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DM de 1ère STI - Les nombres complexes
Message de caromline posté le 29-11-2009 à 12:21:28 (S | E | F)
Voici un exercice de mon DM à rendre demain que je ne comprends pas :
Pour tout nombre complexe z=x+iy , avec x et y réels et z différent de -1 , on considére le nombre complexe z' défini par z'=(z-i)/(z+1).
1) On note z'=x'+iy' , avec x' et y' réels. Exprimer x' et y' en fonction de x et y.
2) Déterminer l'ensemble des nombres z tel que z' soit réel.
Pouvez-vous m'aider ? Merci d'avance.
Message de caromline posté le 29-11-2009 à 12:21:28 (S | E | F)
Voici un exercice de mon DM à rendre demain que je ne comprends pas :
Pour tout nombre complexe z=x+iy , avec x et y réels et z différent de -1 , on considére le nombre complexe z' défini par z'=(z-i)/(z+1).
1) On note z'=x'+iy' , avec x' et y' réels. Exprimer x' et y' en fonction de x et y.
2) Déterminer l'ensemble des nombres z tel que z' soit réel.
Pouvez-vous m'aider ? Merci d'avance.
Réponse: DM de 1ère STI - Les nombres complexes de fr, postée le 29-11-2009 à 13:15:25 (S | E)
Bonjour,
Il suffit de remplacer z par x+iy au numérateur et au dénominateur de (z-i)/(z+1) et de multiplier le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée du dénominateur ...
Réponse: DM de 1ère STI - Les nombres complexes de caromline, postée le 29-11-2009 à 13:28:12 (S | E)
Merci, c'est ce que j'ai fait au départ mais jetrouve (x²+y²-i)/(x²+y²-1)
J'ai au départ fait : [(x+iy)-i]/[(x+iy)+1]et fait l'expression conjuguée de la fasson suivante : [(x+iy)(x-iy)-i]/[(x+iy)(x-iy)+1]. Est ce que mon expression conjuguée est juste ?
Réponse: DM de 1ère STI - Les nombres complexes de fr, postée le 29-11-2009 à 13:33:51 (S | E)
Attention, il faut prendre l'expression conjuguée du dénominateur complet à savoir : (x+1) + iy ...
et ensuite multiplier le dénominateur et le numérateur complets, par cette expression conjuguée ...
Vous n'avez pas le droit d'écrire : (a+b)/(c+d) = (a*e+b)/(c*e+d) or c'est ce que vous avez écrit ...
Réponse: DM de 1ère STI - Les nombres complexes de caromline, postée le 29-11-2009 à 14:05:05 (S | E)
Donc si j'ai bien compris, l'expression conjuguée de [(x+iy)+1] est [(x+1)+iy] ?
Réponse: DM de 1ère STI - Les nombres complexes de nicolyon, postée le 29-11-2009 à 14:26:11 (S | E)
l'expression conjuguée de (x+1)+iy est (x+1)-iy
Nicolyon
Réponse: DM de 1ère STI - Les nombres complexes de caromline, postée le 29-11-2009 à 14:34:24 (S | E)
Don l'expression conjuguée de [(x+iy)+1] est [(x+iy)-1] ?
Réponse: DM de 1ère STI - Les nombres complexes de nicolyon, postée le 29-11-2009 à 14:45:56 (S | E)
non l'expression conjguée de a+ib est a-ib. Il faut repérer dans le nombre complexe sa partie réelle (a) et sa partie imaginaire (b) .Pour obtenir le conjugué de a+ib on garde la partie réelle et on change le signe de la partie imaginaire.
Dans [(x+iy)+1] la partie réelle est (x+1) et la partie imaginaire est y. Donc le conjugué de [(x+iy)+1] est [(x+1)-iy]
Réponse: DM de 1ère STI - Les nombres complexes de caromline, postée le 29-11-2009 à 15:08:52 (S | E)
Je trouve z' = (x²+2iy+y²)/(x²+2x+y²+1) = [(x²+y²)/(x²+2x+y²+1)]+[(2y)/(x²+2x+y²+1)]i
Est-ce que c'est juste ?
