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Entiers+Carrés+Puissances+racine2
Message de mysterieux21 posté le 24-09-2009 à 19:01:15 (S | E | F)
Exercice 1 :
Soit n un entier naturel et N le nombre défini par :
N = n(n+1)(n+2)(n+3) + 1
1. Calculer N pour n=1 et vérifier qu'alors N est un carré parfait, c'est-à-dire que N est le carré d'un nombre entier.
2. L'entier n étant de nouveau quelqueconque, on pose x = n(n+3)
(a) Vérifier que (n+1)(n+2) =n(n+3)+2
(b) Utiliser la réponse à la question précédente pour exprimer N en fonction de x seulement.
(c) Déduire de la réponse précédente que, quel que soit n, N est un carré parfait.
3. Application numérique : de quel nombre la somme 10x11x12x13+1 est-elle le carré ?
Exercice 2
1. Montrer que pour tout entier relatif n:8(exposant n+1) + 8(exposant n) = 8(exposant n) x 9
2. En remarquant que 8 = 2³, écrire 8(exposant n+1) + 8 (exosant N), à l'aide de puissance de 2 et de 3 seulement.
Exercice 3
On veut montrer que √2 n'est pas un nombre rationnel. Supposons que √2 soit un nombre rationnel, c'est-à-dire qu'il existe deux entiers naturels non nuls a et b tels que : √2 = a/b, la fraction a/b étant irréductible. On a alors en élevant au carré,
2 = a²/b² soit a² = 2b²
1. Montrer que le carré d'un nombre impair est un nombre impair.
2. Montrer que a² est pair et en déduire, en utilisant la question 1, que a est pair.
3. Le nombre a étant pair, on pose a=2c (c entier non nul). Montrer que b est pair.
4. Conclure.
Mes propres réflexions.
Exercice 1.
1. Je trouve N = 25, donc 5².
2. Je n'arrive pas à trouver le bon résultat, donc la suite est impossible à réaliser pour moi.
3. Je trouve 17161, donc 131² mais faut-il justifier ? car je trouve ce résultat grâce à la calculatrice.
Exercice 2.
1. Faut-il le démontrer à travers des exemples ? Et combien ?
Même à travers n = 2, je trouve : 8³ + 8² = 8² x 9 et le résultat ne marche pas ... Comment faire ?
2. Je ne comprends pas
Exercice 3.
1. Exemple : 7² = 49 ou 5² = 25
Incompréhension pour le reste ....
Besoin d'aide en urgence !!
Merci
Message de mysterieux21 posté le 24-09-2009 à 19:01:15 (S | E | F)
Exercice 1 :
Soit n un entier naturel et N le nombre défini par :
N = n(n+1)(n+2)(n+3) + 1
1. Calculer N pour n=1 et vérifier qu'alors N est un carré parfait, c'est-à-dire que N est le carré d'un nombre entier.
2. L'entier n étant de nouveau quelqueconque, on pose x = n(n+3)
(a) Vérifier que (n+1)(n+2) =n(n+3)+2
(b) Utiliser la réponse à la question précédente pour exprimer N en fonction de x seulement.
(c) Déduire de la réponse précédente que, quel que soit n, N est un carré parfait.
3. Application numérique : de quel nombre la somme 10x11x12x13+1 est-elle le carré ?
Exercice 2
1. Montrer que pour tout entier relatif n:8(exposant n+1) + 8(exposant n) = 8(exposant n) x 9
2. En remarquant que 8 = 2³, écrire 8(exposant n+1) + 8 (exosant N), à l'aide de puissance de 2 et de 3 seulement.
Exercice 3
On veut montrer que √2 n'est pas un nombre rationnel. Supposons que √2 soit un nombre rationnel, c'est-à-dire qu'il existe deux entiers naturels non nuls a et b tels que : √2 = a/b, la fraction a/b étant irréductible. On a alors en élevant au carré,
2 = a²/b² soit a² = 2b²
1. Montrer que le carré d'un nombre impair est un nombre impair.
2. Montrer que a² est pair et en déduire, en utilisant la question 1, que a est pair.
3. Le nombre a étant pair, on pose a=2c (c entier non nul). Montrer que b est pair.
4. Conclure.
Mes propres réflexions.
Exercice 1.
1. Je trouve N = 25, donc 5².
2. Je n'arrive pas à trouver le bon résultat, donc la suite est impossible à réaliser pour moi.
3. Je trouve 17161, donc 131² mais faut-il justifier ? car je trouve ce résultat grâce à la calculatrice.
Exercice 2.
