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Nombre entier naturel (démonstration)
Message de bisous_nours73 posté le 27-09-2009 à 07:39:22 (S | E | F)
Bonjour à tous,
Petit souci avec mon DM de Maths ... voici l'énoncé :
2) La lettre x désigne un nombre.
Dire, en justifiant, si les énoncés suivants sont vrais ou faux :
énoncé 1 : si x est un nombre entier naturel, alors x/2 est un nombre entier naturel
énoncé 2 : Si x+1 est un nombre entier naturel alors x est un nombre entier naturel.
énoncé 3 : si x/2 est un entier naturel alors x est un nombre entier naturel.
Mes réponses :
L'énoncé 1 n'est pas correct car 1/2 n'est pas un entier naturel, au même titre que 3/2. Mais comment faut-il le justifier de manière mathématique ?
L'énoncé 2 est correct car si x+1 est un entier naturek, x est forcément un entier naturel, mais encore une fois, comment le prouver ?
L'énoncé 3 est correct car pour que x/2 soit un entier naturel, x est forcément un entier naturel pair. comment le prouver ? puis-je le prouverou cette explication suffit-elle ?
Je vous demande donc s'il vous plait de vérifier si mes réponses sont correctes et si mes justifications suffisent ou s'il me manque une démarche plus mathématique et si oui laquelle ?
Merci de votre aide !
Message de bisous_nours73 posté le 27-09-2009 à 07:39:22 (S | E | F)
Bonjour à tous,
Petit souci avec mon DM de Maths ... voici l'énoncé :
2) La lettre x désigne un nombre.
Dire, en justifiant, si les énoncés suivants sont vrais ou faux :
énoncé 1 : si x est un nombre entier naturel, alors x/2 est un nombre entier naturel
énoncé 2 : Si x+1 est un nombre entier naturel alors x est un nombre entier naturel.
énoncé 3 : si x/2 est un entier naturel alors x est un nombre entier naturel.
Mes réponses :
L'énoncé 1 n'est pas correct car 1/2 n'est pas un entier naturel, au même titre que 3/2. Mais comment faut-il le justifier de manière mathématique ?
L'énoncé 2 est correct car si x+1 est un entier naturek, x est forcément un entier naturel, mais encore une fois, comment le prouver ?
L'énoncé 3 est correct car pour que x/2 soit un entier naturel, x est forcément un entier naturel pair. comment le prouver ? puis-je le prouverou cette explication suffit-elle ?
Je vous demande donc s'il vous plait de vérifier si mes réponses sont correctes et si mes justifications suffisent ou s'il me manque une démarche plus mathématique et si oui laquelle ?
Merci de votre aide !
Réponse: Nombre entier naturel (démonstration) de play, postée le 27-09-2009 à 08:16:25 (S | E)
Bonjour,
Pour l'enoncé 1, tu dois donner un contre-exemple, par exemple pour x=3, 3 étant un entier naturel mais pas 3/2 = 1.5.
Je réfléchis pour les autres.
Réponse: Nombre entier naturel (démonstration) de play, postée le 27-09-2009 à 08:34:13 (S | E)
Pour l'énoncé 2, il faut que x + 1 >= 1 car sinon c'est faut car x = -1 n'est pas entier naturel. Donc si on a cette condition on sait que x+1 et 1 sont des entiers naturels donc quand tu fais (x+1)-(+1) cela donne un entier naturel car quand tu additionne 2 entier naturels cela donne un entier naturel.
De meme pour la demonstration 3, tu sais que x/2 et 2 sont des entiers naturels or le produit de 2 entiers naturels donne un entier naturel donc x est un entier naturel.
Réponse: Nombre entier naturel (démonstration) de fr, postée le 27-09-2009 à 08:34:52 (S | E)
Bonjour,
Pour le 1) et le 2) un contre-exemple suffit : en mathématique, pour prouver qu'une proposition est vraie, il faut montrer qu'elle est toujours vraie mais pour prouver qu'elle est fausse il suffit de donner un contre-exemple ...
pour le 2) il n'y a un qu'un seul contre-exemple : rappelez-vous de la définition d'un entier naturel : nombre entier et positif.
Mais il suffit d'un seul contre-exemple pour que la proposition soit fausse.
PS : pour play : il ne s'agit pas de faire une hypothèse supplémentaire, sinon toutes les propositions pourraient être vraies, puisqu'il suffit de rajouter une hypothèse équivalente à la conclusion ... (attention, dans un problème, il ne faut pas modifier les hypothèses !)
De plus dans votre expression (x+1)-(+1), vous ne faites pas une addition, mais une soustraction et une soustraction de 2 entiers naturels n'est pas forcément un entier naturel !
pour le 3) la rédaction peut être améliorée un peu : si x/2 est un entier naturel, notons p cet entier naturel: x/2 = p <=> x = 2p
or si p est entier positif, 2p est un entier positif (pair de surcroît)
-------------------
Modifié par fr le 27-09-2009 08:37
Réponse: Nombre entier naturel (démonstration) de bisous_nours73, postée le 27-09-2009 à 08:39:33 (S | E)
mais fr êtes-vous en train de me suggérer que l'énoncé 2 n'est pas correct et qu'il existe un contre-exemple ou ai-je mal compris ? Réponse: Nombre entier naturel (démonstration) de fr, postée le 27-09-2009 à 08:40:53 (S | E)
En effet, la proposition 2) est fausse, même s'il n'existe qu'un seul contre-exemple, à vous de le trouver, mais play vous a mis sur la voie
Réponse: Nombre entier naturel (démonstration) de bisous_nours73, postée le 27-09-2009 à 08:46:04 (S | E)
Il va falloir que je me creuse les méninges ...
