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Exponentielle
Message de niros10 posté le 14-04-2009 à 20:42:50 (S | E | F)
Bonjour,
Il y a deux exercices que je n'arrive pas à terminer, pouvez-vous m'aider?
EX1:
Le coût marginal d'un produit est donnée par: Cm(x)= (e exposant -x+2)(x+1)+2
1a) étudier le sens de variation du coût marginal. calculer le minimum.
b) étudier la lim de Cm en +inf
Que peut-on déduire pour le coût marginal pour de grandes quantités?
2a) Les coûts fixes sont de 10 euros
Justifier que le coût total est donné par CT(x)=2x+x(e exposant -x+2)+10
b) Exprimer le coût moyen C(x)= C(x)/x en fonction de x
c) Démontrer que le coût moyen est toujours décroissant.
Voici mes quelques réponses:
1a) décroissant sur ]-inf;2] et croissant sur ]2;+inf[
pour le minimum j'ai trouvé -e+2
b) lim de Cm(x) en +inf= 0
Je n'ai pas trouvé la déduction...
Le reste je n'est pas compris
EX2:
Soit f(x)=(ax+b)(e exposant kx), où a, b et k sont des nombres réels.
a) déterminer f' en fonction de a,b et k
b)en utilisant la question précédente et les propriétés de la courbe C , calculer a, b et k.
pour a) j'ai trouvé (e exposant kx)(a+ax+b)....
Pouvez-vous m'aider?
Message de niros10 posté le 14-04-2009 à 20:42:50 (S | E | F)
Bonjour,
Il y a deux exercices que je n'arrive pas à terminer, pouvez-vous m'aider?
EX1:
Le coût marginal d'un produit est donnée par: Cm(x)= (e exposant -x+2)(x+1)+2
1a) étudier le sens de variation du coût marginal. calculer le minimum.
b) étudier la lim de Cm en +inf
Que peut-on déduire pour le coût marginal pour de grandes quantités?
2a) Les coûts fixes sont de 10 euros
Justifier que le coût total est donné par CT(x)=2x+x(e exposant -x+2)+10
b) Exprimer le coût moyen C(x)= C(x)/x en fonction de x
c) Démontrer que le coût moyen est toujours décroissant.
Voici mes quelques réponses:
1a) décroissant sur ]-inf;2] et croissant sur ]2;+inf[
pour le minimum j'ai trouvé -e+2
b) lim de Cm(x) en +inf= 0
Je n'ai pas trouvé la déduction...
Le reste je n'est pas compris
EX2:
Soit f(x)=(ax+b)(e exposant kx), où a, b et k sont des nombres réels.
a) déterminer f' en fonction de a,b et k
b)en utilisant la question précédente et les propriétés de la courbe C , calculer a, b et k.
pour a) j'ai trouvé (e exposant kx)(a+ax+b)....
Pouvez-vous m'aider?
Réponse: Exponentielle de fr, postée le 17-04-2009 à 12:07:20 (S | E)
Bonjour,
La fonction Cm(x) est-elle bien (x+1)e(-x+2)+2 ?
Si oui, la calcul du sens de variation est faux, merci de détailler vos calculs : attention en particulier : la dérivée de ekx vaut k.ekx
Remarque aussi valable pour le second exercice ...
Réponse: Exponentielle de niros10, postée le 17-04-2009 à 21:03:53 (S | E)
Oui c'est la bonne fonction.
EX1:
dérivée: Cm'(x)= (-exp-x+2)(1-x)+(expx+2)*-1
= (-exp-x+2)+x(exp-x+2)-(exp-x+2)
= (exp-x+2)(-2+x)
Pour les variations j'ai fait:
(exp-x+2)>0 onc le signe de Cm' est le signe de (-2+x) et x>2
EX2:
Dérivée:
on pose: u=(ax+b)
v= exp(kx)
f'=u'v+uv' où u'=1
v'=exp(kx)
d'où: f'(x)=exp(kx)+(ax+b)(exp(kx))
=exp(kx)(1+ax+b)
Réponse: Exponentielle de niros10, postée le 20-04-2009 à 21:42:56 (S | E)
Pouvez-vous m'aider?
Réponse: Exponentielle de ajl, postée le 20-04-2009 à 22:11:08 (S | E)
Bonsoir,
Cm(x)=(x+1)exp(2-x)+2
Ensemble de définition R
C'm(x)=exp(2-x)-(x+1)exp(2-x)=-xexp(2-x)
La courbe Cm passe par un minimum pour x=0 (C'm(0)=0)
Le cout marginal minimum vaut Cm(0)=2+exp(-2)
b)lim Cm=2 au voisinage de + infini car (x+1)exp(2-x) tend vers 0 au voisinage de + infini.
On conclut que le cout marginal tend vers 2.
Voilà pour commencer.
Réponse: Exponentielle de ajl, postée le 20-04-2009 à 22:18:19 (S | E)
Le cout est une primitive du cout marginal.
