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Triangle équilatéral
Message de mariee posté le 31-10-2009 à 18:03:55 (S | E | F)
Bonsoir, je n'arrives pas à faire cet exercice, quelqu'un pour m'apporter de l'aide svp ?
Un triangle a trois cotés de longueurs a, b et c tels que:
a2+b2+c2= a b + b c + a c .
Démontrer que ce triangle est équilatéral.
merci d'avance !
Message de mariee posté le 31-10-2009 à 18:03:55 (S | E | F)
Bonsoir, je n'arrives pas à faire cet exercice, quelqu'un pour m'apporter de l'aide svp ?
Un triangle a trois cotés de longueurs a, b et c tels que:
a2+b2+c2= a b + b c + a c .
Démontrer que ce triangle est équilatéral.
merci d'avance !
Réponse: Triangle équilatéral de quercy913, postée le 31-10-2009 à 19:04:21 (S | E)
Bonsoir,
Ici on ne désigne pas par a, b, c les sommets des angles du triangle.
Mais des longueurs a, b, c.
Comment sont entre elles les longueurs des côtés d'un triangle équilatéral ?
Comparons par exemple a² et le produit de a multiplié par b.
b² et bc ; c² et ac ne sont que la répétition de la 1ère démonstration.
Est-ce que a² + b² + c² est bien égal à (ab)+(bc)+(ac)
Vérifiez en prenant une longueur de 3 m pour le côté puis une autre de 5 cm.
Que constatez-vous ?
Réponse: Triangle équilatéral de fr, postée le 31-10-2009 à 19:30:44 (S | E)
Bonsoir,
Attention, ce problème ne consiste pas à démontrer que dans un triangle équilatéral les longueurs des côtés vérifient a²+b²+c²=ab+bc+ac (car pour a=b=c, cette relation est évidente), mais la réciproque : si les longueurs des côtés vérifient a²+b²+c²=ab+bc+ac alors a=b=c
a²+b²+c²=ab+ac+bc peut également s'écrire :
a²+b²+c²-ab-bc-ac=0 ou 2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=0 (je n'ai fait que multiplier par 2)
ou encore : a²+a²+b²+b²+c²+c²-2ab-2bc-2ac=0
il s'agit ensuite de regrouper astucieusement ...
Réponse: Triangle équilatéral de plumemeteore, postée le 01-11-2009 à 08:51:49 (S | E)
Bonjour Marie.
On suppose que a, b et c sont classés tels que a est plus grand ou égal aux deux autres et que c est plus petit ou égal aux deux autres.
Soient a = b+d et c = b-e, avec d et e positifs ou nul.
a²+b²+c² = (b+d)²+b²+(b-e)²
= b²+2bd+d² + b² + b²+2be-b² = 3b²+2bd-2be
ab+bc+ac = b*(b+d)+b*(b-e)+(b+d)(b-e)
= b²+bd + b²-be + b²-be+bd-ed
= 3b²+2bd-2be-ed
3b²+2bd-2be = 3b²+2bd-2be-ed -> ed = 0
Donc soit d, soit e est égal à zéro.
si e = 0 : c = b
a²+b²+c² = (b+d)²+b²+b² = b²+2bd+d²+b²+b² = 3b²+2bd+d²
ab+bc+ac = b*(b+d)+b*b+b*(b+d) = b²+bd+b²+b²+bd = 3b²+2bd
3b²+2bd+d² = 3b²+2bd -> d² et d sont aussi égaux à zéro !
si d = 0 : a = b
a²+b²+c² = b²+b²+(b-e)² = b²+b²+b²-2be+e² = 3b²-2be+e²
ab+bc+ac = b*b+b*(b-e)+b*(b-e) = b²+b²-be+b²-be = 3b²-2be
3b²-2be+e² = 3b²-2be -> e² et e sont aussi égaux à zéro !
Réponse: Triangle équilatéral de fr, postée le 01-11-2009 à 09:23:42 (S | E)
Bonjour,
Plumemeteore, cela me semble bien compliqué ...
Avec la dernière expression donnée (a²+a²+b²+b²+c²+c²-2ab-2bc-2ac=0), il suffit de mettre en évidence les identités remarquables et conclure (la somme de 3 expressions positives ou nulles, comme des carrés, ne peut être nulle que si les trois expressions sont nulles) ...
Réponse: Triangle équilatéral de mariee, postée le 01-11-2009 à 09:33:49 (S | E)
Merci beaucoup de vos réponses mais je n'ai pas compris ce que vous avez fait.
Sa ne sert rien de recopier si je n'ai pas assimiler le calcul
Quelqu'un pourrait m'expliquer svp ?
Merci d'avance.
Réponse: Triangle équilatéral de fr, postée le 01-11-2009 à 10:01:41 (S | E)
Bonjour Marie,
En fait, lorsque je vois des a², b², c² et ab, ac, bc, je pense aux identités remarquables (a+b)², (a+c)², (b+c)² ... mais ici, cela ne donne rien, et
a²+b²+c²=ab+ac+bc revient à a²+b²+c²-ab-bc-ac=0, donc je pense à (a-b)², (a-c)² et (b-c)²
On a :
(a-b)² = a² -2ab + b²
(a-c)² = a² -2ac + c²
(b-c)² = b² -2bc + c²
En additionnant ces égalités, on obtient alors
(a-b)² + (a-c)² + (b-c)² = ... (à vous !)
L'intérêt de mettre ces identités remarquables en évidence, c'est que si on arrive à prouver que leur somme est nulle, alors on peut en déduire que chacun des termes est nul (car un carré est toujours positif ou nul ... donc une somme de carrés ne peut être nulle que si chacun des termes est nul, ce qui correspond justement à ce que l'on veut démontrer)
Réponse: Triangle équilatéral de mariee, postée le 01-11-2009 à 14:13:13 (S | E)
Donc il faut que je développe chacune des identités et leur somme sera nul ?
Mais sa nous sert à quoi ici puisque l'on veut démontrer que c'est un triangle équilatéral ?
Ce sont des questions peut-être idiote mais je ne comprends pas
Réponse: Triangle équilatéral de fr, postée le 01-11-2009 à 17:18:29 (S | E)
En développant les identités remarquables vous verrez une ressemblance avec l'équation originale ... qui vous permettra de montrer que cette somme est nulle.
Ensuite, que peut-on dire des réels X, Y et Z si X²+Y²+Z²=0 ?
Réponse: Triangle équilatéral de mariee, postée le 01-11-2009 à 17:51:56 (S | E)
Qu'ils sont égaux ?
Réponse: Triangle équilatéral de fr, postée le 01-11-2009 à 19:21:46 (S | E)
Quelle valeur doit avoir des nombres positifs ou nuls si leur somme est nulle ?
Essayez avec différentes valeurs ...
Sinon, même question avec 2 nombres : si A²+B²=0 que valent A et B ?
Réponse: Triangle équilatéral de mariee, postée le 09-11-2009 à 21:02:22 (S | E)
a²+b²+c²=ab+ac+bc
a²+b²+c²-ab-bc-ac=0 ou 2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=0
a²+a²+b²+b²+c²+c²-2ab-2bc-2ac=0
Comment fait-on pour regrouper ? :s
Réponse: Triangle équilatéral de fr, postée le 09-11-2009 à 21:18:41 (S | E)
Bonsoir,
Vous regroupez de manière à obtenir des identités remarquables ...
Réponse: Triangle équilatéral de fr, postée le 10-11-2009 à 20:12:21 (S | E)
Bonsoir,
Allez je vous aide pour la première partie :
a² - 2ab + ...
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