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Fonctions paires et impaires
Message de moumoune2792 posté le 02-10-2008 à 18:50:15 (S | E | F)
Bonjour à tous! Je vous donne ici mon DM qui est en réalité un TD sur les fonctions paires et impaires. J'aimerais que vous me guidiez et me disiez si je pars sur des bonnes pistes ou pas.
1/ Définitions:
Définition: f est paire signifie que si x appartient à Df, alors:
-x appartient à Df et f(-x)=f(x)
Le repère étant orthogonal, soit M(x;y) un point de la courbe représentative de f. On note M'(x';y') le symétrique de M par rapport à l'axe des ordonnées.
* Exprimez x' et y' en fonction de x et y.
* Justifiez que M' appartient à la courbe.
Conclusion: Si f est paire, la courbe représentative de f dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Définition: f est impaire signifie que si x appartient à Df, alors:
-x appartient à Df et f(x)= -f(x)
Soit M(x;y) un point de la courbe représentative de f.
On note M'(x';y') le symétrique de M par rapport à l'origine O du repère.
* Exprimez x' et y' à l'aide x et y.
* Justifiez qur M' appartient à la courbe.
Conclusion: Si f est impaire, la courbe représentative de f est symétrique par rapport à l'origine du repère.
2/ Application:
1- Classez, dans un tableau, comportant 3 colonnes - "paire", "impaire", "ni paire ni impaire"- les fonctions suivantes:
valeur absolue de x
sin x
x carré -1
racine de x
x + 1/x
x au carré - x
cos x
2- f et g sont deux fonctions définies sur R.
a) Démontrez que si f est paire alors g o f est paire.
b) Démontrez que la composée de deux fonctions impaires est impaire.
Voilà pour ce qui est du sujet complet.
Ci-dessous figurent mes toutes premières pistes:
Pour la première question: y' = y = f(x') = f(x)
Pour la deuxième question, faut-il utiliser la propriété des axes de symétrie ( a-h appartient à Df et f(a+h)=f(a-h))? parce que je suis dans le flou je ne sais ni par où commencer ni comment rédiger!
Alors votre aide serait d'un grand secours!
Comme d'habitude, je ne me repose pas sur mes lauriers et continue de chercher dans mon coin. Merci d'avance.
-------------------
Modifié par bridg le 02-10-2008 18:53
Message de moumoune2792 posté le 02-10-2008 à 18:50:15 (S | E | F)
Bonjour à tous! Je vous donne ici mon DM qui est en réalité un TD sur les fonctions paires et impaires. J'aimerais que vous me guidiez et me disiez si je pars sur des bonnes pistes ou pas.
1/ Définitions:
Définition: f est paire signifie que si x appartient à Df, alors:
-x appartient à Df et f(-x)=f(x)
Le repère étant orthogonal, soit M(x;y) un point de la courbe représentative de f. On note M'(x';y') le symétrique de M par rapport à l'axe des ordonnées.
* Exprimez x' et y' en fonction de x et y.
* Justifiez que M' appartient à la courbe.
Conclusion: Si f est paire, la courbe représentative de f dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Définition: f est impaire signifie que si x appartient à Df, alors:
-x appartient à Df et f(x)= -f(x)
Soit M(x;y) un point de la courbe représentative de f.
On note M'(x';y') le symétrique de M par rapport à l'origine O du repère.
* Exprimez x' et y' à l'aide x et y.
* Justifiez qur M' appartient à la courbe.
Conclusion: Si f est impaire, la courbe représentative de f est symétrique par rapport à l'origine du repère.
2/ Application:
1- Classez, dans un tableau, comportant 3 colonnes - "paire", "impaire", "ni paire ni impaire"- les fonctions suivantes:
valeur absolue de x
sin x
x carré -1
racine de x
x + 1/x
x au carré - x
cos x
2- f et g sont deux fonctions définies sur R.
a) Démontrez que si f est paire alors g o f est paire.
b) Démontrez que la composée de deux fonctions impaires est impaire.
Voilà pour ce qui est du sujet complet.
Ci-dessous figurent mes toutes premières pistes:
Pour la première question: y' = y = f(x') = f(x)
Pour la deuxième question, faut-il utiliser la propriété des axes de symétrie ( a-h appartient à Df et f(a+h)=f(a-h))? parce que je suis dans le flou je ne sais ni par où commencer ni comment rédiger!
Alors votre aide serait d'un grand secours!
Comme d'habitude, je ne me repose pas sur mes lauriers et continue de chercher dans mon coin. Merci d'avance.
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Modifié par bridg le 02-10-2008 18:53
Réponse: Fonctions paires et impaires de eljaddi, postée le 03-10-2008 à 01:22:31 (S | E)
I-pour la classification des fonctions:1) sin x Df=IR donc -x appartient a Df et x aussi.
sin(-x)=sin x d'aprés le cercle trigonométrique.
dnoc elle est paire
2)x²-1 Df=IR donc -x appartient a Df et x aussi.
f(-x)= (-x)²-1=x²-1=f(x) donc elle est paire.
3)racine x on a x>ou = 0 donc Df= [0,+ infini[.
on n'a pas la condition "-x appartient a Df et x aussi"
donc elle est ni paire ni impaire
4)x+ 1/x x>0 donc -x appartient a Df et x aussi.
et f(-x)= -x + (-1/x) = -x -1/x = - f(x)
f est impaire.
5) f(x)= x²-x Df= IR.-x appartient a Df et x aussi.
f(-x)=(-x)²-(-x)=x²+x <> f(x) et -f(x) donc f ni paire ni impaire.
6) pour cos x on a Df=IR donc -x appartient a Df et x aussi.
cos (-x)= -cosx donc est impaire
d'aprés le cercle trigonométrique
II- gof:
1) f est paire implique que f(x)=f(-x) et -x appartient a Df et x aussi
et on a gof(x)= g(f(x)).
donc gof(-x)=g(f(-x)=g(f(x))=gof(x)
alors gof(-x)=gof(x) implique que gof est paire.
2) la méme démonstration mais cette fois on utilise la régle des fonction impaire.
et je suis a votre service ma cher ami.
Réponse: Fonctions paires et impaires de moumoune2792, postée le 03-10-2008 à 06:18:11 (S | E)
Merci bcp mais je bloque surtout sur la première partie. C'est quand même très gentil de m'aider. Personne n'aurait une petite idée pour les définitions?
Réponse: Fonctions paires et impaires de taconnet, postée le 03-10-2008 à 08:07:34 (S | E)
Bonjour.
Voici des éléments de réponse.
Lien Internet
À noter que la fonction f : x ──> sinx est IMPAIRE.
En effet :
sin(-x) = - sinx
donc
f(-x) = - f(x)
En revanche la fonction g : x ──> cos x est PAIRE.
Réponse: Fonctions paires et impaires de moumoune2792, postée le 03-10-2008 à 21:21:57 (S | E)
Merci beaucoup pour ce lien internet que je trouve très utile!! Merci encore!!
Réponse: Fonctions paires et impaires de peintre, postée le 06-04-2009 à 14:39:53 (S | E)
bonjour à tous,,
je vient de trouver ce forum de mathématiques, en cherchant de l'aide sur les fonctions impaires et paires ,,
il se trouve que j'ai le meme DM a faire ,,
j'ai lu le site web,, sa m'a éclairci les idées ,,
mais je ne voit pas trop comment justifié que le point M' appartient a la courbe !
il faut prouver que la courbe es symetrique de chaques côtes par rapport a l'axe ?
merci de ma répondre !