Il faut trouver une primitive de Cm(x). Deux façons de faire
- ou bien on intègre dans un premier temps par parties (x+1)exp(2-x)et on ajoute une primitive de 2
- ou bien on cherche une primitive sous la forme (ax+b)exp(2-x). On dérive et on identifie à Cm(x)
Réponse: Exponentielle de ajl, postée le 20-04-2009 à 22:22:03 (S | E)
Re re bonsoir,
Pour exprimer que le cout moyen est décroissant il faut trouver sa dérivée.
CT(x)/x=2+ exp(2-x) +10/x et (CT)'(x)=-exp(2-x)-10/x²
On constate évidemment que CT' est négative.
Réponse: Exponentielle de ajl, postée le 20-04-2009 à 22:25:51 (S | E)
EX2:
Soit f(x)=(ax+b)(e exposant kx), où a, b et k sont des nombres réels.
a) déterminer f' en fonction de a,b et k
b)en utilisant la question précédente et les propriétés de la courbe C , calculer a, b et k.
f'(x)=(kax +a+kb)exp(kx)
c'est ce que j'ai fait ci-dessus quand j'ai calculé une primitive de Cm.
Merci de proposer maintenant ta solution.
Réponse: Exponentielle de niros10, postée le 20-04-2009 à 22:48:36 (S | E)
Merci beaucoup pour vos réponses!
Ex1
Je ne trouve pas la même réponse pour la dérivée car je me suis trompé en tapant l'énoncé Cm(x)=(-x+1)exp(2-x)+2
Je ne comprend pas la notion de primitive, je ne l'ai pas encore vu en cours, est-on obligé de l'utiliser? (je suis en terminale Es)
Comment avez-vous fait pour exprimer le coût moyen C(x)= C(x)/x en fonction de x?
Réponse: Exponentielle de ajl, postée le 20-04-2009 à 23:02:43 (S | E)
Re bonsoir,
En effet avec Cm(x)=(1-x)exp(2-x)+2, la dérivée C'm est bien celle que tu as calculée. soit :
C'm(x)=(x-2)exp(2-x)
Elle passe par un minimum quand x=2
Ce minimum vaut Cm(2) qu'il faut calculer. Cm(2)=1
Réponse: Exponentielle de ajl, postée le 20-04-2009 à 23:14:11 (S | E)
Pour justifier que le cout total est donné par :
CT(x)= 2x +xexp(2-x)+10 Il faut et il suffit de calculer la dérivée de cette fonction.
Soit C'T(x)=2+exp(2-x)-xexp(2-x)=(-x+1)exp(2-x)+2 on reconnaît ici Cm(x). Ceci est suffisant pour justifier que CT est le cout total. On n'a pas besoin de "passer par les primitives" comme je l'ai fait initialement.
Le cout moyen est donné dans l'énoncé : c'est CT(x)/x. On divise CT(x) par x et on trouve : CT(x)/x= 2 + exp(2-x) +10/x.
Réponse: Exponentielle de niros10, postée le 21-04-2009 à 19:17:18 (S | E)
Merci beaucoup!
Puis-je vous poser encore une question?
Pour l'ex2, je ne trouve pas comme vous, je ne comprend pas pourquoi...
Soit f(x)=(ax+b)(e exposant kx), où a, b et k sont des nombres réels.
Dérivée:
on pose: u=(ax+b)
v= exp(kx)
f'=u'v+uv' où u'=a
v'=exp(kx)
d'où: f'(x)=a*exp(kx)+(ax+b)(exp(kx))
=exp(kx)(a+ax+b)
Réponse: Exponentielle de fr, postée le 21-04-2009 à 20:23:51 (S | E)
Bonsoir,
Comme déjà dit, la dérivée de exp(kx) vaut k*exp(kx) et non exp(kx), d'où la différence ...
Réponse: Exponentielle de niros10, postée le 22-04-2009 à 18:53:54 (S | E)
Ah d'accord merci!
Pour calculer a, b et k, doit-on utiliser une inéquation?
Réponse: Exponentielle de iza51, postée le 23-04-2009 à 08:41:09 (S | E)
Bonjour,
pour déterminer a, b et k, il faut utiliser les formules
on t'a certainement dit: la courbe passe par les points de coordonnées ... et admet une tangente en ....
Réponse: Exponentielle de niros10, postée le 23-04-2009 à 12:17:14 (S | E)
Merci pour votre réponse!
J'ai une courbe pour laquelle je doit calculer la tangente.
J'ai pris 2 points: (0;10) et (-2;0) et pour l'équation de la tangente j'ai trouvé: y=-5x+10
Je pense que: a=-5, b=10 et k=5/11
Réponse: Exponentielle de iza51, postée le 23-04-2009 à 15:50:42 (S | E)
il est impossible de te répondre!
