Cherche une limite

[Maths]Cherche une limite (1)

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[Maths]Cherche une limite
Message de milo-scorpion posté le 26-08-2008 à 23:37:57 (S | E | F)
Bonjour,
Je recherche une limite à partir de cette fonction->

F(x): (4exp(x)-1)/(2exp(x)+1

lim F(x) : j'en arrive a +oo/+oo ce qui est une forme indeterminé
x->+oo

Je factorise donc et (en esperant que se soit juste) j'arrive a (pour le numerateur):
1+[1/4exp(x)] : mais en quoi cela m'aide pour trouver la limite ?

Car ca donnerai 1+(1/+oo)
mais puisque le +oo est au dénominateur, cela donne quoi au final ?

Et question numero 2:
J'ai cherché la dérivée, je tombe sur F'(x): [6exp(x)]/(2exp(x)+1)²
Mon corrigé dis que c'est QUE >0
mais comment le sait il ?? Si x etait négatif, se reviendrait a qq chose de plus petit que 0 non ?

Et derniere question:
Avec une dérivée pareil (avec des exponentiels), l'on met quel(s) valeurs dans le tableau entre le -oo et le +oo
Car entre le numerateur et le dénominateur, lequel je place le plus pret de -oo pour dire que c'est lui le nombre le plus petit ? et pour calculer quand F(x) = 0; remplacer (x)dans f(x) par une valeur pareil c'est.... un peu dur non ?

Merci d 'avance

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Modifié par milo-scorpion le 27-08-2008 00:11

Réponse: [Maths]Cherche une limite de taconnet, postée le 27-08-2008 à 00:43:35 (S | E)
Bonsoir.

Je vous ai proposé une méthode simple pour résoudre le problème.

Je réitère ma suggestion.

4e^x - 1 = 4e^x + 2 - 3
donc le quotient Q = (4e^x - 1 )/(2e^x + 1)
s'écrit :
Q = (4e^x + 2 - 3)/(2e^x + 1)
Q = [2(2e^x +1) - 3 ]/(2e^x + 1)
soit
Q = 2 - 3/(2e^x + 1)

Si x ──> +∞ alors Q ──> 2

Quant à la dérivée utilisez la forme simplifiée du quotient Q
La dérivée de 2 est 0
il suffit de dériver -3/(2e^x + 1)
De la forme k/u
(k/u)' = - ku'/u²
on trouve donc :
6e^x /(2e^x + 1)²
Puisque e^x > 0 sur l'intervalle ]-∞ ; +∞[ alors cette dérivée est POSITIVE.
En effet le numérateur 6e^x > 0 et le dénominateur est un carré non nul.

Réponse: [Maths]Cherche une limite de iza51, postée le 27-08-2008 à 19:13:49 (S | E)
en rouge est dessinée la courbe de la fonction exponentielle
lorsque x<0, exp(x) est bien positif et non nul;de plus, quand x->-∞, exp(x) ->0
(ce n'est pas une preuve mais cela t'aidera peut-être à t'en persuader)

la méthode ci dessus est très bien; si tu ne la comprend pas bien, "ce qui tire" vers +∞, c'est exp(x), c'est donc ce nombre que l'on met en facteur
$f(x)= \frac {4 exp x -1}{2 exp x +1}= \frac {exp x (4- exp {-x})}{ exp x (2+ exp {-x})}=\frac {4-exp{-x}}{2+ exp {-x}}$ qui a pour limite 2 quand x tend vers +∞

note: en vert, c'est la courbe de la fonction ln et en bleu la droite d'équation y=x

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Modifié par iza51 le 27-08-2008 19:19

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Modifié par webmaster le 03-09-2008 16:01

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Modifié par webmaster le 03-09-2008 16:02

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Modifié par webmaster le 03-09-2008 16:02

Réponse: [Maths]Cherche une limite de milo-scorpion, postée le 27-08-2008 à 23:37:19 (S | E)
Bon j'ai compris le développement mais je n'ai pas mes réponses!

