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Système, PPCM et PGCD
Message de lepsy posté le 10-07-2010 à 04:59:17 (S | E | F)
Message de lepsy posté le 10-07-2010 à 04:59:17 (S | E | F)
Bonjour,
Je sèche sur la 2ème partie de cet exercice:
1) Trouvez l'ensemble des entiers naturels qui divisent le nombre 276.
2) Trouvez les couples (x,y) qui vérifient le système suivant:
u + 3t = 276
et
10 < t < 30
u: est le PPCM (x,y)
t: est le PGCD (x,y)
Merci de m'aider.
Réponse: Système, PPCM et PGCD de fr, postée le 10-07-2010 à 12:43:04 (S | E)
Bonjour,
avez-vous déjà fait la question 1 ?
merci de la poster, dans ce cas ...
Ensuite, posez-vous la question suivante : que peut-on dire des facteurs premiers de t par rapport à ceux de u ...
Réponse: Système, PPCM et PGCD de heroszhen, postée le 10-07-2010 à 16:37:50 (S | E)
1) s=(1,2,3,4,6,12,23,46,69,92,138,276)
2)Il existe a' et b' tels que x=ta', y=tb', u=ta'b', xy=ut
u+3t=276: on remplace u par ta'b', cela donne ta'b'+3t=276
puis on met t en facteur: t(a'b'+3)=276, a' et b' sont premiers entre eux, donc t et (a'b'+3) sont des entiers divisant 276.
On sait que 10inferieur à t inférieur à 30, donc t=23(regarde les diviseurs de 276), donc (a'b'+3)=u=12,donc a'b'=9.
On sait que a' et b' sont premiers entre eux, en plus ils sont des entiers naturels divisant 9 donc a'=1 et b'=9 ou a'=9 et b'=1.
Donc x=ta'=23*1=23 et y=tb'=23*9=207
ou x=ta'=23*9=207 et y=tb'=23*1=23
Donc l'ensemble de solutions : x=23 et y=207 ou x=207 et y=23
Réponse: Système, PPCM et PGCD de lepsy, postée le 11-07-2010 à 00:30:00 (S | E)
...
J'ai fait comme ainsi:
Trouvez l'ensemble des entiers naturels qui divisent le nombre 276.
Decomposons 276.
| 276 | 2 |
| 138 | 2 |
| 69 | 3 |
| 23 | 23 |
| 1 |
=> 276 = 2 x 2 x 3x 23
Trouvez les couples (x,y) qui verifient le systeme suivant:
u + 3v =276
et
10 < v< 30
u: est le PPCM(x,y)
v:est le PGCD(x,y)
u = 207
La solution est: (23, 207)
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Modifie par lepsy le 11-07-2010 00:41
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Modifi� par lepsy le 11-07-2010 00:44
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Modifi� par lepsy le 11-07-2010 00:46
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Modifi� par lepsy le 11-07-2010 00:50
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Modifié par lepsy le 11-07-2010 00:52
Réponse: Système, PPCM et PGCD de fr, postée le 11-07-2010 à 03:13:16 (S | E)
Bonsoir,
en effet, le couple donné est une solution, mais il y en a d'autres ...
comme l'a dit heroszhen, pour la question 1) il faut donner tous les entiers qui divisent 276 ...
pour la seconde question, on a effectivement tous les facteurs du pgcd sont toujours inclus dans le ppcm, donc, on a forcément :
il existe un entier naturel k tel que u = kt, d'où la relation qui devient (k+3)*t = 276,
donc t fait partie des nombres donnés à la question 1) sachant qu'il faut qu'il soit compris strictement entre 10 et 30
23 est une solution, mais 12 est la seconde (il n'y en a pas d'autres ...)
(t ne doit pas forcément être premier)
avec t=12, on trouve 2 autres couples solutions ... (sans compter la commutativité)
ce qui fait 3 couples de solution, sachant que de plus on peut intervertir x et y, il y a donc 6 couples solutions en tout, en effet :
(23;207) est une solution, mais (207;23) aussi (à moins que dans l'énoncé on précise x<=y ...par exemple ...)
PS : lepsy : vous donnez une réponse sans donner la méthode pour la trouver ... (il faut rédiger ...)
Réponse: Système, PPCM et PGCD de lepsy, postée le 11-07-2010 à 03:24:15 (S | E)
...J'ai trouvé la solution sans me l'expliquer tout à fait! C'est ennuyant...!
C'est pour cela que j'ai posté...
Sinon, merci pour vos explications.
