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Help - équation différentielle & exp
Message de aelya posté le 03-01-2010 à 15:20:05 (S | E | F)
Bonjour,
Je n'aime guère demander de l'aide pour un rien, mais j'ai depuis deux ans de grandes difficultés en mathématiques à cause de soucis de santé ... je suis donc souvent bloquée en maths dans mes exercices.
Pour ces vacances, j'avais un dm, dont j'ai fait la moitié seule mais le début du deuxième exercice me pose un problème. Je n'arrive pas à comprendre ce qu'il faut faire et comment procéder !
Niveau, terminale S.
On considère l'équation différentielle (E) :
y' + y = x^2 - 2
(^2 signifie au carré )
1. Dans un premier temps, on veut calculer quelques valeurs prises par la fonction Φ , solution de (E) telle que Φ(o)=2 par la méthode d'Euler. On prend un pas de 0.1 .
Calculer de cette façon une valeur approchée à 0.01 près de Φ(0.1) , Φ(0.2) et Φ(0.3).
Déjà je ne comprends pas ce qu'est Φ , est-ce le résultat de y dans l'équation (E) ? En plus, j'ai toujours eu du mal à appliquer Euler et comme je ne comprends comment l'appliquer dans ce cas ...
Désolée de vous embêter, je ne recherche pas vraiment le résultat mais plus une explication de ce problème et de ce que je dois faire car du coup, je suis bloquée pour faire la suite !
Bonne journée,
Aëlya
Message de aelya posté le 03-01-2010 à 15:20:05 (S | E | F)
Bonjour,
Je n'aime guère demander de l'aide pour un rien, mais j'ai depuis deux ans de grandes difficultés en mathématiques à cause de soucis de santé ... je suis donc souvent bloquée en maths dans mes exercices.
Pour ces vacances, j'avais un dm, dont j'ai fait la moitié seule mais le début du deuxième exercice me pose un problème. Je n'arrive pas à comprendre ce qu'il faut faire et comment procéder !
Niveau, terminale S.
On considère l'équation différentielle (E) :
y' + y = x^2 - 2
(^2 signifie au carré )
1. Dans un premier temps, on veut calculer quelques valeurs prises par la fonction Φ , solution de (E) telle que Φ(o)=2 par la méthode d'Euler. On prend un pas de 0.1 .
Calculer de cette façon une valeur approchée à 0.01 près de Φ(0.1) , Φ(0.2) et Φ(0.3).
Déjà je ne comprends pas ce qu'est Φ , est-ce le résultat de y dans l'équation (E) ? En plus, j'ai toujours eu du mal à appliquer Euler et comme je ne comprends comment l'appliquer dans ce cas ...
Désolée de vous embêter, je ne recherche pas vraiment le résultat mais plus une explication de ce problème et de ce que je dois faire car du coup, je suis bloquée pour faire la suite !
Bonne journée,
Aëlya
Réponse: Help - équation différentielle & exp de fr, postée le 03-01-2010 à 15:34:39 (S | E)
Bonjour,
Comme dit dans l'énoncé, Φ est la solution de (E) telle que Φ(0)=2
Vous avez donc une valeur de Φ(0) et d'après (E), vous pouvez calculer Φ'(0) (avec x=0)
Euler dit simplement qu'une approximation de Φ(x+h) est Φ(x)+h*Φ'(x) (pour h "petit")
En clair, on utilise la tangente à la fonction comme approximation de la fonction ...
Ensuite, une fois Φ(0.1) calculé (avec h=0.1 et x=0), vous refaites la même chose pour x=0.1 (l'équation (E) vous donnera une approximation de Φ'(0.1), car vous n'avez qu'une approximation de Φ(0.1)) et ainsi de suite ...
On vous dit que le pas à prendre est 0.1, donc h=0.1 à chaque étape ...
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Modifié par fr le 03-01-2010 15:52
PS : êtes-vous sûr que le pas doit être de 0.1, car avec ce pas, vous n'aurez pas une précision de 0.01 pour Φ(0.1), Φ(0.2), Φ(0.3)...
les erreurs se cumulent ... pour Φ(0.1), il y a déjà une erreur de l'ordre de 0.02 et pour Φ(0.3), il y a une erreur de l'ordre de 0.05 ...
Réponse: Help - équation différentielle & exp de aelya, postée le 03-01-2010 à 15:53:48 (S | E)
Merci beaucoup d'avoir pris ainsi le temps de me répondre !
Donc si j'ai bien compris (E)=Φ, donc x^2-2=y+y'=Φ ? Donc Φ= x^2-2 , alors Φ'(0)= 2x0 ( puisque la dérivé de x^2-2 est 2x ) , soit Φ'(0)= 0 ... j'ai l'impression que je fais encore fausse route ... =S
Pour Euler, ça me donne donc :
Φ(0+0.1)= Φ(0) + 0.1 x Φ'(0) = 2 + 0.1 x 0 = 2
Décidement ... je pense que je me suis trompé pour le calcul de Φ'(0) =S
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Modifié par aelya le 03-01-2010 15:54
Réponse: Help - équation différentielle & exp de fr, postée le 03-01-2010 à 15:57:51 (S | E)
Non, Φ est solution de l'équation différentielle (E), donc pour tout x, on a :
Φ'(x)+Φ(x)=x²-2, en particulier pour x=0 ... connaissant Φ(0)=2, vous calculez Φ'(0)
Réponse: Help - équation différentielle & exp de aelya, postée le 03-01-2010 à 16:17:08 (S | E)
Ah d'accord ! Je comprends mieux, encore merci pour votre aide !
