1 équation ln de milo-scorpion, postée le 19-08-2008 à 20:12:27
ALors j'ai essayé ton équation, voici le détail:
ln(x²-1)+ln(x+2)=ln[(x+3)(x-1)]
alors ln[(x²-1)(x+2)]=ln[(x+3)(x-1)] application de la regle ln(xy) = ln(x)+ln(y)
on rajoute exp de chaque coté:
exp ln(x²-1)(x+2) = exp ln[(x+3)(x-1)]
donc [(x²-1)(x+2)]=[(x+3)(x-1)]
sachant que (x²-1) = (x-1)(x+1)
donc
alors en développant, on obtient:
x²+2x+x+2-x-3=0
= x²+2x-1
delta: racine 8 ....
Suis je sur la bonne voie ?? J'ai un petit doute avec la racine ici...
EDIT:
J'ai compris ta correstion, j'etais dans cette logique, juste une mauvaise expression de ma part.
Par contre, dans ton développement la:
et on a 2 ln x=2*ln 1=2*0=0
Tu as utilisé la regle ln(1)=0 (qui ne m'etais pas venu a l'esprit), si nous avions eu ln (2), aurions nous multiplié le resultat trouvé (c'est a dire 1) par le 2 de ln ??
Je ne sais pas si tu comprends ma question.
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Modifié par milo-scorpion le 19-08-2008 20:16
Réponse: Résoudre 1 équation ln de iza51, postée le 19-08-2008 à 20:28:48
on
exp ln(x²-1)(x+2) = exp ln[(x+3)(x-1)]
donc [(x²-1)(x+2)]=[(x+3)(x-1)]
sachant que (x²-1) = (x-1)(x+1)
donc (x-1)(x+1)(x+2) = (x+3)(x-1)
on ne raye pas (x-1) qui peut être nul (en le rayant tu enlèves une valeur qui est peut-être une solution...); on le met en facteur
(x-1)(x²+2x-1)=0
x=1 ou x²+2x-1=0
x=1 ou
(ces solutions étant obtenues en calculant delta et en simplifiant )
il reste la réciproque
Réponse: Résoudre 1 équation ln de milo-scorpion, postée le 19-08-2008 à 21:05:20
Réciproquement, si x = -1-Racine2 alors x²+2x-1 = 0 donc -1-Racine2 est solution!
Et si x = -1+Racine2 alors x²+2x-1 = 0 également, donc -1+Racine2 est solution!
Les solutions de l'équation sont: (-1-Racine2; -1+Racine2; 1)
Réponse: Résoudre 1 équation ln de iza51, postée le 19-08-2008 à 22:21:25
rappel de l'équation: ln(x²-1)+ln(x+2)=ln[(x+3)(x-1)]
on a trouvé que si x était solution, x ne pouvait être que x=1 ou -1-Racine2 ou -1+Racine2
réciproque:
si x=1, alors x²-1=0 et alors ln(x²-1) non défini donc 1 n'est pas solution
si x=-1-rac2, alors x+2=1-rac2 est négatif et alors ln(x²-1) non défini donc -1 -rac2 n'est pas solution
et si x=-1+rac2, alors (x+3)(x-1)=(2+2rac2)(-2+rac2) qui est aussi négatif et alors ln(x²-1) non défini donc -1+rac2 n'est pas solution
l'équation ln(x²-1)+ln(x+2)=ln[(x+3)(x-1)] n'a donc aucune solution!
Réponse: Résoudre 1 équation ln de taconnet, postée le 20-08-2008 à 16:31:13
Bonjour.
Je voudrais revenir sur la résolution de l'équation :
E1 : ln(x²-4) = ln(1 - 4x)
et indiquer une méthode générale de résolution d'équations de ce type.
1- On détermine l'ensemble des valeurs pour lesquelles E1 a un sens
x0 est solution de l'équation si et seulement si
x²0 - 4 > 0
ET
1 - 4x0 > 0
x0 doit donc appartenir à ]-∞ ; -2 [
2- On utilise la propriété de bijectivité de la fonction ln à savoir :
Pour tout couple (x ; y) de R*+ X R*+
ln x = ln y <══> x = y
Ici on déduit que :
ln (x² - 4) = ln (1 - 4x) <══> x² - 4 = 1 - 4x
soit
x² + 4x - 5 = 0
la somme des coefficients étant NULLE, les racines sont évidentes : 1 et -5
Puisque l'on travaille sur l'ensemble ] -∞ ; -2 [, seule la solution -5 est valable.