Taconnet a écrit:
Q = 2 - 3/(2ex + 1)

Si x ──> +∞ alors Q ──> 2

si x tend vers +oo, pourquoi c'est égal a 2 ?
C'est CA que je ne comprend pas !
On remplace le x par le +oo donc ca nous donnerai 2 - (3/(e*+oo + 1))
Quand "l'infini se trouve au dénominateur", alors cela donne 0 et donc l'on garde le 2 qui est devant c'est ca le raisonnement ???

Et taconnet tu ré-ecris:

on trouve donc :
6ex /(2ex + 1)²
Puisque ex > 0 sur l'intervalle ]-∞ ; +∞[ alors cette dérivée est POSITIVE.

J'y suis arrivé jusque la, mais je ne comprend pas le détail, c'est ca que je demande!
La dérivée que l'on trouve, si "x" etait un chiffre négatif, cela donnerai du "-"/"+" (négatif divisé par du positif) et à ce que je sache, le résultat serai négatif donc non ? (6*exp*(-1) = (- qq chose) )
Alors pourquoi la dérivée est elle obligatoirement positive ?
Et dans le tableau l'on fait apparaitre aucune valeur ? Juste le -oo et +oo de chaque coté avec la fleche de variation ???

Pourtant l'on a quelque chose avec un "x" en haut comme en bas, et d'habitude dans le tableau l'on met les valeur quand il y a des x.
J'espere que vous arrivez a comprendre ce que je veux dire, ce n'est pas facile a expliquer...

Réponse: [Maths]Cherche une limite de moka-chan, postée le 28-08-2008 à 01:52:42 (S | E)
ben enfaite c'est simple la lim c'est 2 parce que 3/ e*+inf tant vers l'infini quand x tant vers l'infini ce qui donne 3/ nombre super grand =>tant vers 0 2-0=2 c'est une manière d'approximer

Réponse: [Maths]Cherche une limite de iza51, postée le 28-08-2008 à 11:05:58 (S | E)
bonjour
ce que tu dois comprendre pour comprendre les résultats donnés: $\lim_{x \to + \infty} e^{-x} =\lim_{X \to - \infty} e^{X}=0$

pour le signe de la dérivée:
quand x est négatif, exp(x) n'est pas négatif, exp x est un autre nombre que x, exp(x) est strictement positif (regarde la courbe dans le post précédent: si x>0, exp x est compris entre 0 et 1. Mais sais-tu lire des résultats sur une courbe?)

$e^{-x}= \frac 1 {e^x} > 0$ pour tout x réel
en particulier $e^{-1}= \frac 1 {e^1}= \frac 1 e > 0$

sinon $\lim_{x \to + \infty} \frac 1 x =0$
et $\lim_{x \to - \infty} \frac 1 x =0$
en abrégé et de façon NON RIGOUREUSE, on peut retenir $\frac 1 {+ \infty} =0^+$ et $\frac 1 {- \infty} =0^-$ mais attention il est interdit d'écrire ce genre d'horreur! c'est juste un moyen mnemotechnique!

Réponse: [Maths]Cherche une limite de milo-scorpion, postée le 28-08-2008 à 20:08:32 (S | E)
D'accord je vois, mais pour ce qui est des valeurs a mettre dans le tableau ?
Que met-on quand on obtiens une dérivée pareil (avec des "exp" et des x) ??

(et non je ne sais pas lire les valeurs dans une courbe, je n'ai pas encore tout compris dans la fonction elle même, alors la courbe....)

Et dernier point curieux:
Dans ce que taconnet a écrit:
Q = [2(2ex +1) - 3 ]/(2ex + 1)
soit
Q = 2 - 3/(2ex + 1)

ou est passé le (2ex +1) du numerateur ?

