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Ex exp besoin d'aide
Message de kev55 posté le 12-10-2009 à 18:57:19
bonjour j'ai cette exercice à faire mais je n'y arrive pas vraiment ..
Exercice 2
Soit f la fonction définie sur R par :
f(x) = x – 1 + (x2 + 2)e(-x).
On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal d’unité graphique 2 cm.
A. Etude d’une fonction auxiliaire.
Soit g la fonction définie sur R par :
g(x) = 1 – (x2 – 2x + 2)e(-x).
a) Etudier les limites de g en –∞ et en +∞.
b) Etudier le sens de variation de g.
c) Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet une solution unique α dans R, puis justifier que :
0,35 ≤ α ≤ 0,36.
d) En déduire le signe de g.
B. Etude de f.
a) Etudier les limites de f en –∞ et en +∞.
b) Calculer f’(x). En utilisant la partie A, étudier le sens de variation de f.
c) Démontrer que f(α) = α(1 + 2e-α) et déterminer un encadrement de f(α) d’amplitude 4×10-2.
d) Démontrer que la droite Δ d’équation y = x – 1 est asymptote à (C) en +∞.
Préciser la position de (C) par rapport à Δ.
e) Donner une équation de la tangente T à (C) au point d’abscisse 0.
f) Tracer Δ, T et (C).
j'ai déjà trouver les A a) b) mais le reste je n'y arrive pas...
lim g(x) , x>- ∞ = - ∞ et lim g(x) , x> +∞ = 1
je trouve aussi que g'(x)= e(-x) (x-2)^2
Je remercie tous ceux qui pourront m'aider.
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Modifié par lucile83 le 05-11-2009 21:20
Message de kev55 posté le 12-10-2009 à 18:57:19
bonjour j'ai cette exercice à faire mais je n'y arrive pas vraiment ..
Exercice 2
Soit f la fonction définie sur R par :
f(x) = x – 1 + (x2 + 2)e(-x).
On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal d’unité graphique 2 cm.
A. Etude d’une fonction auxiliaire.
Soit g la fonction définie sur R par :
g(x) = 1 – (x2 – 2x + 2)e(-x).
a) Etudier les limites de g en –∞ et en +∞.
b) Etudier le sens de variation de g.
c) Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet une solution unique α dans R, puis justifier que :
0,35 ≤ α ≤ 0,36.
d) En déduire le signe de g.
B. Etude de f.
a) Etudier les limites de f en –∞ et en +∞.
b) Calculer f’(x). En utilisant la partie A, étudier le sens de variation de f.
c) Démontrer que f(α) = α(1 + 2e-α) et déterminer un encadrement de f(α) d’amplitude 4×10-2.
d) Démontrer que la droite Δ d’équation y = x – 1 est asymptote à (C) en +∞.
Préciser la position de (C) par rapport à Δ.
e) Donner une équation de la tangente T à (C) au point d’abscisse 0.
f) Tracer Δ, T et (C).
j'ai déjà trouver les A a) b) mais le reste je n'y arrive pas...
lim g(x) , x>- ∞ = - ∞ et lim g(x) , x> +∞ = 1
je trouve aussi que g'(x)= e(-x) (x-2)^2
Je remercie tous ceux qui pourront m'aider.
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Modifié par lucile83 le 05-11-2009 21:20
Réponse: Ex exp besoin d'aide de mariejoa, postée le 12-10-2009 à 20:20:56
Bonsoir,
Quelques renseignements
g' étant positive'produit d'un carré et d'une exponentielle), g est strictement croissante et croit de –∞ à 1.
L'équation g(x) = 0 a donc une seule solution dans R.
Calculer g(0,35) et g(0,36), si l'un est négative et l'autre positive, a est compris entre ces deux valeurs.
le signe de g se déduit de ce qui précède .G est négative sur ]–∞ ,a] et positive sur [a, +∞[
Pour montrer que f(a) = a(1+2e-a) , utilisez que g(a)=0 c'est à dire
1-(a²-2a+2)e-a=0
