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Formule de Héron -
Message de titou22 posté le 08-04-2010 à 21:15:57 (S | E | F)
Bonsoir à tous, et merci à vous.
ABC est un triangle. a, b, c désignent respectivement les longueurs [BC], [AC] et [AB]. On note p=a+b+c/2 son demi-périmètre et S son aire.
1)Exprimer S en fonction de b, c et BAC.
2)Exprimer 4b²c²sin²BAC en fonction de a, b et c.
3) En déduire une expression de S² en fonction de a, b et c.
4) Démontrer que S=racine(p(p-a)(p-b)(p-c))
Voilà cet exercice est facultatif, notre professeur nous a dit qu'il fallait pas le faire mais je voudrais m'en intéressé quand même pour l'année prochaine.
Si vous pouviez m'en dire plus ça serait aimable de votre part.
Titou
Message de titou22 posté le 08-04-2010 à 21:15:57 (S | E | F)
Bonsoir à tous, et merci à vous.
ABC est un triangle. a, b, c désignent respectivement les longueurs [BC], [AC] et [AB]. On note p=a+b+c/2 son demi-périmètre et S son aire.
1)Exprimer S en fonction de b, c et BAC.
2)Exprimer 4b²c²sin²BAC en fonction de a, b et c.
3) En déduire une expression de S² en fonction de a, b et c.
4) Démontrer que S=racine(p(p-a)(p-b)(p-c))
Voilà cet exercice est facultatif, notre professeur nous a dit qu'il fallait pas le faire mais je voudrais m'en intéressé quand même pour l'année prochaine.
Si vous pouviez m'en dire plus ça serait aimable de votre part.
Titou
Réponse: Formule de Héron - de mini-sioux, postée le 10-04-2010 à 07:48:13 (S | E)
BONJOUR
Je trouve aussi intéressant cet exercice!!!!
mon niveau en math n'est pas le même que le tiens (vu que je suis en 3ème) mais je pensais à quelque chose (qui n'est pas forcément juste!!).
L'aire d'un triangle se calcul grâce à la formule suivant:
Côté*Côté se tout /2
et on te demande de l'exprimer avec b, c et BAC (est ce un angle?)
S=(BA*AC)/2
voilà ça m'intéresse de savoir comment il faut faire si jamais tu as le corrigé pourras tu me le montrer merci
Réponse: Formule de Héron - de taconnet, postée le 10-04-2010 à 14:47:00 (S | E)
Bonjour.
On considère la triangle ABC.
On trace la hauteur issue de C et relative au côté [AB].(H est la projection orthogonale de C sur [AB]
Appelons CH la mesure de cette hauteur.
L'aire du triangle est donc:
Aire = (BH x AB)/2
Cependant dans le triangle rectangle CHA (H = 90°) on a :
CH = AC sin A ([AC] est l'hypoténuse)
donc on peut exprimer l'aire d'une autre façon :
Aire = [(ABxAC)/2]sinA.
Avec la formule d'AL KASHI on obtient :
a² = b² + c² - 2bc cos A
Soit cosA = (b² + c² -a²)/2bc
Calculez alors
1 - cos A = 2sin² (A/2)
et
1 + cos A = 2cos²(A/2)
Après simplification on obtient :
Réponse: Formule de Héron - de titou22, postée le 10-04-2010 à 17:59:09 (S | E)
Bonjour, merci beaucoup.
Pourriez vous détaillez cela :
1 - cos A = 2sin² (A/2)
et
1 + cos A = 2cos²(A/2)
pour obtenir :
SinA/2=...
CosA/2=...
Réponse: Formule de Héron - de taconnet, postée le 10-04-2010 à 18:20:42 (S | E)
Bonjour.
C'est pourtant simple !
Un excellent exercice sur les identités remarquables.
1 - cos A = 1 - (b² + c² - a²)/2bc = (2bc - b² - c² + a²)/2bc = (a² -(b² -2bc +c²)/2bc = [a² - (b - c)²]/2bc = (a - b + c)(a + b -c)/2bc
or
a-b+c = 2(p-b)
a+b-c = 2(p-c)
Donc
1 -cosA = 2(p-b)(p-c)/bc
Soit
2sin²(A/2) = 2(p-b)(p-c)/bc <══> sin²(A/2) = (p-b)(p-c)/bc
Et finalement
Faites maintenant les mêmes calculs pour déterminer la valeur de
1 + cosA = ...
Réponse: Formule de Héron - de titou22, postée le 10-04-2010 à 18:44:15 (S | E)
D'accord, juste une précision, pourquoi le 2 a disparu ?
Donc
1 -cosA = 2(p-b)(p-c)/2bc
Réponse: Formule de Héron - de taconnet, postée le 10-04-2010 à 19:17:08 (S | E)
Est-ce que vous avez refait tout seul les calculs que j'ai proposés.
au numérateur vous avez 2(p-b) X 2(p-c) = 4(p-b)(p-c)
donc
Réponse: Formule de Héron - de titou22, postée le 10-04-2010 à 19:18:04 (S | E)
Pour 1+ cosA je trouve :
1+ cos A = (-a+b+c)(-a+b-c)/2bc
donc
-a+b+c= 2(p-a)?
-a+b-c= 2(p+b)?
Réponse: Formule de Héron - de taconnet, postée le 10-04-2010 à 19:23:41 (S | E)
C'est faux !
Reprenez vos calculs avec soin.
le numérateur s'écrit : b² +c² -a² + 2bc . Factorisez cette expression
Réponse: Formule de Héron - de titou22, postée le 10-04-2010 à 19:27:37 (S | E)
Eh bien oui j'ai bien fait ça pourtant :
1+ cosA=2bc+b²+c²-a²/2bc
=-a²+(b²+2bc+c²)/2bc
=-a²+(b+c)²/2bc
=(-a+b+c)(-a+b-c)/2bc
Réponse: Formule de Héron - de taconnet, postée le 10-04-2010 à 19:34:08 (S | E)
C'est encore faux !
L'identité remarquable que vous devez utiliser est de la forme :
A² - B² = (A + B)(A - B)
donc vous devez factoriser :
(b+c)² - a²
à l'ordre !Réponse: Formule de Héron - de titou22, postée le 10-04-2010 à 19:49:26 (S | E)
Ah oui effectivement ça change la donne.
Donc ça fait maintenant :
=(b+c)²-a²
=(b+c+a)(b+c-a)
mais alors ça donne :
b+c+a=2p
b+c-a=2(p-a)
?
Réponse: Formule de Héron - de taconnet, postée le 10-04-2010 à 19:56:00 (S | E)
Enfin !
Le résultat est exact.
Il suffit de reporter ces deux valeurs dans la formule de l'aire, et vous obtiendrez le résultat attendu.
Réponse: Formule de Héron - de titou22, postée le 10-04-2010 à 20:03:25 (S | E)
Exercice abouti.
Merci encore une fois Taconnet
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