Réponse: DM de 1ère STI - Les nombres complexes de caromline, postée le 29-11-2009 à 15:11:28 (S | E)
Et puis je ne comprens pas non plus la question 2 :
Déterminer l'ensemble des nombres z tel que z' soit réel.
Réponse: DM de 1ère STI - Les nombres complexes de nicolyon, postée le 29-11-2009 à 15:25:40 (S | E)
il faut revoir tes calculs.
z'=[(x^2+y^2+x-y)/((x+1)^2+y^2)]+i [(-x+y)/((x+1)^2+y^2)].
Dans la deuxième question il faut utiliser le fait qu'un nombre complexe est réel lorsque sa partie imaginaire est nulle. Cela conduit à résoudre l'équation (-x+y)/((x+1)^2+y^2)=0
Réponse: DM de 1ère STI - Les nombres complexes de fr, postée le 29-11-2009 à 16:08:46 (S | E)
Bonjour Nicolyon,
Désolé, mais je ne trouve pas la même partie imaginaire pour z', vous avez dû oublié un terme ...
En effet, si x=y, z' n'est pas réel ... exemple : x=0 => z=0, z' vaut alors -i ...
alors que si y=x+1, on obtient z' = x/(x+1)
Réponse: DM de 1ère STI - Les nombres complexes de caromline, postée le 29-11-2009 à 16:16:58 (S | E)
J'ai trouvé le résltat suivant :
z'=(x²+x+iy+y²-ix-i-y)/(x²+2x+1+y²)
Comment le rendre sou la forme z'=x'+iy' ?
Réponse: DM de 1ère STI - Les nombres complexes de fr, postée le 29-11-2009 à 17:39:28 (S | E)
Le plus simplement du monde :
le dénominateur est un entier (pas de i)
dans le numérateur, séparer les termes contenant i (et mettre i en facteur) de ceux ne contenant pas i (la partie réelle)
Réponse: DM de 1ère STI - Les nombres complexes de nicolyon, postée le 29-11-2009 à 17:45:50 (S | E)
En effet il y a une erreur dans ma partie imaginaire, en fait c'est -x+y-1.
désolée
Réponse: DM de 1ère STI - Les nombres complexes de caromline, postée le 29-11-2009 à 18:42:38 (S | E)
Par contre je suis bloquée pour résoudre l'équation (y-x-1)/((x+1)^2+y^2)=0 ...
Réponse: DM de 1ère STI - Les nombres complexes de fr, postée le 29-11-2009 à 19:40:34 (S | E)
et pourtant, c'est facile : un rapport de 2 réels ne peut être nul que si le numérateur est nul ... (sachant que le dénominateur ne peut pas être nul, car z différent de -1)
Réponse: DM de 1ère STI - Les nombres complexes de caromline, postée le 29-11-2009 à 20:15:29 (S | E)
J'ai écris :
Un nombre complexe est réel l'orsque sa partie imaginaire est nulle
Donc (y-x-1)/((x+1)^2+y^2)=0 --> y-x-1=0.
L'ensemble des nombres z tel que z' soit réels sont x'.
Réponse: DM de 1ère STI - Les nombres complexes de caromline, postée le 29-11-2009 à 20:20:59 (S | E)
Je viens de penser à autre chose :
y-x-1=0
y=x+1
x=y-1
Doncn l'ensemble des nombres z tel que z' soit réels sont x+1 et y-1.
Est-ce que c'est juste ?
Réponse: DM de 1ère STI - Les nombres complexes de fr, postée le 29-11-2009 à 21:01:49 (S | E)
Il faut bien que y-x-1=0,
mais attention à l'interprétation : cela veut dire que la partie imaginaire et la partie réelle de z sont liées par cette équation.
Autrement dit, si l'on choisit d'exprimer y en fonction de x :
y=x+1, donc z s'écrit z=x+i(x+1), avec x réel différent de -1 (pour tout x réel différent de -1, car pour x=-1, on a y=0, donc z=-1, valeur exclue dans l'énoncé ... )
on vérifie alors que z' est effectivement réel, car z' vaut alors x/(x+1) (vous pouvez aisément le vérifier)
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