Réponse: Nombre entier naturel (démonstration) de bisous_nours73, postée le 27-09-2009 à 08:48:32 (S | E)
est-ce que l'énoncé 2 est faux car x=-1 ça donne bien un entier naturel alors que x n'est pas un entier naturel ?
Réponse: Nombre entier naturel (démonstration) de bisous_nours73, postée le 27-09-2009 à 08:53:02 (S | E)
Pour l'énoncé 1, pour argumenter un peu plus, est-ce possible de dire que si x est impair alors l'énoncé n'est pas correct ?
pour votre aide qui m'est très précieuse !Réponse: Nombre entier naturel (démonstration) de fr, postée le 27-09-2009 à 08:54:56 (S | E)
Oui, il faut le rédiger dans l'esprit suivant :
La proposition est fausse, car si on a x+1=0, x+1 est bien un entier naturel, par contre on a alors x=-1, qui n'est pas un entier naturel.
Pour le 1), il n'est pas besoin de donner tous les cas où la proposition est fausse, il suffit d'un seul contre-exemple :
par exemple :
La proposition 1 est fausse car si x=1, x est bien un entier naturel, par contre x/2 = 1/2, qui n'est pas un entier naturel.
Cela suffit, en effet :
- une proposition est vraie signifie : la proposition est vraie pour tous les cas répondant aux hypothèses
- une proposition est fausse, c'est le contraire de "une proposition est vraie", en termes mathématiques, cela signifie : le proposition n'est pas vraie pour tous les cas répondant aux hypothèses, donc autrement formulé : il existe un cas répondant aux hypothèses qui ne satisfait pas la proposition (un seul contre-exemple est une démonstration suffisante)
Tu verras ultérieurement que l'on utilise même le contre-exemple pour démontrer qu'une proposition est vraie, en démontrant que sa proposition inverse est fausse : cela s'appelle le raisonnement par l'absurde :
Le raisonnement par l'absurde est une forme de raisonnement logique, philosophique, scientifique consistant soit à démontrer la vérité d'une proposition en prouvant l'absurdité de la proposition complémentaire (ou « contraire »), soit à montrer la fausseté d'une autre proposition en en déduisant logiquement des conséquences absurdes.
Réponse: Nombre entier naturel (démonstration) de ambissieu, postée le 27-09-2009 à 09:13:31 (S | E)
bonjour Pour la premier proposition vous avez bien et mathematiquent répondu : en donnant un contre exemple (car c'est une proposition fausse.) . et vous l'avez fait .
Pour la troisième proposition: bien fait par vous . résonnement direct . ou si tu veux , tu peux la voir comme etant une proposition fausse et donner un contre exemple comme vous a dit un des amis (fr) 3/2=1.5 ...
Pour la deusième proposition :est une propostion vrai donc par un résonnement direct: si X+1 est entier naturel donc pair ou impair
1er cas X+1=2K d'où X est impair donc entier naturel
2eme cas X+1=2K+1 donc X=2K donc X entier naturel
résumé dans les deux cas qui existe X est un entier naturel
Réponse: Nombre entier naturel (démonstration) de bisous_nours73, postée le 27-09-2009 à 09:19:52 (S | E)
Pour toi, ambissieu l'énoncé 2 est correct ? je ne sais plus quoi penser ... suis mon raisonnement : ils disent que si x+1 est un nombre entier naturel, alors x est un entier naturel.
0 est bien un entier naturel, on est d'accord ? donc si x=-1, ça fait -1+1=0(donc un entier naturel) cependant -1 n'est pas un entier naturel donc l'énoncé 2 n'est pas correct.
Ce raisonnement te parait faux ? Je suis un peu perdue mais play et fr avaient l'air d'accord avec ce raisonnement puisque c'est eux qui me l'ont suggéré ...
de ton aideRéponse: Nombre entier naturel (démonstration) de bisous_nours73, postée le 27-09-2009 à 09:30:49 (S | E)
Fr pour tes explications concernant le raisonnement par l'absurde. J'ai certainement déjà du le voir mais je suis à l'IUFM et avant cela, j'ai fait une licence de Lettres, donc de nombreuses années sans mathématiques ...Réponse: Nombre entier naturel (démonstration) de ambissieu, postée le 27-09-2009 à 09:47:35 (S | E)
Merci beaucoup de me corrigé .
vous povez revenir aux 3 dernieres lignes de ma réponse précédente.
X+1 impair donc X+1=2K ave K entier naturel supérieur strictement à zéro . et on étudie le cas de K=0 seul (c'est le contre exemple de notre amis (fr) )
résumé pour X+1=0 la proposition est fausse et pour le reste des entiers naturel la proposition est vraie. et on reprend le résonnement de ma réponse précédente
Réponse: Nombre entier naturel (démonstration) de bisous_nours73, postée le 27-09-2009 à 09:53:39 (S | E)
ambissieu et merci à tous de votre intérêt pour mon devoir ! Je vous souhaite à tous un bon dimanche ! Au plaisir.<< Forum maths