Voici une vidéo
Lien Internet
et des exercices interactifs
Lien Internet
ATTENTION !
dans un exercice il faut lire :
ln(x-1) + ln(x+1) = ln 3 (3 n'est pas un exposant)
Réponse: Résoudre 1 équation ln de milo-scorpion, postée le 21-08-2008 à 19:59:51
Je n'ai pas compris grand chose dans ce dernier post...
Je vais me fier a l'explication d'iza...
PS:
J'ai l'impression que les mathématicien sont toujours obligé de faire des explications encore plus a difficile a comprendre que l'exercice lui meme...
J'ai cette image depuis tout petit a l'école et je la retrouve encore aujourd hui, c'est fou
Réponse: Résoudre 1 équation ln de TravisKidd, postée le 25-08-2008 à 03:39:35
Rappele-toi que "résoudre" une equation en x veut dire trouver quelles valeurs de x rendent vrai l'équation.
Par exemple, "Résoudre l'équation x2 = 1" veut dire "Trouver toutes les valeurs de x qui rendent vrai l'équation x2 = 1." (Ces valeurs étant évidemment x=1 et x=-1 dans cet exemple.)
Dans le cas de ln f(x) = ln g(x), il faut se rendre compte de deux choses:
1) Si f(x) = g(x) alors ln f(x) = ln g(x). (Pour toute fonction u, si a = b alors u(a) = u(b), en fait c'est ce qui fait de "u" une fonction !!) Donc toute valeur de x qui rend vrai l'équation f(x) = g(x) rend vrai l'équation ln f(x) = ln g(x) aussi.
2) Si ln f(x) = ln g(x), alors f(x) = g(x). C'est parce que ln est une fonction inversible (l'inverse étant exp, comme tu as constaté au début). Donc toute valeur de x qui rend vrai l'équation ln f(x) = ln g(x) rend vrai l'équation f(x) = g(x) aussi.
C'est à dire que x est solution de ln f(x) = ln g(x) si et seulement si x est solution de f(x) = g(x). Alors résoudre ln f(x) = ln g(x) équivaut à résoudre f(x) = g(x).
C'est pour ça qu'on peut enlever le "ln" des deux côtes.
Réponse: Résoudre 1 équation ln de iza51, postée le 25-08-2008 à 07:46:44
désolée Traviskidd, une partie de ce que tu annonces est fausse
"toute valeur de x qui rend vrai l'équation f(x) = g(x) rend vrai l'équation ln f(x) = ln g(x) aussi" EST FAUX car si x est tel que f(x)=g(x) ET f(x) négatif, x ne peut PAS être SOLUTION de ln(f(x))=ln(g(x))
Ce qui est juste "Si ln f(x) = ln g(x), alors f(x) = g(x)"
il y a équivalence seulement dans l'ensemble de définition
C'est pour cette raison que certains font chercher l'ensemble de définition
tandis que d'autres font étudier la réciproque (voir les post précédents)
Réponse: Résoudre 1 équation ln de TravisKidd, postée le 25-08-2008 à 19:14:55
Tu as raison iza, mea culpa.
Alors je précise:
1) Si f(x)=g(x) et ln f(x) est défini (ce qui est le cas si est seulement si f(x)>0), alors ln g(x) est défini (évidemment) et ln f(x) = ln g(x). Alors x est solution de ln f(x) = ln g(x) si x est solution de f(x) = g(x) > 0.
2) Si x est solution de ln f(x) = ln g(x), alors f(x) > 0 (puisque ln f(x) est défini) et f(x) = g(x) (puisque ln est inversible), c'est à dire qu'il n'y a pas d'autre solution de ln f(x) = ln g(x) que ce qui est impliqué par 1).
Alors bon, résoudre ln f(x) = ln (x) équivaut à résoudre f(x) = g(x) > 0.
Ben j'espère m'être rédimé maintenant.
