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Suites et propriétés
Message de charlemagne91 posté le 05-09-2010 à 15:15:01 (S | E | F)
Bonjour,
Un exercice me pose problème, pouvez-vous m'aider?
1)Soit Un une suite définie sur N.
Démontrer : si Un est arithmétique, si r est la raison, alors pour tout entier naturel n non nul :
Un=(Un-1+Un+1)/2
2) Soit Un tq pour tout n , Un=(Un-1+Un+1)/2
Soit Vn = Un+1-Un
Quelle est la nature de Vn ?
3) la réciproque du 1) est-elle vrai ?
4) Wn est une suite géométrique. Wo (1er terme) est positif et la raison q aussi.
Mq pour tout n Wn= racine de Wn-1 x Wn+1
5) réécrire la propriété précédente avec une suite géométrique de raison positive mais de 1 terme négatif
J’ai commencé le 1)
Un+1= Un+r
Un= Un+1-r
Un-1+r=Un
Ensuite j’ai fait avec 2Un=... et ça a marché
Par contre le 2) je bloque. Pouvez-vous m’aider un peu s’il vous plait que je puisse faire le 3) ?
Merci d’avance .
Message de charlemagne91 posté le 05-09-2010 à 15:15:01 (S | E | F)
Bonjour,
Un exercice me pose problème, pouvez-vous m'aider?
1)Soit Un une suite définie sur N.
Démontrer : si Un est arithmétique, si r est la raison, alors pour tout entier naturel n non nul :
Un=(Un-1+Un+1)/2
2) Soit Un tq pour tout n , Un=(Un-1+Un+1)/2
Soit Vn = Un+1-Un
Quelle est la nature de Vn ?
3) la réciproque du 1) est-elle vrai ?
4) Wn est une suite géométrique. Wo (1er terme) est positif et la raison q aussi.
Mq pour tout n Wn= racine de Wn-1 x Wn+1
5) réécrire la propriété précédente avec une suite géométrique de raison positive mais de 1 terme négatif
J’ai commencé le 1)
Un+1= Un+r
Un= Un+1-r
Un-1+r=Un
Ensuite j’ai fait avec 2Un=... et ça a marché
Par contre le 2) je bloque. Pouvez-vous m’aider un peu s’il vous plait que je puisse faire le 3) ?
Merci d’avance .
Réponse: Suites et propriétés de taconnet, postée le 05-09-2010 à 16:05:45 (S | E)
Bonjour.
1- C'est une question de cours.
Lien Internet
Voir le §
Comment démontrer qu'une suite est arithmétique ?
2- calculer Vn+1 et montrez que quel que soit n , Vn+1 = Vn
donc
Un+1 - Un = Cste
3- Que dire alors de la réciproque ?(faire référence à 1-)
Réponse: Suites et propriétés de walidm, postée le 05-09-2010 à 16:22:41 (S | E)
Suites et propriétés
Bonjour,
1) on a pour n>1 : Un+1=Un+r ; Un-1=Un-r
par addition on obtient : Un+1-Un-1=2Un donc : Un=1/2(Un+1-Un-1).
2)Pour tout n de N: Vn=Un+1-Un
la suite Un est arithmétique par hypothèse alors: Vn=r (la raison)nombre réel
Et donc Vn est une suite constante.
3)Si pour tout n : Un+1-Un=r un certain nombre réel , c'est exactement la définition Un+1=Un+r=u0+nr , Un est nécessairement une suite arithmétique.
4)On peut écrire Wn=aq^n Alors : Wn-1*Wn+1=aq^(n+1)*aq^(n-1)=a^2q^(2n)=(aq^n)^2
Alors : Wn= racine de Wn-1*Wn+1.
5)Si W0<0 pour tout n Wn<0 (q>0) Avec le même raisonnement que dans la question 4 On peut écrire Wn=-racine(Wn-1*Wn+1)
J'espère que je t'ai donné quelques idées. Bonne chance!
Réponse: Suites et propriétés de charlemagne91, postée le 05-09-2010 à 16:50:28 (S | E)
Merci de votre aide à tous, taconet, votre lien est super car il y a des ex des deux méthodes...