Réponse: Système, PPCM et PGCD de fr, postée le 11-07-2010 à 19:34:47 (S | E)
Bonjour,
Voici un peu plus d'explications :
on a donc la relation : (k+3)t=276, avec u=k*t ... et k entier naturel
comme t doit être compris enter 10 et 30 et que d'après la relation : (k+3)t=276 il doit diviser 276, on a donc t=12 ou t=23
1) pour t=23 : on a alors (k+3) = 276 / 23 = 12, d'où k =9
donc u = k*t = 9*23 = 207
on cherche donc tous les couples (x;y) tels que leur pgcd vaut 23 et leur ppcm = 207
pour cela il faut savoir que les facteurs du pgcd sont forcément compris dans les 2 nombres, ensuite, les facteurs qui sont dans le ppcm et pas dans le pgcd (ppcm / pgcd) sont dans un des nombre et PAS dans l'autre ....
la première solution est donc : 23 et 23 * 9 (ppcm / pgcd = k = 9 ici)
comme 9 est composé que d'un seul nombre premier (à une certaine puissance), on ne peut pas le distribuer sur x et y ... (sinon ils auront un autre facteur commun, donc le pgcd ne sera plus le même ...)
donc on a (x;y) compris dans { (23;207); (207;23) }
2) ensuite pour t=12, je vous laisse continuer :
-> que vaut k ?
comment peut-on décomposer k ? ...
quelles sont les autres solutions ...
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Modifié par fr le 12-07-2010 19:31
oups erreur de touche : il fallait bien sûr lire 23 et non 27 ....
Réponse: Système, PPCM et PGCD de lepsy, postée le 12-07-2010 à 15:40:48 (S | E)
Bonjour,
...
Pour t = 12 on a: (k+3)=276 / 12 = 23
et k = 20
Comme u = k * t = 20 * 12
u = 240
Ainsi, la 2ème solution est: (x;y) est compris dans {(12;240);(240;12)}
Existe-t-il d'autres solutions?
Vous parliez de commutatitivité...! Peux-t-on avoir aussi ces couples de solution: {(23;240);(240;23)};{(12;207);(207;12)} ?
Quant à décomposer k...?
Réponse: Système, PPCM et PGCD de fr, postée le 12-07-2010 à 19:39:26 (S | E)
Bonjour,
oui pour les couples trouvés {(12;240);(240;12)}, mais il en reste 2 autres ... : il faut décomposer k :
la commutativité c'est à l'intérieur du couple : si (12;240) est solution, alors (240;12) aussi !
pour voir si les autres couples conviennent : (23;240);(240;23);(12;207) et (207;12) vous pouvez trouver la réponse : il suffit de calculer le ppcm et le pgcd de chacun des couples et voir s'ils vérifient la relation ...
parfois au lieu de se poser des questions trop "complexes", il suffit de tester les solutions ...
k=2² * 5, il y a donc la possibilité de mettre 2² dans un des nombres (x ou y) et 5 dans l'autre ... (à multiplier avec le pgcd, bien sûr)
compris ? (on ne peut pas séparer 2² : 2 dans l'un et dans l'autre cela changerait le Pgcd et le ppcm, ni mettre 2 dans un et 2² dans l'autre : le ppcm est inchangé, mais le pgcd, lui, changerait ...
Quant à la présentation des solutions, la syntaxe exacte est (sauf erreur) :
S ensemble de solution :
S = {(23;207);(207;23);(12;240);(240;12)} sauf qu'il en manque encore 2 ...
En espérant vous avoir aidé ...
PS : question subsidiaire (pour votre culture ...)
Que valent le ppcm et le pgcd de u et t ? (avec u ppcm de (x;y) et t pgcd de (x;y) )
A votre avis est-ce une propriété générale ?
(quid si on a une relation du genre u = k*t, avec k entier naturel ... ?)
Réponse: Système, PPCM et PGCD de lepsy, postée le 12-07-2010 à 22:29:52 (S | E)
Bonjour,
J'ai 52 ans d'âge et je n'ai pas fait de maths depuis celui de 19 ans, c'est dire..! Cependant, je suis en formation par correspondance et à titre personnel (BTS en Marketing) et, forcément, les Maths en font partie!
Je fais des efforts en postant ici et là...escomptant des retours de mémoire!
Parfois ça revient mais souvent pas....! C'est le cas des Mathématiques: c'est comme si je n'en avais jamais fait!!!! Et c'est ennuyant...ces trous noirs!!!
Sinon, j'accepte vos reproches si vous acceptez d'être indulgent(e).
Je dois aussi dire que vous m'avez permis de résoudre cet exercice (combien même il serait banal!) et pour cela je ne saurais vous faire montre de ma sincère reconnaissance!
Finalement la 3ème solution est la suivante (si t n'était pas compris entre 10 et 30):
Pour t = 2 (k+3)= 276 / 2
k = 135
or u = k*t,
donc u = 135 * 2
u = 270
Vérif:
u + 3t = 276
270 + 3*2 = 276
Bingo!
Les couples de solution sont finalement:
(x;y) sont compris dans: {(23;207);(207;23);(12;240);(240;12);(2;270);(270;2)}
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Modifié par lepsy le 12-07-2010 22:38
Réponse: Système, PPCM et PGCD de fr, postée le 13-07-2010 à 18:49:08 (S | E)
Bonjour,
Non il faut toujours prendre t entre 10 et 30, donc t=2 ne convient pas (sinon on aurait aussi le couple (69;69) par exemple et d'autres)
non l'autre solution est avec t=12, on a k=20
or 20=4*5 (=2²*5), donc si on considère 4*12 et 5*12, je vous laisse continuer
dans ce cas, comme 4 et 5 sont premiers entre eux, on ne change ni le pgcd ni le ppcm ...
