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Projeté orthogonal
Message de mathjulie posté le 05-04-2010 à 15:01:43 (S | E | F)
Bonjour, j'ai un exercice que je ne parviens pas à résoudre. Pourriez vous m'aider? En voici l'énoncé:
(je n'ai pas réussi à insérer la figure)
On a un cercle de centre O et de rayon 3, H est un point du plan tel que OH = 5 . d est la perpendiculaire à (OH) passant par H. M est un point quelcoonque de d, on a les tangentes issues de M en B et C au cercle.
(BC) coupe (OM) en N et (OH) en I.
a. Je dois démontrer que les droites (OM) et (BC) sont perpendiculaires.
J'ai donc fais (toutes les longueurs que j'écris sont des vecteurs):
OM scalaire BC = OM scalaire (BO +OC) = OM scalaire BO + OM scalaire OC
= OB scalaire BO + OC au carré = - (OB)au carré + OC au carré
= -9 + 9
=0
donc OM scalaire BC = 0 donc OM est perpendiculaire à BC
b. On me demande ensuite de justifier les égalités suivantes: (toute ces longueur sont des vecteur sauf OC au carré):
OI .OH = OM . OI = OM .ON = OM . OC = OC au carré = 9
j'ai donc utilisé la projeté orthogonal (pourriez vous me dire si mes démonstration sont justes):
- d'après le projeté orthogonal:
OM .OI = OH .OI
- (BC) est perpendiculaire à (OM) , les popints I et N appartiennent à (BC) donc les droites (BI) et (BC) sont perpendiculaire à (OM), de plus N est le point d'intersection de (OM) et (BC), donc d'après le projeté orthogonal:
OM . OI = OM .ON
- les droites (BC) et (OM) sont perpendiculaires, N appartient à (BC) et (OM) , donc d'après le projeté orthogonal:
OM .OC = OM.ON
- (MC) est une tangente au cercle issue de M en C, donc OC est un rayon et mesure 3, donc (OC) est perpendiculaire à (CM), donc d'après le projeté orthogonal:
OM.OC = OC au carré = 9
j'ai bien démontrer les égalités de départ.
c . On me demande ce que je peux en déduire pour le point I.
Je ne sais pas vraiment.
d. On Me demande ensuite sur quelle courbe le point N se déplace.
Je ne sais pas non plus.
Merci d'avance pour votre aide
Message de mathjulie posté le 05-04-2010 à 15:01:43 (S | E | F)
Bonjour, j'ai un exercice que je ne parviens pas à résoudre. Pourriez vous m'aider? En voici l'énoncé:
(je n'ai pas réussi à insérer la figure)
On a un cercle de centre O et de rayon 3, H est un point du plan tel que OH = 5 . d est la perpendiculaire à (OH) passant par H. M est un point quelcoonque de d, on a les tangentes issues de M en B et C au cercle.
(BC) coupe (OM) en N et (OH) en I.
a. Je dois démontrer que les droites (OM) et (BC) sont perpendiculaires.
J'ai donc fais (toutes les longueurs que j'écris sont des vecteurs):
OM scalaire BC = OM scalaire (BO +OC) = OM scalaire BO + OM scalaire OC
= OB scalaire BO + OC au carré = - (OB)au carré + OC au carré
= -9 + 9
=0
donc OM scalaire BC = 0 donc OM est perpendiculaire à BC
b. On me demande ensuite de justifier les égalités suivantes: (toute ces longueur sont des vecteur sauf OC au carré):
OI .OH = OM . OI = OM .ON = OM . OC = OC au carré = 9
j'ai donc utilisé la projeté orthogonal (pourriez vous me dire si mes démonstration sont justes):
- d'après le projeté orthogonal:
OM .OI = OH .OI
- (BC) est perpendiculaire à (OM) , les popints I et N appartiennent à (BC) donc les droites (BI) et (BC) sont perpendiculaire à (OM), de plus N est le point d'intersection de (OM) et (BC), donc d'après le projeté orthogonal:
OM . OI = OM .ON
- les droites (BC) et (OM) sont perpendiculaires, N appartient à (BC) et (OM) , donc d'après le projeté orthogonal:
OM .OC = OM.ON
- (MC) est une tangente au cercle issue de M en C, donc OC est un rayon et mesure 3, donc (OC) est perpendiculaire à (CM), donc d'après le projeté orthogonal:
OM.OC = OC au carré = 9
j'ai bien démontrer les égalités de départ.
c . On me demande ce que je peux en déduire pour le point I.
Je ne sais pas vraiment.
d. On Me demande ensuite sur quelle courbe le point N se déplace.
Je ne sais pas non plus.
Merci d'avance pour votre aide
Réponse: Projeté orthogonal de taconnet, postée le 05-04-2010 à 18:24:48 (S | E)
Bonjour.
Ce que vous avez écrit :
J'ai donc fais (toutes les longueurs que j'écris sont des vecteurs):
OM scalaire BC = OM scalaire (BO +OC) = OM scalaire BO + OM scalaire OC
= OB scalaire BO + OC au carré = - (OB)au carré + OC au carré
= -9 + 9
=0
donc OM scalaire BC = 0 donc OM est perpendiculaire à BC
n'a aucun sens mathémathique.
Dites simplement:
Puisque (MC) et (MB) sont tangentes au cercle alors les segments [MB]et[MC] sont isométriques.
M est donc équidistant de B et C.<══> M est sur la médiatrice de [BC]
D'autre part, B et C sont sur le cercle de centre O donc OC = OB.
O est donc équidistant de B et C.<══> O est sur la médiatrice de [BC]
Ainsi, la droite (OM) est la médiatice de (BC).
(OM) est donc perpendiculaire à (BC).
Voici comment j'envisagerai la suite du problème.
Le quadrilatère MNIH est inscriptible dans un cercle (Σ)
O est extérieur à ce cercle, on a :
OI.OH = ON.OM (il s'agit ici de produit de longueurs)
D'autre part
Dans le triangle rectangle OBM on :
OB² = ON.OM = 9
Ainsi
OI.OH = 9 <══> OI = 9/5 <══> le point I est fixe.
Puisque I et O sont fixes et que l'angle ONI = 90° alors N se trouve sur le cercle de diamètre [OI].
Réponse: Projeté orthogonal de mathjulie, postée le 07-04-2010 à 13:08:54 (S | E)
d'accord, merci beaucoup pour votre aide
Bonne continuation
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