Donc je reprends
1) C'est ok
2)
Vn+1= Un+2-Un+1
Vn+1-Vn= O
Donc Vn+1=Vn
La raison vaut donc O et la suite est arithmétique et constante.
3) je m'embrouille et je ne comprend plus, tout semble être = à O...
Réponse: Suites et propriétés de taconnet, postée le 05-09-2010 à 16:53:57 (S | E)
Bonjour Walidm
Vous avez écrit :
2)Pour tout n de N: Vn=Un+1-Un
la suite Un est arithmétique par hypothèse alors: Vn=r (la raison)nombre réel
Et donc Vn est une suite constante.
Cette assertion est manifestement fausse
Un n'est pas par hypothèse une suite arithmétique.
C'est simplement une suite qui vérifie la relation :
Il faut donc montrer que la suite :
Vn = Un+1 - Un est une suite constante
Réponse: Suites et propriétés de charlemagne91, postée le 05-09-2010 à 17:20:36 (S | E)
Je devrai trouver
Vn=Un+1-Un=O
mais je trouve
Un+1-Un= (Un+2)/2
Réponse: Suites et propriétés de charlemagne91, postée le 05-09-2010 à 17:41:08 (S | E)
je trouve un autre truc:
Vn+1-Vn= Un+2-Un
ça peux aider où je fais fausse route?
Réponse: Suites et propriétés de taconnet, postée le 05-09-2010 à 18:11:25 (S | E)
On a :
Vn = Un+1 - Un
Donc
Vn+1 = Un+2 - Un+1
Connaissant Un il faut obtenir Un+2
On sait que :
2Un = Un+1 + Un-1
donc
2Un+1 = Un+2 + Un
soit
Un+1 - Un = Un+2 - Un+1
(on fait passer Un+1 dans le second membre et Un dans le premier)
Vous noterez que:
2Un+1 =Un+1 + Un+1
soit finalement
Vn = Vn+1
Ce qui montre que Vn est constante.
Réponse: Suites et propriétés de charlemagne91, postée le 05-09-2010 à 18:13:38 (S | E)
Merci vraiment ENORMEMENT !
Je vais réfléchir à la suite!
Réponse: Suites et propriétés de charlemagne91, postée le 05-09-2010 à 18:24:45 (S | E)
Une suite constante est arithmétique de raison 0 où géométrique de raison 1 ?
Réponse: Suites et propriétés de charlemagne91, postée le 06-09-2010 à 08:09:09 (S | E)
rédaction du 3)
Vn+1=Vn
donc Un+1-Un=O
c'est ne cst nulle qui répond à la déf Un+1=Un+r
donc Un est arithmétique ce qui vérifie la propriété du 1)
est-ce que la justification est juste?
merci d'avance
Réponse: Suites et propriétés de charlemagne91, postée le 06-09-2010 à 08:27:52 (S | E)
Voilà le 4)
Wn+1 = qx Wn
Wn-1=Wn/q
en passant Wn seul à gauche je trouve:
Wn²=(Wn+1xWn-1xq)/q
donc Wn=racine de Wn+1 x Wn-1
où -racine de... est ce que je dois mettre le -racine de...et préciser que on ne met pas de - sous la racine où pas?
et pour le 5) avez-vous un indice?
merci d'avance
Réponse: Suites et propriétés de walidm, postée le 06-09-2010 à 10:38:08 (S | E)
bonjour,
Merci taconnet pour votre remarque.
Vn est bien une suite constante; vous l'avez montré.
Bonne chance à tous!
Réponse: Suites et propriétés de charlemagne91, postée le 06-09-2010 à 19:47:42 (S | E)
J' ai encore fait une immense faute,
Un+1-Un = V = cst mais pas égale à O.
Sinon, c'est mieux, aidez-moi à fini, s'il-vous-plait...
Réponse: Suites et propriétés de charlemagne91, postée le 06-09-2010 à 20:29:07 (S | E)
Walidm , tu m'as aussi beaucuop aidé...Quand je dis Wo
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