Réponse: [Maths]Cherche une limite de iza51, postée le 28-08-2008 à 21:05:46 (S | E)
Bonjour,
$f(x)=\frac {2(2e^x +1) - 3}{2e^x + 1}=\frac {2(2e^x +1)}{2e^x + 1}- \frac {3}{2e^x+1}=2- \frac { 3}{2e^x + 1}$
et comme ça est ce plus clair?

dérivée: f ' (x)= $\frac {6 e^x}{(2e^x + 1)^2}>0$
la dérivée ne CHANGE PAS DE SIGNE
donc on ne met pas de valeur particulière dans le tableau
La fonction est strictement croissante sur ]-inf; + inf[
Tu as dit "Et dans le tableau l'on fait apparaitre aucune valeur ? Juste le -oo et +oo de chaque coté avec la fleche de variation ???"
Réponse OUI (et ce serait bien de faire le lien avec les courbes; c'est indispensable! ça fait partie des bases à connaitre! )

sur le schéma d'un précédent post, il y a une courbe rouge: elle REPRÉSENTE LA FONCTION EXPONENTIELLE: ce qui signifie que TOUS ces points ont des coordonnées (x;y) vérifiant y=exp x
il faut connaitre le sens de x et y pour un point
Lien Internet

pour savoir ce qu'est la courbe représentative d'une fonction Lien Internet

les courbes pourraient t'aider à comprendre des choses
après les études des liens ci dessus, tu tapes "Géogébra en ligne"
quand ce logiciel est téléchargé, tu saisis dans la ligne de saisie, x² puis entrée et tu obtiens la courbe d'équation y=x²; tu saisis exp(x) et tu obtiens la courbe d'équation y=exp x; etc.
Tu saisis 2- 3/(exp(x)+1) et tu auras la courbe de f
tu pourras vérifier qu'elle est croissante
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Modifié par iza51 le 28-08-2008 21:47

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Modifié par webmaster le 03-09-2008 15:02

Réponse: [Maths]Cherche une limite de magstmarc, postée le 28-08-2008 à 23:46:36 (S | E)
Bonjour à tous,
Juste une petite réaction à quelque chose que j'ai lu :
"(6*exp*(-1) = (- qq chose) )"
Quand tu écris cela, j'ai l'impression que tu considères exp(-1) comme une multiplication d'un nombre ("exp"?) par -1.
Ce n'est pas le cas : exp(-1) n'est pas une multiplication, c'est l'image du nombre -1 par la fonction exponentielle, et cette image est strictement positive comme iza51 l'a expliqué (voir aussi sur la courbe rouge, l'ordonnée du point d'abscisse -1 est bien strictement positive).

Réponse: [Maths]Cherche une limite de milo-scorpion, postée le 29-08-2008 à 23:26:54 (S | E)
Non magstmarc c'etait une mauvaise écriture de ma part en essayant d'expliquer ce que je ne comprenais pas...

Donc si je comprend bien, on peut résumer le fait qu'a chaque fois que l'on se retrouvera avec une dérivée ayant une exponentielle, rien 'napparaitra dans le tableau non ?

Réponse: [Maths]Cherche une limite de iza51, postée le 29-08-2008 à 23:40:17 (S | E)
non pas toujours
avec f(x)=exp(2x)-exp(x)
f '(x)=2exp(2x)-exp(x)=2*exp(x) * exp(x)-exp(x)=exp(x) (exp(x)-1) qui s'annule et change de signe en x=0 car exp(0)=1
ne fais pas de généralité surtout

Réponse: [Maths]Cherche une limite de milo-scorpion, postée le 29-08-2008 à 23:41:47 (S | E)
Mais alors comment le sait-on ?????
puisque le tableau de variation se fait AVANT la courbe ?!

Réponse: [Maths]Cherche une limite de iza51, postée le 30-08-2008 à 00:03:56 (S | E)
on étudie le signe de f '(x) pour savoir
étudie ce lien
Lien Internet

connaître aussi
le signe de exp(x): strictement positif
le signe de ln(x) : strictement positif si x >1, et strictement négatif si 0 < x < 1

le signe de ln(x)-ln(a): strictemnt positif lorsque x > a et strictement négatif si 0 < x < a

le signe de exp(x)-exp(a): strictement positif si x > a et strictement négatif si x < a

savoir factoriser si besoin et étudier le signe de chaque facteur dans un tableau de signes

Réponse: [Maths]Cherche une limite de milo-scorpion, postée le 30-08-2008 à 00:13:58 (S | E)
J'ai étudié le lien et j'ai fais le test, merci.

