Dm sur la droite d'euler

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Dm sur la droite d'euler
Message de milkshake posté le 19-09-2009 à 16:18:13 (S | E | F)
Bonjour alors j'ai un DM à rendre mercredi. J'ai un peu avancé mais je bloque pas mal. Je vous met même les réponse que j'ai mis au cas ou...
ATTENTION: LES POINTS SANS [] ou sans () sont des vecteurs!
Exercice 1:
Partie VECTORIELLE
Soit ABC un triangle quelconque, soit O le centre de son cercle circonscrit et soit G son centre de gravité. Les points A', B' et C' désignent les milieux resppectifs des côtés [BC],[CA] et [AB].
On considère un point H défini par OH=OA+OB+OC <--- vecteurs
1/ a/Justifier que OB+OC=2OA <-- vecteur
Ma réponse: OB+OC =OA'+A'B+OA'+A'C
=2OA'+A'B+A'C
=2OA' car les vecteur A'B et A'C s'annule car ils sont nul
b/ En déduire que AH=2OA'<--- vecteur
Ma réponse: OH=OA+OB+OC
=2OA'+OA
OA+OH= 2OA'
AH= 2OA'

2/Démontrer que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires:
Ma réponse: Comme laa hauteur [AH] est parallèle à (OA') et que [BC]est perpendiculaire à [OA'] alors une droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre vu que les deux droites sont parallèles alors les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaire.

3/Par un résonnement analogue, démontrer que la droite (BH) et perpendiculaire à la droite (AC)
Aucune réponse
4/ Que représente le point H pour le triangle ABC:
Ma réponse: Le point H représente l'orthocentre car c'est le point par lequel les hauteurs se coupent: H est le point concourant des hauteurs.
5/ Démontrer que 3OG =OA+2OA'. EN déduire que 3OG = OH
Aucune réponse
6/ Que peut-on déduire sur les points O,G et H lorsque le triangle ABC n'est pas équilatéral?
Ma réponse: SI il n'est pas équilatéral, les point O,H et G sont alignés sur une droite appelée droite d'Euler .
7/Que se passe -t-il lorsque le triangle ABC est équilatéral?
Ma réponse: Les points O,H et G ne seront pas alignés et il n'y aura donc pas de droite d'Euler

Exercie 2: Méthode ANALYTIQUE
Soit (O,i,j) un repère orthonormal du plan. Soit trois points A(0,4), B(-3,-1) et C(4;-1)
Partie A:
1/ Déterminer les coordonnées des points A',B' et C', milieux respectifs des segments des côtés [BC][CA][AB]
Ma réponse: A' (0.5;-0.5) B'(2;1.5) C'(-1.5;1.5)
Je l'ai trouvé en faisant la figure , hors elle ne le demande pas de la faire. N'y a-t-il pas un autre moyen de trouver sans résultat sans faire la figure?
2/ Déterminer une équation des droites (AA') et (BB')
Aucune réponse
Bon cela fait déjà pas mal de choses à vérifier et à m'aider donc je vous remercie fortement d'avance!
Merci bien

Réponse: Dm sur la droite d'euler de milkshake, postée le 19-09-2009 à 17:36:18 (S | E)
Est-ce que quelqu'un peux m'éclaircir svp?

Réponse: Dm sur la droite d'euler de taconnet, postée le 19-09-2009 à 18:15:18 (S | E)
Bonjour.
Vous avez écrit :

a/Justifier que OB+OC=2OA <-- vecteur

Il fallait écrire :

$\vec{OB} + \vec{OC} = 2.\vec{OA'}$

A' étant le milieu de [BC]

Cette relation classique est démontrée en cours.

On sait que :

$\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}\\ donc\\ \vec{OA} + \vec{AH} = \vec{OA} + 2.\vec{OA'}\\ donc \\ \vec{AH} = 2.\vec{OA'}$

Vous avez écrit :

2/Démontrer que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires:
Ma réponse: Comme laa hauteur [AH] est parallèle à (OA') et que [BC]est perpendiculaire à [OA'] alors une droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre vu que les deux droites sont parallèles alors les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaire.

C'est faux !!

Vous ne savez pas que (AH) est une hauteur, sinon il n'y aurait plus de problème !

En revanche vous avez démontré la relation vectorielle suivante :

$\vec{AH} = 2.\vec{OA'}$

Ce qui signifie que les vecteurs $\vec{AH} \; et\;\vec{OA'}$
sont colinéaires

Puisque le triangle BOC est isocèle et que A' est le milieu de [BC] alors [OA'] est perpendiculaire à [BC] .Il s'ensuit que [AH] est perpendiculaire à [BC]. [AH] est donc la hauteur du triangle ABC issue de A et relative au côté [BC].

