PGCD PPCM

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PGCD PPCM
Message de yopdu59 posté le 10-01-2009 à 21:40:50 (S | E | F)
Bonjour à tous,

j'ai quelques exercices à faire sur le chapite arithmétiques de spé maths (TS)

-Trouvez les couples de relatifs tels que
-PGCD(x,5880)=84
-PGCD(x,y)=6 et PPCM(x,y)=2700. Là j'ai trouvé les couples (54,300)(300,54) et (108,150)(150,108) mais je ne sais pas s'il y en a plus.
-y=15 et PPCM(x,y)=520

-Trouvez a et b tels que a+b=651 et PPCM(a,b)/PGCD(a,b)=108

-Résoudre dans N x²-y²=401. Ici je ne sais pas du tout, on m'a dit que quand il y a deux inconnues, il faut 2 équations au minimum.

Merci d'avance, @ +

Réponse: PGCD PPCM de taconnet, postée le 11-01-2009 à 10:05:04 (S | E)
Bonjour.

Voici un exemple pour résoudre le dernier exercice.

Trouver deux entiers naturels x et y tels que :
x² - y² = 247

Méthode :

Il faut mettre le premier membre sous forme d'un produit de facteurs et décomposer le nombre qui figure au second membre en un produit facteurs entiers (on pourra s'aider d'une décomposition en facteurs premiers)
Quelques nombres premiers successifs :

2,3,5,7,11,13,17,19,23..........

On obtient:

x² -y² = (x + y)(x - y)

247 = 247 x 1
ou
247 = 13 x 17

Ce sont les deux seules possibilités.
On est conduit à résoudre les deux systèmes( la somme est évidemment supérieure à la différence)
I-
x + y = 247
x - y = 1

II-
x + y = 19
x - y = 13

On résout ces deux systèmes par addition

I- ══> x = 124 et y = 123
II- ══> x = 16 et y = 3

Réponse: PGCD PPCM de fr, postée le 11-01-2009 à 11:39:50 (S | E)
Bonjour,

Pour tous les exercices, il convient de décomposer les nombres en facteur premier ...
Ensuite

Pour le 1) il faut ensuite chercher tous les nombres qui contiennent les facteurs de 84 (avec la même puissance) et aucun nouveau facteur de 5880 ... mais tous les autres possibles, il y a donc une infinité de solutions ...
Elles sont toutes multiples de 84 (84 y compris), avec un facteur différent des autres facteurs de 5880 ...

Pour le 2) il en manque, puisqu'il y a 2 couples de solutions évidentes
une fois la décomposition faite, il faut prendre des multiples de 6 et "répartir" les autres facteurs de 2700 :
- pour les facteurs de 6, il faut qu'un des 2 nombres ait le même nombre de facteur de 2 ou de 3, l'autre ne devant pas en avoir plus que 1 (sinon le PGCD ne sera plus 6)
- pour les autres facteurs, il faut qu'il apparaissent à la même puissance que 2700 dans un des nombres mais pas du tout dans l'autre

En tout, j'ai trouvé 8 couples solution (2*4)

Pour le 3) pour que le PPCM soit égal à 520, il faut que tous les facteurs premiers de 520 non contenus dans y=15 soient dans x.
Ensuite, x peut contenir 0,1 ou 2 facteurs de 15 (15 n'ayant que 2 facteurs), il y a donc 4 possibilités ...

Pour le 4) après avoir décomposé 108 et 651
le PPCM doit contenir les facteurs de 108 en plus des facteurs du PGCD
108=... (à compléter avant de continuer ...)
651=...

Pour le 5) Taconnet a donné la méthode

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Modifié par fr le 11-01-2009 12:27

Quelques éléments complémentaires pour le 4) :
- pour que la somme de 2 entiers naturels soit = 651, il faut que l'un des 2 soit supérieur ou égal à sa moitié (donc x ou y >=326)
- le PPCM de 2 nombres est forcément >= max des 2 nombres, donc PPCM>=326
- d'après la relation, PPCM / PGCD = 108, on a alors PGCD >= 326/108
PGCD étant entier, PGCD >= 4
- d'autre part, on a x= PGCD*a et y = PGCD*b, avec a et b entiers naturels premiers entre eux (sinon le facteur commun serait dans le PGCD), les facteurs de 108 étant à répartir entre a et b.
donc x+y=PGCD*(a+b), or x+y=651,
le PGCD est donc a cherché parmi une combinaison des facteurs de 651, et (a+b) est égal au produit des autres facteurs ...

Pour la suite, j'attends vos décompositions ...

Sachez qu'il n'y a que 2 couples de solutions (toutes les relations étant commutatives, les solutions sont (c,d) et (d,c) avec c=PGCD*a=... et d=PGCD*b...)

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Modifié par fr le 11-01-2009 15:08

Voici un autre exemple pour suivre la méthode jusqu'au bout :

on donne x+y=1110 et PPCM(x,y)/PGCD(x,y)=252

les décompositions sont :
252 = 2²*3²*7
et 1110 = 2*3*5*37

on pose x=PGCD(x,y)*a et y=PGCD(x,y)*b, avec a et b premiers entre eux,
on a donc x+y=PGCD*(a+b)=1110, donc PGCD=1110/(a+b)
les facteurs de 252 doivent être répartis entre a et b, mais seulement l'un des 2 (a et b devant resté premiers entre eux)
Les possibilités sont donc :
1) a=1 et b=2²*3²*7
2) a=2² et b=3²*7
3) a=3² et b=2²*7
4) a=7 et b=2²*3²
5) a=2²*3² et b=7 (idem que 4 en intervertissant a et b)
6) a=2²*7 et b=3² (idem que 3 en intervertissant a et b)
7) a=3²*7 et b=2² (idem que 2 en intervertissant a et b)
8) a=2²*3²*7 et b=1 (idem que 1 en intervertissant a et b)

Il faut de plus que a+b soit égal au produit de facteurs de 1110
Or a+b vaut :
1) 253 qui n'est divisible ni par 2 ni par 3 ni par 5, et ni par 37
2) 67 qui n'est divisible ni par 2 ni par 3 ni par 5, et ni par 37
3) 37 qui est donc un facteur de 1110 => une solution
4) 43 qui n'est divisible ni par 2 ni par 3 ni par 5, et ni par 37

Les seules solutions possibles sont donc : (a=9 et b=28) ou (a=28 et b=9).
a+b vaut 37, donc PGCD(x,y)=1110/(a+b)=2*3*5*37/37=2*3*5=30

donc on a x=30*9=270 et y=30*28=840 ou x=840 et y=270
(270;840) et (840;270)

Vérifions si ces solutions satisfont aux équations initiales :

x+y=270+840=1110 (ok)
PPCM(270,840) = PPCM(2*3³*5,2³*3*5*7) = 2³*3³*5*7 = 7560
PGCD(270,840) = PGCD(2*3³*5,2³*3*5*7) = 2*3*5 = 30

et PPCM(x,y)/PGCD(x,y)=7560/30=252 (ok)

Remarque : dans certains cas, il est aussi intéressant d'utiliser la relation (si vous l'avez déjà vue) :

PGCD(x,y)*PPCM(x,y)=x*y

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