Je sais que je suis têtu et borné, mais je vais encore revenir sur les limites!

Voila, pourquoi dans le cours, la prof fait elle les limites de cette facon ?

F(x): (4exp(x)-1)/(2exp(x)+1) qui est la même chose que 2-(3/(2exp(x)+1)) comme démontré plus haut.

Dans le corrigé, la prof prend:
(4exp(x)-1)/(2exp(x)+1) pour calculer la limite quand x->-oo

Et prend :
2-(3/(2exp(x)+1)) quand x->+oo

Pourquoi se sert elle des 2 fonctions différentes pour les limites, pourquoi ne pas prendre la meme de base par exemple ?
Y a t il des facilité ?
Pourquoi ne pas faire l'inverse alors ?

Réponse: [Maths]Cherche une limite de iza51, postée le 30-08-2008 à 00:22:39 (S | E)
on prend la forme (4exp(x)-1)/(2exp(x)+1) pour calculer la limite quand x->-oo
CAR exp(x) a pour limite 0 en -inf; la limite est facile à calculer tandis qu'en +inf, c'est indéterminé

on prend la forme 2-(3/(2exp(x)+1)) quand x->+oo
CAR exp(x) a pour limite +inf en + inf, alors exp(x)+1 aussi alors 3/(exp(x)+1) A POUR LIMITE 0 et f(x) pour limite 2 quand x->+oo; on peut calculer la limite: l'indétermination est levée!
on pourrait aussi utiliser cette forme pour la limite en -inf (et ça donne bien la même réponse!)

pour des lectures graphiques:
Lien Internet

Lien Internet

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Modifié par iza51 le 30-08-2008 15:12

Réponse: [Maths]Cherche une limite de milo-scorpion, postée le 30-08-2008 à 11:06:18 (S | E)
Bien, je pense avoir compris cette fois ci...

Ensuite je dois chercher les points d'intersection de la fonction.
Comment les cherches t on ??? Y a t il une formule type ?

Sans oublié que la droite d'équation (y=-1) est asymptote horizontale en -oo
Et que la droite d'équation (y=2) est asymptote horizontale en +oo

si je ne me suis pas trompé...

Réponse: [Maths]Cherche une limite de iza51, postée le 31-08-2008 à 09:34:36 (S | E)
Bonjour,
Tu as demandé: "chercher les points d'intersection de la fonction.
Comment les cherches t on ??? Y a t il une formule type ?"

Je pense qu'il s'agit des points d'intersection de deux courbes d'équations y=f(x) et y=g(x). Pour obtenir les ABSCISSES x de ces points, on résout l'équation f(x)=g(x)
Une fois que l'on connait l'abscisse x=a d'un point d'intersection , on trouve l'ordonnée en calculant y=f(a)

Dans ton exemple, on peut chercher les points d'intersection de la courbe de f avec l'axe des abscisses (qui a pour équation y=0)
On résout d'abord l'équation f(x)=0

(4exp(x)-1)/(2exp(x)+1) =0 si et seulement si (4exp(x)-1)=0 car (2exp(x)+1) est non nul
Donc (4exp(x)-1)/(2exp(x)+1) =0 si et seulement si exp(x)=1/4
d'où x = ln(1/4)= -ln(4)

conclusion: il y a un seul point d'intersection : le point de coordonnées (-ln(4); 0)

Pour les asymptotes: ok!

Réponse: [Maths]Cherche une limite de milo-scorpion, postée le 31-08-2008 à 20:47:29 (S | E)
J'ai compris pour cet exemple, mais l'énoncé dit de calculer les points A et B.
Donc (-ln4 ; 0) pour le point A.
Mais il y a un point B, et comme l'on s'est deja servi de la fonction en =0, comment trouve t on l'autre ?

(la prof donne comme indice que le point A comme point d'intersection des abscisses et le point B qui coupe l'axe des ordonnées...)
Comment fait on pour le second ?

