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Suites
Message de charlemagne91 posté le 04-09-2010 à 13:38:53 (S | E | F)
Bonjour,
Tout d’abord une bonne rentrée à tous ceux qui m’aident depuis la classe de 3ème ! J’ ai une DM qui sert de rappel de l’année dernière et sur les suite j’ ai beaucoup de mal.
Pouvez-vous m’aidez s’il vous plait ?
Ex 1 :
Un la suite définie sur N par
Uo= O U1 = 5 et pour tout n, Un+2= 3 Un+1 -2Un
1)
Calcul de U2 :
Un+2=3Un+1 -2UN
U0+2 = 3Uo+1-2Uo
U2=3U1
=15
Avec la même rédaction :
U3=35
U4=75
La suite Un est elle arithmétique ? justifier .
Pouvez-vous m’aidez s’il vous plaît ?
Merci
Message de charlemagne91 posté le 04-09-2010 à 13:38:53 (S | E | F)
Bonjour,
Tout d’abord une bonne rentrée à tous ceux qui m’aident depuis la classe de 3ème ! J’ ai une DM qui sert de rappel de l’année dernière et sur les suite j’ ai beaucoup de mal.
Pouvez-vous m’aidez s’il vous plait ?
Ex 1 :
Un la suite définie sur N par
Uo= O U1 = 5 et pour tout n, Un+2= 3 Un+1 -2Un
1)
Calcul de U2 :
Un+2=3Un+1 -2UN
U0+2 = 3Uo+1-2Uo
U2=3U1
=15
Avec la même rédaction :
U3=35
U4=75
La suite Un est elle arithmétique ? justifier .
Pouvez-vous m’aidez s’il vous plaît ?
Merci
Réponse: Suites de iza51, postée le 04-09-2010 à 13:57:36 (S | E)
bonjour Charlemagne
ok pour les premiers termes
tu calcules ensuite les différences entre deux termes consécutifs
car une suite est arithmétique s'il existe une constante r telle que pour tout entier naturel n,
les termes: 0, 5, 15, 35, 75
les différences: 5,10, 20, 40
la différence entre deux termes consécutifs n'est pas constante donc ...
Réponse: Suites de charlemagne91, postée le 04-09-2010 à 14:02:58 (S | E)
donc la suite n'est pas arithmétique.
est - elle géométrique?
Comme Un+1=qxUn
Je fais Un+ 1/ Un
Comme ça ne marche pas, elle ne l'est pas?
Merci beaucoup pour votre aide
Réponse: Suites de taconnet, postée le 04-09-2010 à 14:12:51 (S | E)
Bonjour.
Plus généralement vous pouvez écrire :
Un+2 - Un+1 = 3Un+1 - 2Un -Un+1 = 2Un+1 - 2Un = 2(Un+1 - Un)
D'où la conclusion.
Réponse: Suites de charlemagne91, postée le 04-09-2010 à 14:20:47 (S | E)
Bonjour Taconnet, j'espère que vous avez passé de bonnes vacances. C'est très gentil de continuer à m'aider.
La conclusion?
ce n'est pas une constante ? c'est ça ?
Réponse: Suites de taconnet, postée le 04-09-2010 à 14:30:27 (S | E)
On constate bien que :
Un+2 - Un+1 ≠ Un+1 - Un
Réponse: Suites de charlemagne91, postée le 04-09-2010 à 14:32:08 (S | E)
D'accord, je vois.
Je fais pareil pour montrer que ce n'est pas géométrique?
Réponse: Suites de charlemagne91, postée le 04-09-2010 à 14:35:36 (S | E)
En fait ce sera plus simple que je fasse avec les divisions qui ne font pas de cst
Réponse: Suites de charlemagne91, postée le 04-09-2010 à 15:17:21 (S | E)
J’ ai marqué
a-t’on un+1 / un =q
j’ ai testé avec
15/5
7/3
Donc un+1 /Un # cst et Un n’est pas géométrique
Je vais poster la suite du DM . La rédaction ici va ?
Réponse: Suites de charlemagne91, postée le 04-09-2010 à 15:20:13 (S | E)
Voilà:
Vn= Un+1 -Un
Calculer Vo
V1
V2
Je trouve 5, 10 et 20 . C’est juste ?
