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Montrer que OMN est triangle rectangle
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Message de isacassou posté le 23-09-2010 à 19:05:30 (S | E | F)
Bonjour,
Pourriez vous me dire si mon raisonnement est bon ?
[AB] est un segment de 6 cm de longueur et O est son milieu. M et N sont 2 points tels que OBM soit un triangle équilatéral et B est le milieu de [ON].
1) Montrer que OMN est un triangle rectangle
2) Calculer la valeur arrondie de MN au centième de cm
3) construire le cercle circonscrit à chacun des traingles AMB et OMN. On note L le deuxième point d'intersection de ces cercles.
4) Montrer que OMBL est un losange
1) Dans un triangle équilatérale les 3 angles sont égaux.
^ ^ ^
OMB = MOB = MBO = 60°
Les points AOBN sont alignés.
L'angle d'une droite est égale à 180°
180° - 60° = 120°
^
Donc MBN = 120°
On sait aussi que NB = BO = MB donc MB = NB
Donc par définition si un triangle (MNB) a 2 cotés égaux c'est un triangle isocèle donc MNB est isocèle.
On sait aussi que les 2 angles opposés d'un triangle isocèle sont égaux et qui les sommes des 3 cotés d'un triangle = 180°
^
MBN = 120°
180° - 120° = 60°
60° : 2 = 30°
^ ^
Donc BMN = BNM = 30°
Pour trouver l'angle OMN il suffit d'additionner BMN avec OMB
^ ^
OMB = 60° et BMN = 30°
60° = 30 = 90 °
Donc le triangle OMN est rectangle en M
2) [OM] est le plus grand coté
D'après le théorème de pythagore on a :
ON² = OM² + MN²
MN² = ON²-OM²
MN² = 6² - 3²
MN² = 36-9
MN² = 27
MN = V27
MN ~5.19 cm MN est égal à 5.19 cm
4) Si un quadrilatère a des diagonales qui se coupent perpendiculairement OMBL est un parallélogramme et MB = MO
M et L sont les intersections des cercles donc à égale distance et si on relie ses points le segment sera perpendiculaire à OB donc par définition.
Si un parallélogramme a 2 cotés consécutifs de meme longueur alors c'est un losange.
Merci beaucoup pour votre aide.
-------------------
Modifié par lucile83 le 23-09-2010 19:21
titre
Message de isacassou posté le 23-09-2010 à 19:05:30 (S | E | F)
Bonjour,
Pourriez vous me dire si mon raisonnement est bon ?
[AB] est un segment de 6 cm de longueur et O est son milieu. M et N sont 2 points tels que OBM soit un triangle équilatéral et B est le milieu de [ON].
1) Montrer que OMN est un triangle rectangle
2) Calculer la valeur arrondie de MN au centième de cm
3) construire le cercle circonscrit à chacun des traingles AMB et OMN. On note L le deuxième point d'intersection de ces cercles.
4) Montrer que OMBL est un losange
1) Dans un triangle équilatérale les 3 angles sont égaux.
^ ^ ^
OMB = MOB = MBO = 60°
Les points AOBN sont alignés.
L'angle d'une droite est égale à 180°
180° - 60° = 120°
^
Donc MBN = 120°
On sait aussi que NB = BO = MB donc MB = NB
Donc par définition si un triangle (MNB) a 2 cotés égaux c'est un triangle isocèle donc MNB est isocèle.
On sait aussi que les 2 angles opposés d'un triangle isocèle sont égaux et qui les sommes des 3 cotés d'un triangle = 180°
^
MBN = 120°
180° - 120° = 60°
60° : 2 = 30°
^ ^
Donc BMN = BNM = 30°
Pour trouver l'angle OMN il suffit d'additionner BMN avec OMB
^ ^
OMB = 60° et BMN = 30°
60° = 30 = 90 °
Donc le triangle OMN est rectangle en M
2) [OM] est le plus grand coté
D'après le théorème de pythagore on a :
ON² = OM² + MN²
MN² = ON²-OM²
MN² = 6² - 3²
MN² = 36-9
MN² = 27
MN = V27
MN ~5.19 cm MN est égal à 5.19 cm
4) Si un quadrilatère a des diagonales qui se coupent perpendiculairement OMBL est un parallélogramme et MB = MO
M et L sont les intersections des cercles donc à égale distance et si on relie ses points le segment sera perpendiculaire à OB donc par définition.
Si un parallélogramme a 2 cotés consécutifs de meme longueur alors c'est un losange.
Merci beaucoup pour votre aide.
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Modifié par lucile83 le 23-09-2010 19:21
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Réponse: Montrer que OMN est triangle rectangle de isacassou, postée le 24-09-2010 à 07:59:17 (S | E)
ok, je vais modifier. Merci beaucoup pour votre réponse.
Bonne journée.
Réponse: Montrer que OMN est triangle rectangle de fr, postée le 24-09-2010 à 20:41:28 (S | E)
Bonsoir,
Votre raisonnement est un peu long, on peut faire beaucoup plus simple en utilisant une propriété du triangle rectangle ...
Mais la connaissez-vous ? Dans quelle classe êtes-vous ?
RAPPEL :il est très important d'indiquer votre classe lorsque vous voulez une réponse fonction de votre niveau ...
pour la question 1)
Que peut-on dire sur les distances OB, ON et BM ?
Que peut-on dire d'un triangle dont un côté est un diamètre du cercle circonscrit ?
Conclure ...
pour la question 4) un losange est un quadrilatère dont tous les côtés sont ...
Que peut-on dire des côtés OM, MB, OL, LB ?
(en effet, quel est le centre du cercle circonscrit du triangle AMB, or L appartient à ce cercle, donc que peut-on en déduire de la distance OM et OL ? idem pour le triangle OMN ...)
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