Seconde Question:
Désirant avoir une primitive F de f sur R, prouvez que cette réponse est juste:
F(x)= (-x) + 3ln (2exp x+1)
Le développement continue ainsi:
1/ F(x)= (-1) + 3 * (2exp x/2exp x +1)
2/ F(x)= (-1) + (6exp x/2exp x +1)
3/ F(x)= (-2exp x-1+6exp x / 2exp x +1)
F(x) = (4exp x - 1/ 2exp x + 1) = f(x)

Je comprend la logique, mais je ne comprend pas la partie de développement "Du début a 1/" (ou est passé le ln et pk il y a un dénominateur ?)

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Modifié par milo-scorpion le 31-08-2008 21:10

Réponse: [Maths]Cherche une limite de iza51, postée le 31-08-2008 à 23:20:08 (S | E)
bonsoir
il y a un seul point d'intersection entre la courbe de f et l'axe des abscisses: A(-ln4;0)

on peut chercher d'autres intersections
intersection de la coube de f d'équation y=f(x) avec l'axe des ordonnées d'éq x=0
x=0 donc y=f(0)=(4exp(0)-1)/(2exp(0)+1)=3/3=1
le point B(0; 1) est l'unique point d'intersection de la courbe de f avec l'axe des ordonnées

Désirant avoir une primitive F de f sur R, prouvez que cette réponse est juste:
F(x)= (-x) + 3ln (2exp x+1)
pour prouver que c'est bien une primitive, il suffit de dériver F

Le développement continue ainsi: là où tu a mis F(x) il s'agit en réalité de F'(x) où F' désigne la Dérivée de F

de plus la DERIVEE de la composée ln(u) c'est (ln(u))'= u' / u
1/ F'(x)= (-1) + 3 * (2exp x/2exp x +1)
2/ F'(x)= (-1) + (6exp x/2exp x +1)
3/ F'(x)= (-2exp x-1+6exp x / 2exp x +1)
F'(x) = (4exp x - 1/ 2exp x + 1) = f(x)
donc la dérivée de F est bien F'= f
autrement dit, F est une primitive de f sur R

attention: une fonction n'a qu'1 seule dérivée si elle est dérivable (LA dérivée)
tandis qu'une fonction a une infinité de primitives si elle en admet (UNE primitive)
ok?

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Modifié par iza51 le 01-09-2008 06:54

Réponse: [Maths]Cherche une limite de milo-scorpion, postée le 01-09-2008 à 11:44:48 (S | E)
on peut chercher d'autres intersections
intersection de la coube de f d'équation y=f(x) avec l'axe des ordonnées d'éq x=0
x=0 donc y=f(0)=(4exp(0)-1)/(2exp(0)+1)=3/3=1
le point B(0; 1) est l'unique point d'intersection de la courbe de f avec l'axe des ordonnées

Oulah, pourquoi remplaces-tu les x par 0 cette fois ci ???
Pourquoi ne fait on pas comme le premier ou c'est = 0 ????

Réponse: [Maths]Cherche une limite de iza51, postée le 01-09-2008 à 18:22:58 (S | E)
bonjour
Tout dépend de ce que l'on cherche! des exemples à connaitre...
1) Intersection de la courbe de f d'équation y=f(x) avec l'axe des ordonnées d'éq x=0

un point d'intersection a des coordonnées qui vérifient les deux équations y=f(x) et x=0

2) Intersection de la courbe de f d'équation y=f(x) avec l'axe des ordonnées d'éq y=0

un point d'intersection a des coordonnées qui vérifient les deux équations y=f(x) et y=0 , qui donc vérifient aussi f(x)=0 et y=0

3) Intersection de la courbe de f d'équation y=f(x) avec l'axe des ordonnées d'éq y=g(x)

un point d'intersection a des coordonnées qui vérifient les deux équations y=f(x) et y=g(x) , qui donc vérifient aussi f(x)=g(x) et y=f(x)

4) Intersection de la courbe de f d'équation y=f(x) avec la droite d'éq x=a (où a désigne un nombre connu)

un point d'intersection a des coordonnées qui vérifient les deux équations y=f(x) et x=a , qui vérifient aussi x=a et y=f(a)

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