Réponse: Suites de taconnet, postée le 04-09-2010 à 15:32:02 (S | E)
Dans le second cas (suite géométrique), plus complexe, il faut rechercher s'il existe des suites géométiques qui vérifient la relation donnée.
On note S l'ensemble de ces suites
On désigne par U0 le premier terme de cette suite et par q sa raison.
Ainsi:
Un = U0qn
Un+1 = U0qn+1
Un+2 = U0qn+2
En remplaçant Un , Un+1 , Un+2 dans l'expression proposée et en remarquant que U0 et q sont différents de 0, on obtient une relation du type :
q² - 3q + 2 = 0
appelée équation caractéristique
Vérifiez alors que les deux suites géométriques suivantes:
Un = U0(1)n
Un = U0(2)n
sont des éléments de S
Réponse: Suites de charlemagne91, postée le 04-09-2010 à 15:40:15 (S | E)
Je ne vois pas trop comment on obtient la cartésienne et ce que c'est que S !
Réponse: Suites de charlemagne91, postée le 04-09-2010 à 15:58:42 (S | E)
En fait je ne comprend pas du tout les suites géométriques car nous les avons fait très vite l'an passé, sans faire de contrôle dessus et là, nous n'avons pas eu de rappel de première.
Réponse: Suites de taconnet, postée le 04-09-2010 à 16:13:40 (S | E)
Dire qu'il existe une suite géométrique qui vérifie la relation donnée, c'est dire que l'on peut trouver un réel q ≠ 0 tel que :
en divisant les deux membres de la relation donnée par Un+1, on obtient :
soit :
soit finalement:
q² - 3q + 2 = 0 qui admet deux racines : 1 et 2
Voici un lien :
Lien Internet
Réponse: Suites de charlemagne91, postée le 04-09-2010 à 16:40:59 (S | E)
Pourquoi 2/q
Réponse: Suites de charlemagne91, postée le 04-09-2010 à 16:43:27 (S | E)
et le fait qu'il y est 2 racines montre qu'elle n'est pas géométrique? On ne peux pas le faire avec juste
Un+1/Un
et 3#7/3
Réponse: Suites de charlemagne91, postée le 04-09-2010 à 16:58:31 (S | E)
Je vois, 2/q car Un/Un+1 = 1/q
Réponse: Suites de charlemagne91, postée le 04-09-2010 à 17:10:37 (S | E)
Je résume ce que nous venons de dire:
Pour prouver que Un+2 =3Un+1-2Un
Je dois prouver que le terme d’après / celui juste avant = cst
Là je trouve ce que vous m’indiquez :
q= 3-2/q
je le met sous forme d’équation de degré 2 (cartésienne)
et les solutions sont 1 et 2 .
Ensuite je ne vois pas ce que l’on doit vérifier.
Et je ne comprend pas pourquoi ce qu’on faisait avant ne marche pas :
« a-t’on un+1 / un =q
j’ ai testé avec
15/5
7/3
Donc un+1 /Un # cst et Un n’est pas géométrique »
Si là ça bloque, elle ne peux pas être géométrique. Si ?
Réponse: Suites de taconnet, postée le 04-09-2010 à 20:25:31 (S | E)
Il serait plus simple de proposer l'énoncé complet de ce DM.
Réponse: Suites de charlemagne91, postée le 04-09-2010 à 21:03:54 (S | E)
pas de problèmes:
Soit Un avec Uo=O, U1=5 et pour tout n entier naturel Un+2=3Un+1-2Un
1) calcul de U2, U3, U4
la suite est elle arithmétique, géométrique
2) soit Vn définie par Vn=Un+1-Un
a)calculer V0, V1, V2
b)démontrer que Vn est géométrique , préciser la raison
Exprimer vn en fonction de n
3) soit wn la suite définie par wn=Un+1-2Un
quelle est la nature de Wn .
4) déduire Un en fonction de n
5) soit n entier naturel, et Sn=U0+U1+U2+...+Un
exprimer Sn en fonction de n
merci de votre aide
je bloque sur la 1 là où vous savez, la 2 et 3 j'ai fais, la 4 et 5 je bloque.
Réponse: Suites de taconnet, postée le 05-09-2010 à 10:05:27 (S | E)
Bonjour.
Quels sont les résultats que vous avez trouvés aux questions 2 et 3 ?
2- Vn est une suite géométrique.
