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DM suite Terminale S
Message de titou22 posté le 11-09-2010 à 12:49:54 (S | E | F)
Bonjour à tous,
Un est la suite définie par Uo = 1 et U(n+1) = racine(2+Un) pour tout n non nul.
1. Démontrez que pour tout n naturel, 0 <(ou égal) Un <(ou égal) 2 .
2. Prouvez que la suite est strictement croissante.
JE ne sais pas comment résoudre la question 1.
Merci de votre aide.
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Modifié par bridg le 11-09-2010 12:52
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Modifié par lucile83 le 11-09-2010 14:13
orthographe titre
Message de titou22 posté le 11-09-2010 à 12:49:54 (S | E | F)
Bonjour à tous,
Un est la suite définie par Uo = 1 et U(n+1) = racine(2+Un) pour tout n non nul.
1. Démontrez que pour tout n naturel, 0 <(ou égal) Un <(ou égal) 2 .
2. Prouvez que la suite est strictement croissante.
JE ne sais pas comment résoudre la question 1.
Merci de votre aide.
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Modifié par bridg le 11-09-2010 12:52
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Modifié par lucile83 le 11-09-2010 14:13
orthographe titre
Réponse: DM suite Terminale S de taconnet, postée le 11-09-2010 à 13:36:04 (S | E)
Bonjour.
Vous devez faire une démonstration par récurrence.
Voici des exemples :
Lien Internet
Lien Internet
Lien Internet
Lien Internet
Lien Internet
Lien Internet
Après avoir étudié avec soin tous ces liens, la démonstration par récurrence n'aura plus de secret pour vous.
Réponse: DM suite Terminale S de titou22, postée le 11-09-2010 à 14:32:23 (S | E)
Bonjour, je pensais utiliser la récurrence pour la question 2 mais je ne vois pas comment formuler pour l'utilise à la question 1
Réponse: DM suite Terminale S de taconnet, postée le 11-09-2010 à 14:40:14 (S | E)
Avez-vous étudié tous les liens avec soin ?
Je ne le pense pas !
Revoyez le dernier lien.
Réponse: DM suite Terminale S de titou22, postée le 11-09-2010 à 14:50:38 (S | E)
Oui !
D'accord donc :
-On vérifie pour n=1 car la consigne dit pour tout n non nul.
Donc on a U1=racine(2+1)=racine(3)
La propriété est vraie pour n=1 car U1 est compris entre 0 et 2.
-on suppose que pour un rang n la propriété est vraie.
Et là je fais comment ?
Réponse: DM suite Terminale S de walidm, postée le 11-09-2010 à 14:51:58 (S | E)
bonjour,
1)U0 appartient à [0,2].
soit n un entier naturel, si on suppose la proposition vraie pour n: Un appartient à [0,2] alors tu encadres U(n)+2 puis tu passe à la racine, et tu conclues U(n+1) appartient aussi à [0,2]. Par récurrence on a alors le résultat.
2)pose Vn=U(n+1)-Un et montrer par le même raisonnement que cette suite est positive c.à.d: pour tout n de N Vn>=0 ; en déduire que pour tout n Un+1>Un.
J'espère vous avoir aidé!
Réponse: DM suite Terminale S de titou22, postée le 11-09-2010 à 15:01:32 (S | E)
Merci walidm de ton aide mais tu m'as légèrement pommé ^^
De plus j'arrive pas à trouver la formule explicite pourtant j'ai U0=1, U1=racine(3), U2=raine(2racine3)...
Réponse: DM suite Terminale S de walidm, postée le 11-09-2010 à 15:43:02 (S | E)
0
Merci.
Pour l'écrire sur ma copie y'a une présentation ?
Ou je peux mettre :
U0 appartient à [0,2] car U0 = Racine(1)
Soit n un entier naturel, si on suppose la proposition vraie pour n:
Un appartient à [0,2] alors tu encadres U(n)+2 puis tu passe à la racine, et tu conclues U(n+1) appartient aussi à [0,2]. Par récurrence on a alors le résultat.
Ce qui est en gros je ne comprends pas trop
Réponse: DM suite Terminale S de walidm, postée le 11-09-2010 à 15:57:13 (S | E)
l'idée est là mais la présentation et des petites retouches c'est à toi de les ajouter. Tu t'y habitueras ,à ce genre de raisonnement. aie confiance en tes ressources.
Bon courage!
Réponse: DM suite Terminale S de taconnet, postée le 11-09-2010 à 16:33:43 (S | E)
Voici ce qu'il faut écrire :
Démontrons par récurrence que pour tout n , élément de N, on a :
1- Pour n = 0 on a U0 = 1
Donc
U0 < 2
2- On suppose que Un < 2
3- Ainsi
Un < 2 <══> Un + 2 < 2 + 2 <══> Un +2 < 4
Un + 2 étant essentiellement positif alors
Donc
Un < 2 ══> Un + 1 < 2
Ce qui achève la démonstration.
