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Les fonctions aide svp (1)
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Les fonctions aide svp
Message de ktmatthieu posté le 20-09-2008 à 13:17:00 (S | E | F)
EXERCICE 1
LA partie entière d'un reel x est l'entier relatif n vérifiant n<(ou egal)x
1. Compléter le tableau suivant :
x |-7| -6| -5| -4| -3| -2| -1| 0| 1| 2| 3| 4
f(x)|2/3|0| 1/3|2/3|0| 1/3 |2/3|0|1/3|2/3|0|1/3
( J'ai déja rempli le tableaux mais c'est apres ou c'est le trou noir )
QUE peut-on conjecturer grâce a ces valeurs de f(n) pour n entier relatif ?
2.Démontrer le résultat conjecturé : on considerera les cas n=3k , n=3k+1 et n = 3k+2 , k étant un entier relatif.
3.Démontrer que pour tout réel x , f(x + 3) =f(x) : on dit alors que f est periodique de période 3.
4.Déterminer une expression simple de f(x) sur [0;3[.
5.En l'xpliquant , représenter f sur [-3 ; 9[ dans le repére ( 0;i;j ), unités graphiques : 1cm en abscisse et 3 cm en ordonnée.
(Si il y'a des choses que vous comprenez pas dans les énoncés ou que j'ai mal recopiés ,dites le moi et je corrigerai
merci beaucoup de votre aide. Réponse: Les fonctions aide svp de iza51, postée le 20-09-2008 à 20:59:42 (S | E)
bonsoir
tu dis "J'ai déja rempli le tableaux mais c'est apres ou c'est le trou noir "
As tu regardé les valeurs dans ton tableau?
n'as tu vraiment rien remarqué?
on te demande de considèrer 3 cas
1er cas: n est divisible par 3 (n=3k)
2ème cas: le reste est 1 dans la division de n par 3 (n=3k+1)
3ème cas: le reste est 2 dans la division de n par 3 (n=3k+2)
as tu essayé de caluler f(n) dans chacun de ces cas?
Réponse: Les fonctions aide svp de hassounchafi, postée le 23-09-2008 à 15:22:48 (S | E)
1- On peut conjecturer que f(n)=0 pour tout entier relatif n
2- Quel que soit n un entier, n peut s’écrire sous la forme n=3k ou n=3k+1 ou n=3k+2 ; k étant un entier relatif.(Pour dire qu’il n’y a pas d’autres cas à envisager)
a. Premier cas : n= 3k ; f(n)= f(3k)= 3k/3 – E(3k/3) =k –E(k) =0 car k est un entier.
b. Deuxième cas : n=3k+1 ; f(n) =f(3k+1)=(3k+1)/3 – E((3k+1)/3) =k+1/3 –E(k+1/3)=k+1/3 - k=1/3
c. Troisième cas : n=3k+2 ; f(n) =f(3k+2) = (3k+2)/3 – E((3k+2)/3)= k +2/3 – E(k +2/3) =k + 2/3 – k = 2/3
3- f(x+3)=(x+3)/3 –E((x+3)/3) =x/3 +1 – E(x/3 +1)=x/3 +1 –[ E(x/3) +1] =x/3 +1 –E(x/3) -1 =x/3 –E(x/3) =f(x) ; À savoir que E(x+n)=E(x) pour tout entier n . Donc f est périodique, de période 3. (Dans le cas général, cela ne suffit pas à confirmer que la période t d’une fonctionf est celle qui vérifie f(x+t) =f(x) ; mais c’est le plus petit t satisfaisant à f(x+t)=f(x) pour tout x. Dans notre exemple 3 est le plus petit à vérifier cela.)
4- Pour 0 ≤ x <3 ; 0 ≤ x/3 <1 et E(x/3) = 0 donc f(x)=x/3 ;
5-
a. Pour -3≤x<0 ; -1≤ x/3<0 et E(x/3)=-1 donc f(x) = x/3 +1 ;
b. Pour 0≤x<3 ; 0≤ x/3<1 et E(x/3)=0 donc f(x) = x/3 ;
c. Pour 3≤x<6 ; 1≤ x/3<2 et E(x/3)=1 donc f(x) = x/3 -1 ;
d. Pour 6≤x<9 ; 2≤ x/3<3 et E(x/3)=2 donc f(x) = x/3 -1 ;
On remarque que la fonction est discontinue aux points entiers.
Remarque : Une telle fonction est appelée fonction en escalier (la continuité n’est pas necessairement en des entiers)