(Avez-vous déterminé le premier terme et la raison)
Comment s'exprime Vn en fonction de n ?
3- Wn = Un + 1 - 2Un
Que dire de Wn? Pourquoi ?
Réponse: Suites de charlemagne91, postée le 05-09-2010 à 10:21:02 (S | E)
2)
a) Vn= Un+1 -Un
Calculer Vo
V1
V2
Je trouve 5, 10 et 20 . C’est juste ?
b) est elle géométrique ?
Vn+1=Un+2 –Un+1
Vn+1/Vn = Un+2-Un+1/Un+1-Un
Je remplace par ce qu’on a avant dans la première suite
Et je trouve
= 2
Donc géométrique de raison 2
Comment je trouve le premier terme?
Comment on fait pour savoir si c’est géométrique ou arithmétique pour avoie une petite idée avant de faire les démonstrations ?
Exprimer Vn en fonction de n
Je trouve Vn=10^n
Est_ce juste ?
3) Wn+1/Wm=1 donc la suite est géométrique de raison 1
Je ne sais pas trouver le premier terme...
merci de votre aide
Réponse: Suites de charlemagne91, postée le 05-09-2010 à 10:35:50 (S | E)
j 'ai trouvé le premier terme de V. Vo=5 ! c'est calculé avant !
Réponse: Suites de charlemagne91, postée le 05-09-2010 à 11:00:37 (S | E)
question 4
Un = -(10^n+5^n)
c'est ça ?
Réponse: Suites de taconnet, postée le 05-09-2010 à 11:55:20 (S | E)
En utilisant la remarque qui figure dans mon premier post, vous pouvez affirmer que :
Vn = Un+1 -Un
est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme V0 = 5
donc
(Vérifiez, à l'aide de cette formule que l'on retrouve bien les valeurs V0 ; V1 ; V2 ; V3 ; V4 calculées précédemment.)
En ce qui concerne Wn, il s'agit aussi d'une progression géométrique
de raison 1 et de premier terme W0 = 5
Il s'ensuit que :
Remarquer alors que Wn = Un+1 - 2Un peut s'écrire Wn = (Un+1 - Un) - Un
or
Vn = Un+1 - Un = ...(Écrivez Vn en fonction de n)
donc
5 = Vn - Un
soit finalement
Un = Vn - 5
Le calcul de Sn est facile.
Réponse: Suites de charlemagne91, postée le 05-09-2010 à 13:50:28 (S | E)
Merci, vraiment beaucoup:
Vn=5x2^n
Un=5x2^n -5
5) pour la somme, on peut utiliser la formle avec Vn
Sv= (Vox1-q^nb de termes)/1-q
Sv= -5-2^n
Sn=Sv-5
Sn=-5-2^n-5
Sn=-10-2^n
Ce sont les bonnes réponses?
Réponse: Suites de taconnet, postée le 05-09-2010 à 14:44:10 (S | E)
Vous avez trouvé :
Un = 5*2n - 5
donc
U0 = 5*20 - 5
U1 = 5*21 - 5
U2 = 5*22 - 5
U3 = 5*23 - 5
............
............
Un = 5*2n - 5
donc
Sn = 5(20 + 21 + 22 + 23 +...+ 2n)- 5n
Dans les parenthèses figure la somme des termes d'une progression géométrique de raison 2 et de premier terme 1
Je vous laisse terminer le calcul.
Réponse: Suites de charlemagne91, postée le 05-09-2010 à 14:53:52 (S | E)
je suis vraiment désolé mais je ne comprend pas trop ce que je dois faire...
Réponse: Suites de taconnet, postée le 05-09-2010 à 15:14:02 (S | E)
Il suffit de calculer :
20 + 21 + 22 + 23 + ... + 2n = ...
Voici des liens :
Lien Internet
Lien Internet
Réponse: Suites de charlemagne91, postée le 05-09-2010 à 15:24:15 (S | E)
En fait je vien de comprendre 5 n
c'est car on retir 5 à chaque fois, n fois.
Mais pourquoi la grande parenthèse, la formule donne : (5-2^n)/-1
en fait je ne comprend toujours pas
Réponse: Suites de charlemagne91, postée le 05-09-2010 à 15:28:42 (S | E)
La réponse est ((-5-2^n)/-1)-5n
=-5+2^n-5n
=2^n-5n-5
c'est ça ?
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