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Message de fr posté le 21-08-2009 à 19:24:34 (S | E | F)
Bonjour,
Pour ceux qui aiment les probabilités, voici un petit défi :
Soit un dé à F faces, combien de lancers devrais-je effectuer, en moyenne, pour que les F faces sortent. (F>=2)
Pour mieux comprendre le problème :
avec F=2, (c'est du Pile ou Face ...) combien de lancers devrais-je effectuer, en moyenne, pour avoir Pile et Face
Supposons que le premier lancer soit Pile (respectivement Face), combien de lancers devrais-je effectuer -en moyenne-, en comptant aussi le premier, pour que Face (resp. Pile) sorte aussi ?
Un conseil : allez-y par étape, postez les étapes, je vous donnerai mon sentiment (il y a plusieurs façons de résoudre le problème ...)
Bons calculs ...
Réponse: Défi en probabilité de plumemeteore, postée le 23-08-2009 à 12:59:43 (S | E)
Bonjour.
On obtient la première face au premier coup.
Supposons qu'on ait obtenu n faces différentes. La prochaine face à obtenir est parmi les F-n restantes. La probabilité qu'elle ne sorte pas après F/(F-n) coups est 1/e. Pour que la probabilité soit 1/2, il faut F*ln(2)/(F-n) essais.
En définitive, la somme est 1 + [F*ln(2) fois la somme des inverses des nombres de 1 à F-1].
La somme des inverses est ln(F-1)+0,577 (constante d'Euler).
= 1 + F*ln(2)*ln(F-1) + F*ln(2)+0,577
Réponse: Défi en probabilité de fr, postée le 23-08-2009 à 13:06:08 (S | E)
Bonjour plumemeteore,
Vous allez un peu vite et le résultat n'est pas bon :
Une des méthodes possibles est la suivante :
La première étape consiste à déterminer les équations des probabilités des évènements intermédiaires :
La probabilité d'avoir exactement r faces différentes lors du nième lancer est :
En effet, si l'on a déjà obtenu r faces au coup n-1, on a r/F chances d'obtenir un chiffre déjà obtenu, et si on avait r-1 faces au coup n-1, on a (F-(r-1)) / F chances d'obtenir un nouveau chiffre ...
PS : les formules pour r=1 et r=F sont un cas particulier de la formule centrale sachant que :
- pour r=1, on supprime le premier terme (car la probabilité d'avoir 0 face est nulle) et on a comme vous disiez une probabilité de 1 d'avoir 1 face au premier coup, on a alors une suite géométrique de raison 1/F et de premier terme 1
- pour r=F, on supprime le second terme, car lorsqu'on a atteint F faces, on s'arrête de lancer les dés...
Je vous laisse faire la suite, ...
... ou proposer une autre méthode (en détail, merci 
).
Réponse: Défi en probabilité de fr, postée le 29-08-2009 à 10:36:45 (S | E)
Bonjour,
Pour ceux que cet exercice intéressent, voici les prochaines étapes :
- calculer la probabilité pour r=2,3, ..., puis généraliser pour tout r, calculer pour r=F-1, puis r=F
- calculer ensuite et sommer de n=m à
- exprimer cette série sous forme plus "compacte" ...
Remarque pour Plumemeteore : ln(F-1)+constante d'Euler est une approximation de la somme des inverses de 1 à F-1, valable pour F grand ... or là, nous cherchons la valeur exacte et pas forcément pour F grand : pour F=6 par exemple (un dé classique), on obtient 14,7 (sans approximation)
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