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Nombre d'or (1)
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Nombre d'or
Message de armis posté le 28-09-2008 à 16:09:42 (S | E | F)
Bonjour tous le monde,
je doit rendre un dm et je n'y arrive pas avec le nombre d'or, voilà les questions
Exo 1
Q=1+racine5/2
1)donner la valeur approchée du nombre d'or à 10puissance -4 (je ne me souvient plus de la méthode)
2)montre que Q2=Q+1 (pas de problème)
3)on veut montrer par l'absurde que Q est irrationnel. On suppose qu'il s'écrit sous la forme p/q, avec p et q entiers premier entre eux (pas de problème)
montrer que p2=pq + q2, puis que p2-q2=pq (ici je n'y arrive pas)
Si p et q sont impair, que peut-on dire de p2, q2 et pq, est-ce possible (ici aussi je ne comprend pas)
Exo 2
on me demande de calculer A=1-2racine3 et racine13-4racine3 (pas de problème)
mais après on me demande de les comparer (comment suis-je censé faire)
Merci d'avance
PS: les methodes me suffiront
Réponse: Nombre d'or de taconnet, postée le 28-09-2008 à 17:09:39 (S | E)
Bonjour.
Vous avez montré que :
Φ² = Φ + 1 (1)
Si on suppose que Φ est rationnel alors on peut écrire:
Φ = p/q avec q ≠ 0 et p/q irréductible.
la relation (1) s'écrit alors
p²/q² = p/q + 1
en réduisant au même dénominateur et en simplifiant par q² on obtient
p² = pq + q²
d'où
p²- q² = pq
on suppose maintenant que p et q sont impairs
Que dire de p² et de q² ? Sont-ils pairs ou impairs ?
D'une manière générale un nombre impair s'écrit 2n + 1 (n entier relatif)
Que dire de la différence p² - q² ? Nombre pair ou nombre impair ?
Que dire du produit pq ? Nombre pair ou nombre impair ?
conclure.