Donc Φ'(o)= -4 si je ne me suis pas une nouvelle fois trompée dans mes calculs ^^.
puis Φ(0+0.1)=Φ(0.1)=1.6
J'ai ensuite calculé Φ'(0.1)=-3.59
donc Φ(0.1+0.1)=Φ(0.2)=1.241
J'ai ensuite calculé Φ'(0.2)=-3.201
Donc Φ(0.2+0.1)=Φ(0.3)=0.9209
J'espère que je ne me suis pas trompée ! En tout cas, je pense avoir compris, grâce à vous =)
Aëlya
Réponse: Help - équation différentielle & exp de fr, postée le 03-01-2010 à 16:20:48 (S | E)
Oui c'est bon, sauf que l'on vous demande des valeurs arrondies à 0.01 ...
Réponse: Help - équation différentielle & exp de aelya, postée le 03-01-2010 à 16:40:32 (S | E)
Décidement ... je suis bien tête en l'air ! J'ai corrigé ça, et refait mes calculs avec les bons arrondis.
Pour la suite, ils disent :
2. Dans cette question, on va résoudre de façon exaste cette équation.
a) Résoudre l'équation (E'): y' + y = 0
J'ai fait bêtement : sachant que, y' + y = x^2 - 2 alors x^2 -2 = 0 donc x^2 = 2 soit x = racine de 2 .
Mais j'ai quelques doute, cela me semble trop simple ... peut-être n'était-ce pas le x qu'il fallait rechercher mais le y ?
Peut-être alors est-ce : (E') : y' + y = 0 soit y' = -y soit y'= exp(-x)
J'essaye des trucs, mais ça m'a l'air de plus en plus louffoque ...
b) Montrer que la fonction g, définie sur R par :
g(x)= x^2 - 2x
est une solution de (E)
Je pense qu'avant de m'attaquer à celle-ci, il faudrait que je trouve vraiment la a) ...
Réponse: Help - équation différentielle & exp de fr, postée le 03-01-2010 à 16:45:53 (S | E)
Il faut comprendre la méthode :
il s'agit là d'une méthode de résolution des équations différentielles : on sépare la partie dépendante de x et la partie qui ne contient que y et ses dérivées.
on résout donc y' +y =0 sans se préoccuper du second membre, attention, cette équation n'aura pas les même solutions que la précédente, mais, si l'on trouve une solution de (E) (dite solution particulière), on pourra définir l'ensemble des solutions de (E) avec la solution particulière + les solutions de l'équation dite "sans second membre", c'est à dire y'+y=0
pour résoudre y'+y=0, pensez aux exponentielles ...
Oups, je n'avais pas lu votre seconde proposition, effectivement, une solution de y'+y=0 est y=exp(-x), mais ce n'est qu'une solution, les autres s'obtiennent par ...
dans le b), on vous donne la solution particulière, et on vous demande de prouver qu'elle est effectivement solution de (E).
PS : Pour (E), cette solution particulière était assez simple à trouver, en fait ...
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Modifié par fr le 03-01-2010 16:51
Réponse: Help - équation différentielle & exp de aelya, postée le 03-01-2010 à 17:23:46 (S | E)
Je suis vraiment impressionnée que vous prenez le temps ainsi de m'aider, ce qui prouve vraiment votre gentillesse ! Au risque de me répéter ... merci !
Pour la a), c'est donc y'=-y donc x -> c exp( k * x ) donc l'ensemble des solutions c'est l'ensembles des fonctions x-> c*exp(-x ) avec c constante quelconque.
Pour la b) il faut donc que je prouve que c*exp(-x) peut être égale à x^2-2x ?
Réponse: Help - équation différentielle & exp de fr, postée le 03-01-2010 à 17:25:52 (S | E)
C'est Ok pour le a)
Pour le b) il faut simplement montrer que x²-2x est une solution de (E)
y=x²-2x
d'où y'= ...
et y'+y = ...
Réponse: Help - équation différentielle & exp de aelya, postée le 03-01-2010 à 18:09:16 (S | E)
D'accord, donc j'ai calculé y' et j'ai trouvé 2x-2 , puis j'ai fait y' + y et j'ai trouvé x^2-2 soit ce que l'on avait au départ donc effectivement, c'est solution de (E).
c) Démontrer que f est solution de (E) si et seulement si f-g est solution de (E')
d) En déduire toutes les fonctions solutions de l'équation (E).
e) Déterminer la solution Φ de (E) telle que Φ(0)=2.
Comparer la valeur Φ(0.3) avec celle obtenue à la question 1.
Pour le c), il faut prouver que f-g est égale à (E') soit c*exp(-x) pour ensuite l'affirmer ?
J'ai essayé des trucs, mais j'ai même pas le courage de les réécrire car ce qui me désole c'est qu'à chaque fois je pars dans tous les sens, mais jamais dans le bon ... j'essaye pleins de trucs, mais jamais le truc qu'il faut ... c'est pas malin ^^"
Vous embêtez pas, vous m'avez vraiment déjà super aidé !
Réponse: Help - équation différentielle & exp de fr, postée le 03-01-2010 à 18:23:25 (S | E)
Pour le c), c'est relativement facile (cette propriété sera d'ailleurs vraie pour toutes les équations différentielles : en considérant une solution particulière de l'équation complète, on obtient toutes les solutions de l'équation complète en ajoutant la solution particulière aux solutions de l'équation différentielle sans les termes en x ... cela découle de la linéarité des équations différentielles ...)
Mais restons dans le cas de cet exercice :
si f est solution de (E) on a :
f'(x)-f(x)=x²-2
On peut calculer (f-g)' + (f-g) = f'(x)-g'(x)+f(x)-g(x) = ...
comme on connait g(x)=x²-2x
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Modifié par fr le 03-01-2010 18:23
PS : attention au vocabulaire : on ne peut pas dire (f-g) est égale à (E'), mais (f-g) est solution de (E') ...
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