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Dm 1ère STI cercle trigonométrique
Message de caromline posté le 16-04-2010 à 17:29:10 (S | E | F)
Bonjour, voici un exercice de mon DM que je ne comprend pas !!!
On considère la fonction f définie par f(x)=3cos(2x+(pi/2).
1) Donner le domaine de définition de f.
2) Montrer que pour tout x appartenant au domaine des réels , on a : -3 =< f(x) =< 3. (=< veut dire inférieur ou égal à)
Que peut-on en deduir sur la courbe représentative de f ?
3) Montrer que pour tout x appartenant au domaine des réels , f(x+pi)=f(x). En déduire que f est périodique et préciser sa période. Que peut-on en déduire sur sa courbe représentative ?
4) Montrer que pour tout x appartenant au domaine des réels , f'(x)=-6sin(2x+(pi/2)).
Il y à encore 4 autres questions que j'ajouterais plus tard si je ne les aurais pas trouvé. En attendant, merci d'avance de m'aider pour les 4 premières questions.
Message de caromline posté le 16-04-2010 à 17:29:10 (S | E | F)
Bonjour, voici un exercice de mon DM que je ne comprend pas !!!
On considère la fonction f définie par f(x)=3cos(2x+(pi/2).
1) Donner le domaine de définition de f.
2) Montrer que pour tout x appartenant au domaine des réels , on a : -3 =< f(x) =< 3. (=< veut dire inférieur ou égal à)
Que peut-on en deduir sur la courbe représentative de f ?
3) Montrer que pour tout x appartenant au domaine des réels , f(x+pi)=f(x). En déduire que f est périodique et préciser sa période. Que peut-on en déduire sur sa courbe représentative ?
4) Montrer que pour tout x appartenant au domaine des réels , f'(x)=-6sin(2x+(pi/2)).
Il y à encore 4 autres questions que j'ajouterais plus tard si je ne les aurais pas trouvé. En attendant, merci d'avance de m'aider pour les 4 premières questions.
Réponse: Dm 1ère STI cercle trigonométrique de taconnet, postée le 16-04-2010 à 18:09:03 (S | E)
Bonjour.
Étudiez ce lien et postez vos réponses.
Lien Internet
Réponse: Dm 1ère STI cercle trigonométrique de caromline, postée le 17-04-2010 à 16:24:36 (S | E)
Merci pour le lien.
Pour la première question, j'ai dis que le domaine de définition de f est R. Mais pour cela je n'ai mis aucune justifiquation.
Et pour le reste des questions, je ne trouve pas !!!
Réponse: Dm 1ère STI cercle trigonométrique de taconnet, postée le 17-04-2010 à 16:43:51 (S | E)
C'est pourtant simple !
En étudiant le lien proposé vous avez appris que :
Quel que soit x , on a : -1 ≤ cosx ≤ +1
-1 ≤ cosx ≤ +1 ══> ... ≤ 3cosx ≤ ...
3) Il faut montrer que f(x + π) = f(x)
donc il faut prouver que
cos[2(x + π) + π/2] = cos(2x + π/2)
Développez le membre de gauche et écrivez-le sous la forme cos[(2... + ..) + 2π]
C'est simple puisque c'est du cours.
Réponse: Dm 1ère STI cercle trigonométrique de caromline, postée le 18-04-2010 à 14:22:54 (S | E)
Ensuite, la question suivante est :
Montrer que si x appartien à [-(pi/4);(pi/4)], alors 2x+(pi/2) appertien à [0;pi].
En déduire le signe de f' sur [-(pi/4);(pi/4)].
Etudier de même le signe de f'(x) sur l'intervalle [(pi/4);(3pi/4)]
Réponse: Dm 1ère STI cercle trigonométrique de taconnet, postée le 18-04-2010 à 15:58:10 (S | E)
Bonjour.
Ainsi
--------- 1------------ -----------2---------- --------3------
-π/4 ≤x≤π/4 <══> -π/2 ≤2x≤π/2 <══> 0 ≤ 2x+ π/2 ≤ π
Explications:
on passe de 1 à 2 en multipliant par 2
on passe de2 à 3 en ajoutant π/2
Réponse: Dm 1ère STI cercle trigonométrique de caromline, postée le 18-04-2010 à 16:16:17 (S | E)
Bonjour.
Pour montrer que si x appartien à [-(pi/4);(pi/4)], alors 2x+(pi/2) appertien à [0;pi], j'ai remplacé x par une des bornes de l'intervalle, et calculé la valeur.
Pour en déduire le signe de f' sur [-(pi/4);(pi/4)], j'ai fais f'(x)=0, et je trouve x=-pi/4.
Mais je bloque pour compléter le tableau de signe :
--------------------------------------------------------
! x ! -pi/4 pi/4 !
--------------------------------------------------------
! f'(x)=-6sin(2x+(pi/2)). ! 0 !
--------------------------------------------------------
Et pour étudier le signe de f'(x) sur l'intervalle [(pi/4);(3pi/4)], dois-je faire la même chose ? Car dans ce cas là je ne peut pas placer x dans le tableau car il n'est pas compris entre [(pi/4);(3pi/4)].
Réponse: Dm 1ère STI cercle trigonométrique de caromline, postée le 18-04-2010 à 16:19:42 (S | E)
Je refais le tableau pour y voirplus claire :
--------------------------------------------------------
!................x................!....-pi/4............ pi/4 !
--------------------------------------------------------
!..f'(x)=-6sin(2x+(pi/2))..!.......0.................. !
