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Casse-tête =) (1)
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Casse-tête =)
Message de justine4 posté le 28-09-2008 à 23:30:16 (S | E | F)
Bonjour!
Je cherche ce problème en vain depuis une semaine! Auriez vous des indications à me donner? Voici l'énoncé:
"Au début 2008 nombres tous égaux a 1 sont inscrits au tableau. A chaque étape, on efface deux nombres choisis arbitrairement que l'on remplace par leur demi-moyenne (soient a et b les nombres effacés, on écrit au tableau (a+b)/4. Au bout de 2007 étapes il reste un seul nombre; démontrer que ce nombre est strictement plus grand que 1/2007."
Réponse: Casse-tête =) de hassounchafi, postée le 29-09-2008 à 15:15:45 (S | E)
Bonjour,
Avez vous essayé ce raisonnement?:
soient a1 a2 ....
et soit la suite (Sn)tel que Si=Sommation des i termes restant:
Au début on S0 qui est la somme des 2008 nombres;
à la fin on a S2007 qui est égake au seul terme restant après 2007 opérations.(l'indice correspond au nombre d'opérations déjà effectuées) On raisonne sur Sn et on déduit.(on cherche une inégalité verifiée par Sn en général)
Je ne l'ai pas essayé mais je crois que ça peut marcher.
On pourrait utiliser d'autres indices:
par exemple: Si signifie la sommation des i termes restant (on commence donc par S2008 et on finit par S1
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Modifié par hassounchafi le 29-09-2008 15:16
Réponse: Casse-tête =) de taconnet, postée le 29-09-2008 à 16:35:55 (S | E)
Bonjour justine.
Dans quelle classe êtes-vous ?
Commencez par écrire :
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
L'addition étant commutative et associative , on peut additionner les termes dans un ordre indifférent.
On remplace les deux premiers par leur demi moyenne, que l'on ajoute au troisième, on détermine à nouveau la demi moyenne de ces termes , que l'on ajoute au quatrième et ainsi de suite....
Première étape :
1 + 1 = 2 ──> 1/2
Deuxième étape :
1/2 + 1 = 3/2 ──> 3/8
Troisième étape :
3/8 + 1 = 11/8 ──> 11/32
Vous devez déjà avoir une idée sur la formation des fractions suivantes.....
Remarquer aussi que le dénominateur est une puissance de 2 et que le numérateur est une somme de puissances de 2 (noter que 20 = 1)
