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Trigonométrie-défi
Message de jonew10 posté le 30-04-2009 à 17:47:19 (S | E | F)
Bonjour à tous,
Je vous mets tous au défi de résoudre cette exercice.Je vous propose ci-contre un problème de trigonométrie assez difficile.En fait, ce n'est pas pour moi mais pour voir votre niveau dans cette partie.
Voici l'énoncé:
Si a, b, c sont les 3 angles d'un triangle et si a = b-x et c = b+x (x appartient à R), alors tg A/2 . tg C/2 = 1/3
je vous souhaite bon courage et j'espère avoir au moins des tentatives ou encore mieux la réponse correcte.
cordialement.
Message de jonew10 posté le 30-04-2009 à 17:47:19 (S | E | F)
Bonjour à tous,
Je vous mets tous au défi de résoudre cette exercice.Je vous propose ci-contre un problème de trigonométrie assez difficile.En fait, ce n'est pas pour moi mais pour voir votre niveau dans cette partie.
Voici l'énoncé:
Si a, b, c sont les 3 angles d'un triangle et si a = b-x et c = b+x (x appartient à R), alors tg A/2 . tg C/2 = 1/3
je vous souhaite bon courage et j'espère avoir au moins des tentatives ou encore mieux la réponse correcte.
cordialement.
Réponse: Trigonométrie-défi de jonew10, postée le 30-04-2009 à 20:12:43 (S | E)
personne
Réponse: Trigonométrie-défi de taconnet, postée le 01-05-2009 à 12:54:28 (S | E)
Bonjour.
Il est toujours intéressant de soumettre des défis à la sagacité des personnes qui aiment les mathématiques. Encore faut-il que les énoncés de ces problémes soient cohérents !!
Ce n'est pas le cas ici.
a, b ,c ne sont pas les valeurs des angles du triangle, mais les mesures des côtés.
Voici l'énoncé revu et corrigé pour ceux qui voudraient chercher.
On appelle (T) un triangle dont les mesures des côtés sont en progression arithmétique de raison x.
On désignera la mesure du côté moyen [AC] par b.
1- Pour quelles valeurs de x, le triangle est-il constructible ?
2- Dans le cas particulier où l'angle A est droit, montrez que :
3- Plus généralement montrer que l'on a :
Réponse: Trigonométrie-défi de jonew10, postée le 01-05-2009 à 17:09:53 (S | E)
Bonjour,
en effet, j'ai fait une faute d'inattention.Voici l'énoncé corrigée:
Si a, b, c sont les 3 côtés d'un triangle et si a = b-x et c = b+x (x appartient à R), alors tg A/2 . tg C/2 = 1/3
encore désolé
taconnet pour ton intervention judicieuse
Réponse: Trigonométrie-défi de delphine1378, postée le 01-05-2009 à 20:01:52 (S | E)
il faut encore préciser que la trigonométrie ne s'applique que dans un triangle rectanngle! or dans la consigne, cela n'est pas précisé! -__-
Réponse: Trigonométrie-défi de jonew10, postée le 02-05-2009 à 11:53:59 (S | E)
Bonjour,
Et oui delphine 1378 il faut y penser. Je ne l'ai pas écrit pour un peu compexifier les choses. En math, on ne donne pas toujours directement toutes les informations nécessaires pour résoudre le problème.
j'attend toujours des réponses ou des tentatives de résolution à mon exercice.
bonne journée à tous et bonne chance.
Réponse: Trigonométrie-défi de taconnet, postée le 03-05-2009 à 08:55:48 (S | E)
Bonjour.
Ce qu'il faut savoir pour résoudre ce problème.
Expression de l'aire S d'un triangle:
1- En fonction du rayon r du cercle inscrit et de la mesure des côtés.
Si on désigne par r le rayon du cerle inscrit et p le demi-périmètre du triangle, alors on a :
2- En fonction de la mesure des côtés.
Si p est le demi-périmètre du triangle alors
Dans cette formule a ; b ; c sont les mesures des côtés.
Démonstration
On a :
On multiplie le numérateur et le dénominateur de l'expression rationnelle qui figure au second membre par p²(p-b). On obtient donc :
Or dans ce triangle les mesures des côtés sont en progression arithmétique, la mesure b du côté [AC] étant le terme moyen.
Donc
Et finalement :
Réponse: Trigonométrie-défi de jonew10, postée le 03-05-2009 à 14:41:59 (S | E)
Bonjour,
ta réponse est exacte taconnet!
Réponse: Trigonométrie-défi de taconnet, postée le 03-05-2009 à 14:56:54 (S | E)
Bonjour.
Ce n'est pas la réponse que j'attendais de votre part, mais plutôt l'exposé votre propre solution.
Seriez-vous capable de trouver le résultat en utilisant d'autres formules que celles que j'ai employées ?
Réponse: Trigonométrie-défi de jonew10, postée le 03-05-2009 à 15:28:19 (S | E)
Oui, j'ai fait autrement que toi(je peux te tutoyer?). Voici mon raisonnement:
Règle des sinus: a/sinA = b/sinB = c/sinC
-> b-x/sinA = b/sinB = b+x/sinC
= b-x+b+x/sinA+sinC = 2b/sinA+sinC
-> b/sinB = 2b/sinA+sinC -> 2sinB = sinA + sinC
-> 2sin(pi - (A+C)) = sinA + sinC
-> sin (A+C) = sin A+C/2 cos A-C/2
-> 2 sin A+C/2 cos A+C/2 - sin A+C/2 cos A-C/2 = 0
-> sin A+C/2 (2 cos A+C/2 - cos A-C/2) = 0
-> 2 cos A+C/2 = cos A-C/2
-> 2(cos A/2 cos C/2 - sin A/2 sin C/2) = cos A/2 cos C/2 + sin A/2 sin C/2
-> 2(1 - tg A/2 tg C/2) = 1 + tg A/2 tg C/2
-> 2 - 2 tg A/2 tg C/2 = 1 + tg A/2 tg C/2
-> tg A/2 tg C/2 = 1/3
cqfd.
Réponse: Trigonométrie-défi de taconnet, postée le 03-05-2009 à 16:32:39 (S | E)
Bonjour.
Ces calculs me laissent réveur !
-> sin (A+C) = sin A+C/2 cos A-C/2
-> 2 sin A+C/2 cos A+C/2 - sin A+C/2 cos A-C/2 = 0
-> sin A+C/2 (2 cos A+C/2 - cos A-C/2) = 0
-> 2 cos A+C/2 = cos A-C/2
Qu'avez-vous voulu écrire ?
Voici une démonstration plus cohérente :
On a bien :
sinA + sinC = 2sin(A + C)
sinA + sinC = 2(sinA*cosC + sinC*cosA)
sinA(1 - 2cosC) = sinC(2cosA - 1)
d'où
En utilisant les formules :
et en les substituant dans l'égalité précédente on trouve le résultat en deux lignes de calcul.
Réponse: Trigonométrie-défi de taconnet, postée le 03-05-2009 à 20:34:24 (S | E)
Bonjour.
Je vous propose une autre solution.
Les notations sont les mêmes. Le côté [AC] a pour mesure b.
On a
a² = b²+ c² - 2bc*CosA
c² = a + b² - 2ab*CosC
ainsi
ainsi