--------------------------------------------------------
Réponse: Dm 1ère STI cercle trigonométrique de taconnet, postée le 18-04-2010 à 16:31:57 (S | E)
Bonjour.
Vous n'avez aucun tableau à faire !
On vous demande de déduire le signe de f'(x) dans l'intervalle [-π/4 ; π/4]
Vous avez montré que:
-π/4 ≤x≤π/4 <══> -π/2 ≤2x≤π/2 <══> 0 ≤ 2x+ π/2 ≤ π
donc
sin(2x+ π/2) est POSITIF puisque 0 ≤ 2x+ π/2 ≤ π
Donc
f'(x) ≤ 0 sur [-π/4 ; π/4] puisque f'(x) = -6sin(2x+ π/2)
Ce qui permet d'affirmer que sur l'intervalle [-π/4 ; π/4] la fonction f est DÉCROISSANTE.
Pour étudier le signe de f'(x) de x sur [π/4 ; 3π/4] pocédez comme précédemment.
π/4 ≤x≤3π/4 <══> ...
Réponse: Dm 1ère STI cercle trigonométrique de caromline, postée le 18-04-2010 à 17:03:12 (S | E)
Je trouve π ≤ 2x+π/2 ≤ 2π
Donc sin(2x+π/2) est positif car π ≤ 2x+π/2 ≤ 2π
Et pour la suite je bloque...
Réponse: Dm 1ère STI cercle trigonométrique de taconnet, postée le 18-04-2010 à 17:11:57 (S | E)
Mais non !
Regardez sur le cercle trigonométrique.
Si un angle θ est tel que π < θ < 2π alors sin θ < 0
Réponse: Dm 1ère STI cercle trigonométrique de caromline, postée le 18-04-2010 à 18:21:50 (S | E)
Alors comment dois-je faire ?
Réponse: Dm 1ère STI cercle trigonométrique de taconnet, postée le 18-04-2010 à 18:41:02 (S | E)
Voici ce que vous avez écrit :
Je trouve π ≤ 2x+π/2 ≤ 2π
Donc sin(2x+π/2) est positif car π ≤ 2x+π/2 ≤ 2π
C'est évidemment FAUX.
Si π ≤ 2x+π/2 ≤ 2π alors sin(2x+π/2) ≤ 0 (voir le cercle trigonométrique)
Donc sur [π/4 ; 3π/4] f'(x) est POSITIF.
Il en résulte que sur cet intervalle la fonction f est CROISSANTE.
or les intervalles [-π/4 ; 3π/4] et [0 ; π] ont la même amplitude.
Il suffit donc de tracer une partie de la courbe dans l'intervalle [-π/4 ; 3π/4] et de faire des translations d'amplitude π
Réponse: Dm 1ère STI cercle trigonométrique de taconnet, postée le 18-04-2010 à 18:41:35 (S | E)
Voici la représentation graphique de la fonction f.
Réponse: Dm 1ère STI cercle trigonométrique de caromline, postée le 18-04-2010 à 18:52:22 (S | E)
Merci !
Les 3 dérnères questions sont :
6) Dresser le tableau de variation de f sur [-π/4 ; 3π/4]
7) Donner l'équation de la tangente en f au point d'abscisse π/4
8) Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormé ainsi que sa tangente en π/4.
Alors je voudrais savoir exactement comment dresser le tableau.
Réponse: Dm 1ère STI cercle trigonométrique de caromline, postée le 18-04-2010 à 19:06:34 (S | E)
c'est bon, j'ai réussi à faire le tableau.
Mais j'ai du mal à trouver l'éq de la tan.
J'utilise la formule y=f'(a)(x-a)+f(a)
Réponse: Dm 1ère STI cercle trigonométrique de taconnet, postée le 18-04-2010 à 19:14:08 (S | E)
Oui, c'est exactement la formule qu'il faut utiliser.
Ici a = π/4
Il suffit de calculer f'(π/4) et f(π/4) ( ce sont des calculs simples.)
Postez votre résultat.
Réponse: Dm 1ère STI cercle trigonométrique de caromline, postée le 18-04-2010 à 19:18:04 (S | E)
Pour f'(π/4), je trouve -6sinπ et f(π/4), je trouve 3cosπ.
Réponse: Dm 1ère STI cercle trigonométrique de taconnet, postée le 18-04-2010 à 19:24:28 (S | E)
or sin (π) = 0 et cos(π) = -1
donc f'(π/4) = 0
l'équation de la tangente au point d' abscisse π/4 est y = -3
En ce point la tangente à la courbe est parallèle à l'axe des abscisses.
Vous pouvez le constater sur le graphique que je vous ai proposé.
Réponse: Dm 1ère STI cercle trigonométrique de caromline, postée le 18-04-2010 à 19:46:30 (S | E)
Merci !!
Il ne me reste plus qu'une question à faire.
C'est le question 3) que je n'ai toujours pas comprise...
Réponse: Dm 1ère STI cercle trigonométrique de taconnet, postée le 18-04-2010 à 23:03:48 (S | E)
fonction périodique :
Lien Internet
Il faut montrer que f est périodique et que la période est π
on calcule f(x + π)
f(x + π) = 3cos[2(x + π) + π/2) = 3cos[2x + 2π + π/2] = 3cos[(2x +π/2) + 2π] = 3cos(2x + π/2) = f(x)
Car quel que soit θ cos (θ + 2π ) = cos θ
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