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Dérivation
Message de gessop posté le 14-03-2010 à 16:10:22 (S | E | F)
Bonjour j'ai reçu un problème de mathématiques à résoudre:
Le petit chaperon rouge part de sa maison notée A et se rend à la maison de sa grand mère notée B. Pour ce la elle doit couper à travers les bois suivant un chemin noté AM; sa vitesse est de 3km/h.Elle parvient alors à une route goudronnée noté (HB),qu'elle emprunte pour atteindre la maison B;la vitesse est alors de 5km/h.On note x la distance HM en km.
Déterminez la position du point M sur (HB) pour qu'elle atteingne la maison B en un minimum de temps.
Le schéma donner présente un triangle AHM,AH=8km,HM=x km,HB=15km
Voici la réponse que j'ai trouvé:
Am représente f(x) car AM va varié en fonction de x.
f(x)=AM=racine carré de (8+x)au carré
Sa dérivée est alors f'(x)=x/racine carré de (8+x) au carré
Comme cette dérivée est compris dans l'intervalle [0;+infinie[, le minimum de cette fonction est 0.
La distance x ne dépend donc plus que du rapport des vitesses soit:
15-x=15*(3/5)= 9km; 15-9=6 donc x= HM=6km
Est ce juste? et serait t'il possible de m'expliquer comment résoudre ce type de problème? Remerciements anticipés
Gessop
Message de gessop posté le 14-03-2010 à 16:10:22 (S | E | F)
Bonjour j'ai reçu un problème de mathématiques à résoudre:
Le petit chaperon rouge part de sa maison notée A et se rend à la maison de sa grand mère notée B. Pour ce la elle doit couper à travers les bois suivant un chemin noté AM; sa vitesse est de 3km/h.Elle parvient alors à une route goudronnée noté (HB),qu'elle emprunte pour atteindre la maison B;la vitesse est alors de 5km/h.On note x la distance HM en km.
Déterminez la position du point M sur (HB) pour qu'elle atteingne la maison B en un minimum de temps.
Le schéma donner présente un triangle AHM,AH=8km,HM=x km,HB=15km
Voici la réponse que j'ai trouvé:
Am représente f(x) car AM va varié en fonction de x.
f(x)=AM=racine carré de (8+x)au carré
Sa dérivée est alors f'(x)=x/racine carré de (8+x) au carré
Comme cette dérivée est compris dans l'intervalle [0;+infinie[, le minimum de cette fonction est 0.
La distance x ne dépend donc plus que du rapport des vitesses soit:
15-x=15*(3/5)= 9km; 15-9=6 donc x= HM=6km
Est ce juste? et serait t'il possible de m'expliquer comment résoudre ce type de problème? Remerciements anticipés
Gessop
Réponse: Dérivation de nopasaran2001, postée le 14-03-2010 à 18:00:55 (S | E)
Bonjour,
En supposant que le triange AHM est rectangle en H :
AM = racine(x²+8²) et
MB = + (15-x)
d'où :
temps total = f(x) = (1/3)racine(x²+8²)+(1/5)(15-x)
car temps = distance/vitesse
f'(x)=(2x/2*3) * 1/(racine(x²+8²)-(1/5)
f'(x)=(5x-3(racine(x²-8²)) / (15racine(x²+8²))
Reste à étudier le signe du numérateur (le dénominateur étant positif) :
5x - 3racine(x²-8²) = 0 <=> (5x)²=3²racine²(x²-8²)
<=> (5x)²=3²(x²-8²)
<=> 25x²=9x²-3²*8²
<=> 16x² - 24² = 0
<=> (4x)² -24² = 0
<=> (4x-24)(4x+24) = 0
Un produit de facteurs est nul si l'un au moins de ses facteurs est nul :
soit 4x-24 = 0 <=> x = 6
soit 4x+24 = 0 <=> x = -6
d'où le tableau :
x -infini -6 6 +infini
f'(x) + 0 - 0 +
f croissante décroissante croissante
le minimum de f (c'est-à-dire le temps) est atteint pour x = 6 km
Est-ce que ça te va?
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Modifié par nopasaran2001 le 14-03-2010 18:07
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Modifié par nopasaran2001 le 14-03-2010 18:08
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Modifié par lucile83 le 14-03-2010 18:39
Pub vers site extérieur effacée.
Réponse: Dérivation de gessop, postée le 14-03-2010 à 18:18:20 (S | E)
Merci pour cette réponse, moi j'assimilais f(x)à AM mais je pense que ta solution est bien plus pratique et permet de trouver le temps total tout de suite.
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