Réponse: DM suite Terminale S de titou22, postée le 11-09-2010 à 18:11:08 (S | E)
D'accord merci pour cette exemple. Je vais devoir me familiariser avec cette récurrence !
Pour prouver que la suite est strictement croissante on fait Un+1-Un > 0 ?
Réponse: DM suite Terminale S de taconnet, postée le 11-09-2010 à 18:26:09 (S | E)
En effet pour montrer que cette suite est croissante il faut montrer que pour tout n de N on a :
Un+1 > Un
Il y a plusieurs manières de le prouver.
Réponse: DM suite Terminale S de titou22, postée le 11-09-2010 à 18:28:14 (S | E)
D'accord dans le cours j'ai la différence.
Donc :
Un+1 - Un = racine(2+Un) - 1
Un+1 - Un = BUG ! Comment je fais avec ce Un ?
Réponse: DM suite Terminale S de taconnet, postée le 11-09-2010 à 19:09:13 (S | E)
Voici le début d'une méthode
Vous devez montrer que
Un+1 > Un
Déterminons alors le signe de la différence :
Un+1 - Un
Le signe de cette différence est le même que celui du produit :
(Un+1 - Un)(Un+1 + Un)
Car le facteur (Un+1 + Un)est positif
Il vous reste donc à prouver que :
Un + 2 - U²n est positif
Indications:
2 = 1+1
x²-y² = (x+y)(x-y)
Réponse: DM suite Terminale S de titou22, postée le 11-09-2010 à 19:46:50 (S | E)
Ah faut en produit, d'accord.
Bhin y'a juste à dire que un carré est toujours positif.
Un est toujours positif car n appartient à R*
2 est un nombre positif
Non?
Réponse: DM suite Terminale S de walidm, postée le 12-09-2010 à 10:18:38 (S | E)
Bonjour à tous ! Taconnet c'est la suite de votre raisonnement?
pour tout n Vn=U(n+1)-Un est positif car :
Vn est de même signe que [U(n+1)-Un]*[U(n+1)+Un]=U(n+1)^2-Un^2 Un>=0
=(Un)+2-(Un)^2
=(Un)+1+1-(Un)^2
=(Un)+1+[(Un)+1]*[1-(Un)]
=[(Un)+1]*[2-(Un)]
1)-------------->0<=Un<=2 ====> 0 <=2-Un et 1<=1+Un <=3
===> 0<=[(Un)+1]*[2-(Un)]
====> 0<=Vn
====> Un
Merci à vous.
A partir d'ici de comprends pas très bien :
1)-------------->0<=Un<=2 ====> 0 <=2-Un et 1<=1+Un <=3
===> 0<=[(Un)+1]*[2-(Un)]
====> 0<=Vn
====> Un
Réponse: DM suite Terminale S de walidm, postée le 12-09-2010 à 13:59:45 (S | E)
Dans cette inégalité Un<2 qui est vraie, on fait passer Un de l'autre côté ça d'une part ;
de l'autre,le passage 0<=Un<=2 ====> 1<=1+Un <=3 est clair : on ajoute le même terme aux 2 parties de l'inégalité.
On finit en utilisant la propriété: le produit de 2 nombres positifs est positif. J'espère que c'est clair maintenant. Bonne chance.
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Modifié par walidm le 12-09-2010 17:56
Réponse: DM suite Terminale S de taconnet, postée le 12-09-2010 à 14:33:22 (S | E)
Il faut démontrer que :
Un + 2 - U²n est positif.
Cette expresion s'écrit :
Un + 1 + 1 - U²n
ou encore
(Un + 1) + (1 + Un)( 1 - Un)
on met en évidence le facteur (Un + 1)
Donc
Un + 2 - U²n = (Un + 1)(1 + 1 - Un)
Un + 2 - U²n = (Un + 1)(2 - Un)
or
(Un + 1) est positif Un > 0 donc Un + 1 > 0
et nous avons démontré que 2 > Un
Ainsi les deux facteurs de ce produit sont positifs leur produit est donc positif.
Ceci achève la démonstration.
Réponse: DM suite Terminale S de titou22, postée le 12-09-2010 à 15:05:08 (S | E)
et nous avons démontré que 2 > Un
Nous avons démontré que 2 était positif car 1+1 mais comment on peut affirmer qu'il est supérieur à Un ?
Réponse: DM suite Terminale S de taconnet, postée le 12-09-2010 à 16:16:10 (S | E)
Avez-vous suivi de façon cohérente la résolution des différentes questions
On vous a demandé en premier lieu :
1. Démontrez que pour tout n naturel,0 ≤ Un ≤ 2 .
Vous avez démonté cette propriété par récurrence.
Ainsi
Un < 2 est équivalent à 2 > Un
Réponse: DM suite Terminale S de titou22, postée le 12-09-2010 à 17:30:57 (S | E)
Ah j'viens de capté.
Merci à vous
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