Les points que tu donnes sont-ils des points de la courbe? ou deux points d'une certaine tangente (mais laquelle?)
tu dis que tu dois calculer la tangente de la courbe: ????????????????
rappel: Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la courbe de f admet une infinité de tangentes ; pour tout a de I, la courbe admet une tangente au point A(a; f(a)) de coefficient directeur f '(a)
note: la droite passant par les points de coordonnées (0; 10) et (-2; 0) a pour équation y= +5x+10
-------------------
Modifié par iza51 le 23-04-2009 17:33
Réponse: Exponentielle de niros10, postée le 23-04-2009 à 19:13:09 (S | E)
La courbe C est celle d'une fonction définie sur [-2;3] et dérivable.
Les deux points qu j'ai pris sont des points de la courbe.
Je dois calculer l'équation de la tangente au point d'abscisse 0.
Réponse: Exponentielle de iza51, postée le 23-04-2009 à 19:24:00 (S | E)
f(0)=10 et f(-2)=0 car les points sont sur la courbe
à l'aide de ces égalités, tu peux écrire deux équations et trouver a et b
pour trouver k, il faudrait une troisième information!
trouve d'abord a et b
Réponse: Exponentielle de niros10, postée le 23-04-2009 à 19:36:37 (S | E)
Je ne comprend quel est le rapport entre les 2 points et a et b...
Réponse: Exponentielle de iza51, postée le 23-04-2009 à 20:07:28 (S | E)
un point de coordonnées (x; y) appartient à la courbe de f lorsque y=f(x)
d'où les égalités que j'ai donné
f(0)=10 d'une part
et d'autre part, fx)=(ax+b)exp(kx) donc f(0)= (b) exp(0)
on en déduit: ...
Réponse: Exponentielle de niros10, postée le 23-04-2009 à 20:47:02 (S | E)
Alors b=0.....?
Réponse: Exponentielle de iza51, postée le 23-04-2009 à 21:16:03 (S | E)
combien vaut exp(0)?
Réponse: Exponentielle de niros10, postée le 23-04-2009 à 21:36:35 (S | E)
b=1...Réponse: Exponentielle de iza51, postée le 23-04-2009 à 21:46:41 (S | E)
f(0)= (b) exp(0) et f(0)=10
Réponse: Exponentielle de niros10, postée le 23-04-2009 à 22:22:56 (S | E)
b=10......?
Réponse: Exponentielle de iza51, postée le 23-04-2009 à 22:25:30 (S | E)
oui b=10
et a?
utilise l'autre égalité f(-2)=0
Réponse: Exponentielle de niros10, postée le 23-04-2009 à 22:55:23 (S | E)
f(-2)=-2aexp(-2k)= 0 mais k aussi est inconnu... Je penseque l'on doit trouver 5 car b=10 e l'équation de la tangente est y=5x+10
Réponse: Exponentielle de iza51, postée le 24-04-2009 à 06:08:56 (S | E)
Bonjour,
tu dis f(-2)=-2aexp(-2k)= 0
Non, f(x)=(ax+b)exp(kx)= (ax+10)exp(kx)
donc f(-2)= (-2a+10) exp(-2k)=0
On remplace b par 10 et x par -2: pourquoi inventer et se créer des difficultés en écrivant des trucs faux ? Ensuite, que sait-on sur un produit égal à 0? et que sait-on sur exp(X)? que peut-on en déduire? tu dis: l'équation de la tangente est y=5x+10
Ah? alors , les points A(0,10) et B(-2;0) appartiennent à la courbe mais aussi à la tangente à la courbe en A? possible, mais j'attends une confirmation! pour la valeur de k, il faut utiliser une troisième information que tu n'as toujours pas donné
on t'a certainement donné deux points A et B sur la courbe et une tangente en un point, mettons A, tangente dont il faut lire ou calculer le coefficient directeur (cette tangente ne passe sans doute pas par B)
Réponse: Exponentielle de fr, postée le 24-04-2009 à 09:50:14 (S | E)
Bonjour,
En effet, il manque une donnée pour trouver k.
La courbe C admet-elle un minimum ou un maximum (même local) en un point x
Dans ce cas on peut en déduire facilement k ...
car alors on a : f'(x
Réponse: Exponentielle de niros10, postée le 24-04-2009 à 12:14:52 (S | E)
f(-2)=(-2a+10)exp(-2k)=0
Si un produit est égal à 0 alors un des facteurs est égal à 0. Et exp(x)>0. Donc a=5
Il n'y a que le point A qui appartient à la courbe et à la tangente au point d'abscisse 0.
Et l'équation de la tangente au point d'abscisse 0 est: y=-5x+10, le coefficient directeur est -5.
J'ai la courbe C qui est représentée, je vous donne les variations:
sur[-2;-1]=croissant
]-1;3]=décroissant
maximum=13
lim de f(x) en -2 = 0 et lim de f(x) en 3 = 0
J'ai également 4 courbes et je devais trouvé la bonne courbe qui représente la fonction f'(x) et je l'ai treouvé...
Ce sont les informations qui manquaient, comme je n'avais pas de difficultés à y répondre, je ne les ai pas mises sur le forum.
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