1. Faut-il le démontrer à travers des exemples ? Et combien ?
Même à travers n = 2, je trouve : 8³ + 8² = 8² x 9 et le résultat ne marche pas ... Comment faire ?
2. Je ne comprends pas
Exercice 3.
1. Exemple : 7² = 49 ou 5² = 25
Incompréhension pour le reste ....
Besoin d'aide en urgence !!
Merci
Réponse: Entiers+Carrés+Puissances+racine2 de polololo, postée le 24-09-2009 à 20:12:16 (S | E)
Bonjour,
Exercice 1 :
1. correct
2. pour vérifier que (n+1)(n+2) =n(n+3)+2,tu peux déveloper un coté de cette équation et puis faire une factorisation par exemple (n+1)(n+2)=n² +2n+n+2,débrouille-toi à factoriser pour trouver que n² +2n+n+2 = n(n+3)+2
...
3.Si on ne te demande pas de justifier,il ne faut pas justifier sinon tu aurais des points de moins
Exercice 2.
1.les exemples ne te donneront pas le cas général : remarque que 9= 8+1
alors tu as 9.(8 puissance (n) )= (8+1) .(8 puissance (n) )
rappel:
a(puissance n ) fois a(puissance b ) = a(puissance (n+b) )
2. Ici on te demande de remplacer 8 par 2³ dans 8(exposant n+1) + 8 (exposant N)
rappel :
a puissance (b) le tout puissance (c) = a puissance (b fois c )
Exercice 3.
1.Tu n'as fait que des exemples
rappels:
Un nombre pair est un multiple de 2 ; donc tous les nombres pairs vont avoir une écriture du genre 2*n avec n qui peut prendre toutes les valeurs possibles : 1 , 2 , 3 , 4 ....n
Un nombre impair est un nombre pair auquel on ajoute 1
soit x un nombre impair.
alors il existe un entier naturel k tel que x=2k+1
tu élèves au carré x : x²= (2k+1)²
x²= 4k²+4k+1 = 2 (2k²+2k) +1
et on obtient bien un nombre impair
alors sers-toi de ces petits rappels pour répondre aux questions de cet exercice.
Bon courage
Réponse: Entiers+Carrés+Puissances+racine2 de fr, postée le 27-09-2009 à 09:28:58 (S | E)
Bonjour,
Exercice 1:
2a) comme dit par "polo lo lo", il suffit de développer le premier terme de l'équation à démontrer ... (attention dans la rédaction ne pas partir de l'équation à démontrer, c'est une erreur fréquente (on arrive alors à une équation du style 0 =0, mais cela ne démontre pas forcément la première s'il y a une implication dans le raisonnement ...)
Mais au lieu de factoriser ensuite (c'est facile ici, mais ce n'est pas toujours le cas), on peut aussi développer le second membre.
Exemple de rédaction :
(n+1)(n+2) = n² + n + 2n + 2 = n² + 3n + 2
n(n+3) + 2 = n² +3n +2
donc (n+1)(n+2) = n(n+3)+2
2b) Attention, vous dites que vous n'arrivez pas à poursuivre parce que vous n'avez pas réussi la question 2a), ceci n'est pas vrai : ne restez pas bloquée : comme on vous demande de démontrer une proposition à la question 2a), vous avez le droit de considérer que cette proposition est vraie dans la suite de l'exercice (sinon l'exercice aurait été rédigé autrement ...) ceci est important : il suffit de dire que l'on part de la proposition 2a) sans avoir réussi à la démontrer (on la prend comme hypothèse : il est bien indiqué : utilisez la réponse à la question précédente ...)
Au niveau rédaction, il faut bien indiquer cela, par exemple :
"D'après la question 2a) (qui reste à démontrer), on a (n+1)(n+2) = n(n+3)+2, donc ... " (là on a alors le droit de l'utiliser ...)
Il suffit alors de remplacer n(n+1) par x et n(n+3) par x+2 dans N ...
2c) il faut factoriser l'expression trouvée au 2b ...
3) Là il s'agit d'appliquer le résultat trouvé au 2c :
L'expression 10*11*12*13 +1 est égale à N pour n=..., or d'après la question 2c) N=(...)², donc 10*11*12*13 +1 est le carré de ... = ...
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L'exercice 3 fait déjà l'objet d'un topic : Lien Internet
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