/Par un (résonnement de tambour) raisonnement analogue, démontrez que la droite (BH) est perpendiculaire à la droite (AC)

Il suffit de remplacer A par B dans les relations vectorielles précédentes.

On démontre alors que H est l'orthocentre du triangle ABC.

Puisque G est le centre de gravité de ABC, on a la relation vectorielle :

$\vec{GA}+\vec{GB} +\vec{GC}= \vec{0}$

En transformant cette relation vous trouverez le résultat final.

Dans le cas du triangle équilatéral le centre du cercle circonscrit, l'orthocentre et le centre de gravité sont confondus, donc la droite d'Euler n'existe pas.

Réponse: Dm sur la droite d'euler de milkshake, postée le 20-09-2009 à 10:48:38 (S | E)
WOOOW je te remercie grandement pour tes réponses !!!
Tu m'as beaucoup éclairer je te remercie. Pour le reste des réponses si quelqu'un d'autre pouvez voir..
Merci

Réponse: Dm sur la droite d'euler de milkshake, postée le 20-09-2009 à 12:07:29 (S | E)
Au début tu met que : OA+OH=OA+2OA'
donc AH=2OA'
---->mais ou est passé le OA qui resté?

Ensuite vous mettez "Il s'ensuit que [AH] est perpendiculaire à [BC]"
---> mais ne faudrai-t-il pas ajouté que [AH] est parallèle a (OA') donc lui aussi perpendiculaire a (BC) ?

/Par un (résonnement de tambour) raisonnement analogue, démontrer que la droite (BH) et perpendiculaire à la droite (AC)

Il suffit de remplacer A par B dans les relations vectorielles précédentes.
----> Mais quel sont-elles, quel sont les relations vectorielles précédentes d'on vous parlez?

Puisque G est le centre de gravité de ABC, on a la relation vectorielle :
GA+GB+GC=0
---> Je ne vois pas de quel question vous parlez et si c'est de la 5/ je ne comprend pas ou vous voulez en venir..

PS: Merci d'indiquer quand vous répondez/corrigez le numéro de la question à laquel vous vous referer.. Et enfin.. MERCI BEAUCOUPPP DE TON AIDE

Réponse: Dm sur la droite d'euler de taconnet, postée le 20-09-2009 à 13:08:41 (S | E)
Bonjour.

Au début tu met que : OA+OH=OA+2OA'
donc AH=2OA'
---->mais ou est passé le OA qui resté?

$\vec{OA} + \vec{AH} = \vec{OH}\; relation\; de \;Chasles\\ ainsi \\\vec{OA} +\;\vec{AH} = \vec{OA} + 2\vec{OA'}\\ on\; peut\; donc\; supprimer\; \vec{OA} \;dans\; chacun\; des\; deux\; membres.$

Ensuite vous mettez "Il s'ensuit que [AH] est perpendiculaire à [BC]"
---> mais ne faudrai-t-il pas ajouté que [AH] est parallèle a (OA') donc lui aussi perpendiculaire a (BC) ?

la relation :

$\vec{AH} = 2\vec{OA'}\; montre\; que \; les\; vecteurs\; \vec{AH} \; et\;\vec{OA'}\; sont\; colin\acute{e}aires.$
Cela prouve que les droites (AH) et (OA') sont parallèles.

Il suffit de remplacer A par B dans les relations vectorielles précédentes.
----> Mais quel sont-elles, quel sont les relations vectorielles précédentes d'on vous parlez?

On a la relation vectorielle :
$\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} +\vec{OC}$

B' est le milieu de [AC]
On a donc la relation vectorielle :
$\vec{OA} + \vec{OC} = 2 \vec{OB'}$

il s'ensuit que :
$\vec{OH} = \vec{OB} + 2\vec{OB'}$
D'après la relation de Chasles on peut écrire :
$\vec{OB} +\vec{BH} = \vec{OB} + 2\vec{OB'}$
soit en retranchant $\vec{OB}$ dans les deux membres
$\vec{BH} = 2\vec{OB'}$

Donc $\vec{BH} \;et\;\vec{OB'}$ sont colinéaires.

Voici un lien intéressant.
Lien Internet

Sur l'avant-dernière figure, vous pouvez, en cliquant sur un sommet faire varier la position des points O , H et G.