Conclusion : une fois trouvé le facteur k entre le pgcd et le ppcm il faut décomposer k en facteurs et premiers et trouver tous les couples qui incluent tous les facteurs de k, tout en restant premiers entre eux.
par exemple SI on avait eu k=60=2²*3*5
on aurait la possibilité de multiplier le pgcd par respectivement :
1 et 2²*3*5 : 1 et 60
2² et 3*5 : 4 et 15
2²*3 et 5 : 12 et 5
2²*5 et 3 : 20 et 3
3 et 2²*5 : 3 et 20
5 et 2²*3 : 5 et 12
3*5 et 2² : 15 et 4
2²*3*5 et 1 : 60 et 1
Avez-vous compris ?
Réponse: Système, PPCM et PGCD de lepsy, postée le 14-07-2010 à 13:00:09 (S | E)
Bonjour,
Il me semble que les couples de solution (tant que t>10 et t<30) soient:
S:{(23;207);(207;23);(12;240);(240;12)}...
Or, vous parliez d'un 3ème couple...par "décomposition" k?
J'avoue ne pas avoir saisi votre démonstration ni la possibilité qu'il puisse y avoir un 3ème couple..puisque t doit être compris entre 10 et 30!
Merci pour vos réponses et votre patience.
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Modifié par lepsy le 16-07-2010 13:58
Réponse: Système, PPCM et PGCD de fr, postée le 15-07-2010 à 17:47:46 (S | E)
Bonjour,
désolé pour la réponse tardive.
votre souci vient certainement du fait que vous pensez que pour un t donné, il n'y a qu'une solution, cela revient à croire qu'il n'y a qu'un couple d'entiers qui ont le même pgcd et le même ppcm, or ce n'est pas le cas :
exemple : vous pouvez vérifier que les couples suivants ont les même ppcm et pgcd :
17 et 510
34 et 255
51 et 170
85 et 102
ici pour t=12 vous avez k=20=4*5
voici le couple (essayez de le trouver avant de regarder : (48;60)
Réponse: Système, PPCM et PGCD de lepsy, postée le 17-07-2010 à 01:19:39 (S | E)
Bonjour,
Je n'y arrive pas!
Désolé....
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Modifié par lepsy le 17-07-2010 01:20
Réponse: Système, PPCM et PGCD de fr, postée le 18-07-2010 à 13:53:17 (S | E)
Bonjour Lepsy,
désolé pour la réponse tardive, voici quelques explicatons complémentaires :
on a vu que les valeurs de t qui satisfont les équations initiales sont :
(t=12 avec u=240) et (t=23 avec u=207).
il s'agit donc de trouver tous les couples (x;y) qui satisfont :
ppcm(x;y) = 240 et pgcd(x;y) = 12
OU
ppcm(x;y) = 207 et pgcd(x;y) = 23
on a évidemment (x;y) = (12,240) et (240;12) qui satisfont le premier cas
on a aussi (x;y) = (23;207) et (20;23) qui satisfont le second cas
Par contre, il faut savoir que plusieurs couples peuvent avoir le même ppcm et le même pgcd.
exemple :
17 et 510
34 et 255
51 et 170
85 et 102
ppcm (17;510) = 510 et pgcd = 17 en effet : 510 = 2*3*5*17
ppcm (34;255) = 510 et pgcd = 17, en eddet : 34 = 2*17 et 255 = 3*5*17
ppcm (51;170) = 510 et pgcd = 17, en effet : 51 = 3*17 et 170 = 2*5*17
ppcm (85;102) = 510 et pgcd = 17, en effet : 85 = 17*5 et 102 = 2*3*17
que constate-t-on ?
tous les nombres sont multiples de 17 c-à-d du pgcd
les facteurs du rapport du ppcm / pgcd = 510/17 = 30 sont 2, 3 et 5
donc en conclusion : les couples qui ont 17 et 510 pour respectivement pgcd et ppcm vérifie :
les facteurs premiers du rapportppcm / pgcd à savoir 2 , 3 et 5 sont distribués soit sur x soit sur y, mais pas sur les 2
Pour en revenir à votre problème :
dans le cas de t=12, ce rapport vaut 20=2²*5
on peut donc distribué les facteurs premiers soit sur x soit sur y :
si on met tous les facteurs sur y, on obtient :
(x=12; y =12*2²*5=240)
si on met tous les facteurs sur x on obtient :
(x=12*2²*5=240;y=12)
si on met 2² sur x et 5 sur y, on obtient :
(x=12*2²=48; y =12*5=60)
si on met 5 sur x et 2² sur y, on obtient :
(x=12*5=60; y=12*2²=48)
D'où l'ensemble des solutions ...
Avez-vous mieux compris ?
Avez-vous encore des questions ?
Réponse: Système, PPCM et PGCD de lepsy, postée le 19-07-2010 à 06:52:05 (S | E)
Bonjour,
Parfait!
J'ai finalement compris votre procédure.
Ainsi, les couples (x,y) sont:
S:{(48;60);(60;48);(23;207);(207;23);(12;240);(240;12)}
Je vous en remercie.
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