Ainsi qu'un autre lien tout aussi instructif:
Lien Internet

Réponse: Dm sur la droite d'euler de milkshake, postée le 21-09-2009 à 18:54:09 (S | E)
Bonjour je bloque ici :
2/ Déterminer une équation de la droite (AA')
pour A : y=ax+b
4=0a+b
pour A': -1=0.5a+b
Donc on a résou une équation a 2 inconnu: -1=0.5a+b
4=0a+b
C'est la que je bloque. Vu que 0a sera toujours zero donc....
Merci de m'eclairer..

Réponse: Dm sur la droite d'euler de taconnet, postée le 21-09-2009 à 19:22:09 (S | E)
Bonjour.

Voici un lien :
Lien Internet

On vous donne :

A(0;4) et A'(0,5; -1)(les points B et C ont la même ordonnées -1 donc l'ordonnée du milieu de [BC] est aussi -1.

L'équation de la droite (AA') est de la forme y = ax + b

Il faut donc déterminer a et b en écrivant que les coordonnées de A et A' vérifient cette équation

1- la droite passe par A

4 = 0a + b <══> b = 4

2- la droite passe par A'

-1 = 0,5a + b <══> -1 = 0,5a + 4 <══> a = - 10

L'équation de la droite (AA') est :

y = -10x + 4

Procédez de la même manière pour déterminer l'équation de (BB')

Réponse: Dm sur la droite d'euler de milkshake, postée le 21-09-2009 à 19:31:37 (S | E)
Merci ce forum est super.. En avancant un peu plus (eh oui ce DM est super long) j'ai vu que 2 DERNIERE choses me gener. Je precise dernière parce que je vous est déja assez embêter comme ca
Voici ces 2 choses:
2/Soit Δ1 (Delta 1) la hauteur du triangle ABC issue de A. Determiner une équation de la droite Δ1 ---> Pas trouver la réponse.
3/Soit E(52/41;99/41). Montrer que le point E appartient à la droite (AC) puis que le triangle AEB est rectangle en E.

Réponse: Dm sur la droite d'euler de dxsuckit, postée le 21-09-2009 à 20:54:11 (S | E)
Bonsoir , moi aussi je suis embêter à la question :
soit E (52/41 ; 99/41) , montrer que le point E appartient a la droite (AC) puis que le triangle AEB Est rectangle en E .

Cela serait gentil de votre part de me répondre ;-) merci d'avance .

Réponse: Dm sur la droite d'euler de milkshake, postée le 21-09-2009 à 21:28:54 (S | E)
Lol Alex ! Qu'est-ce que tu squats mon post?
Nan je rigole... SI quelqu'un pourrai nous aider à nous débloquer ca serait cool
Thanks bro

Réponse: Dm sur la droite d'euler de dxsuckit, postée le 21-09-2009 à 22:03:01 (S | E)
LOL moi c Axel mais tkt g trouver la sol en fait tu va calculer lequation de la droite
et après tu va remplacer X par 52/41 et la tu a normalement ça donne Y = 99/41 donc ton point E est sur la droite AC ciao a demain Rachid ;)

Réponse: Dm sur la droite d'euler de taconnet, postée le 22-09-2009 à 14:34:45 (S | E)
Bonjour.

Voici des indications :

Il faudra ensuite rédiger la solution.

Les points B et C ont la même ordonnée .
Donc (BC) est parallèle à l'axe des abscisses.
L'équation de la hauteur (AH) est donc x = 0

En utilisant la méthode que j'ai proposée déterminez l' équation de la droite(AC).

Vous trouverez :

(AC) ──> $y = -\frac{5}{4}x + 4$

Il est alors facile de montrer que si x = 52/41 alors y = 99/41

Donc E(52/41 ; 99/41) est sur (AC)

Réponse: Dm sur la droite d'euler de milkshake, postée le 22-09-2009 à 18:41:25 (S | E)
Merci pour ta réponse:
Par contre j'ai un problme avec un exo de l'exercice 2: La question est mise dans mon premier post: la voici:
2/ Déterminer une équation des droites (AA') et (BB')
J'ai fais AA' mais BB' j'arrive pas...

Réponse: Dm sur la droite d'euler de milkshake, postée le 22-09-2009 à 22:45:49 (S | E)
Finalement pour le BB' j'ai trouvé.. Une petit erreur bidon ! ^^
Alors.. il me reste donc à voir :
3/Soit E(52/41;99/41). Montrer que le point E appartient à la droite (AC) puis que le triangle AEB est rectangle en E.
. J'ai tout de suite pensé a Pythagore mais pour cela il faut des longueur.. Or j'en est pas.. Dumoins, je ne pense pas..
et Montrer que les droites (AA') et (BB') sont sécantes puis déterminer les coordonnées de leur point d'intersection G.

Si vous pouvais m'aider sur ces 2 points...

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