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Fonction ln
Message de mathjulie posté le 01-01-2011 à 20:41:28 (S | E | F)
Bonjour, j'ai un exercice à faire et mais je ne suis pas sure de toutes mes réponses, pourriez vous les vérifier? Voici l'énoncé:
Soit h(x) = (lnx + xe ) / (x au carré) Dh=]0;+infini[
et i(x)= -2lnx -xe +1 Di=]0;+infini[
on entend par xe= x. exp(1)
1) Limite de i en 0 et +infini :
Réponse: par somme de limite lim i(x) quand x tend vers 0 en lui étant supérieur est +infini
par somme de limite lim de i(x) quand x tend vers +infini est -infini
2) Variation de i:
Réponse:
-2lnx est dér'ivable sur ]0;+infini[
xe est dérivable sur R
donc i est dérivable sur ]0;+infini[
i'(x)= - (2+xe) / x
or pour tout x de Di x>0 donc i' est du même signe que le numérateur
or 2+xe >0 donc -(2+xe) <0
donc i'(x) < 0
donc i est strictement décroissante sur ]0;+infini[
je dois bien mettre une double barre en 0 dans mon tableau de variation ?
3) je montre que i(a)=0, que a appartient à [0,5;1] je trouve a à 0,1 près
Ma réponse: j'utilise le théorème de la bijection et donc i(a)=0 admet une unique solution sur ]0;+infini[
ensuite j'utilise la calculatrice (méthode par balayage) et j'obtiens que 0,6
4) Tableau de signe de i
Ma réponse: sur ]0;a[ i(x) >0
sur ]a;+infini[ i(x) < 0
6) limite de h aux bornes de son ensemble de définition
Ma réponse: par quotient de limite lim de h(x) quand x tend vers 0 en lui étant supérieur est - infini
et lim de h(x) quand x tend vers + infini est 0 car:
h(x)=(1/x) ((ln x)/x) + (e/x)
et quand x tend vesr +infini lim (1/x) =0 lim (ln x /x) =0 et lim (e/x)=0
7) je dois montrer que h'(x) = ( i(x) ) / (x^3)
Ma réponse: ln x dérivable sur ]0;+infin[
xe dérivable sur r
1/(x au carré) dérivable sur R*
donc h dérivable sur ]0;+infini[
et après calcule j'ai réussi à retrouver ce qu'on veut
et ensuite je dois donner son sens de variation
Ma réponse: pour tout x appartient à Dh, x>0 donc x^3 >0
donc h' du même signe que i
donc sur ]0;a[ h'(x)>0 donc h strictement croissante
et sur ]a;+infini[ h'(x)<0 donc h strictement décroissante
et dans mon tableau de variation je mets bien la double barre en 0 ?
en fin je dois faire sa représentation graphique
Merci d'avance
Message de mathjulie posté le 01-01-2011 à 20:41:28 (S | E | F)
Bonjour, j'ai un exercice à faire et mais je ne suis pas sure de toutes mes réponses, pourriez vous les vérifier? Voici l'énoncé:
Soit h(x) = (lnx + xe ) / (x au carré) Dh=]0;+infini[
et i(x)= -2lnx -xe +1 Di=]0;+infini[
on entend par xe= x. exp(1)
1) Limite de i en 0 et +infini :
Réponse: par somme de limite lim i(x) quand x tend vers 0 en lui étant supérieur est +infini
par somme de limite lim de i(x) quand x tend vers +infini est -infini
2) Variation de i:
Réponse:
-2lnx est dér'ivable sur ]0;+infini[
xe est dérivable sur R
donc i est dérivable sur ]0;+infini[
i'(x)= - (2+xe) / x
or pour tout x de Di x>0 donc i' est du même signe que le numérateur
or 2+xe >0 donc -(2+xe) <0
donc i'(x) < 0
donc i est strictement décroissante sur ]0;+infini[
je dois bien mettre une double barre en 0 dans mon tableau de variation ?
3) je montre que i(a)=0, que a appartient à [0,5;1] je trouve a à 0,1 près
Ma réponse: j'utilise le théorème de la bijection et donc i(a)=0 admet une unique solution sur ]0;+infini[
ensuite j'utilise la calculatrice (méthode par balayage) et j'obtiens que 0,6
4) Tableau de signe de i
Ma réponse: sur ]0;a[ i(x) >0
sur ]a;+infini[ i(x) < 0
6) limite de h aux bornes de son ensemble de définition
Ma réponse: par quotient de limite lim de h(x) quand x tend vers 0 en lui étant supérieur est - infini
et lim de h(x) quand x tend vers + infini est 0 car:
h(x)=(1/x) ((ln x)/x) + (e/x)
et quand x tend vesr +infini lim (1/x) =0 lim (ln x /x) =0 et lim (e/x)=0
7) je dois montrer que h'(x) = ( i(x) ) / (x^3)
Ma réponse: ln x dérivable sur ]0;+infin[
xe dérivable sur r
1/(x au carré) dérivable sur R*
donc h dérivable sur ]0;+infini[
et après calcule j'ai réussi à retrouver ce qu'on veut
et ensuite je dois donner son sens de variation
Ma réponse: pour tout x appartient à Dh, x>0 donc x^3 >0
donc h' du même signe que i
donc sur ]0;a[ h'(x)>0 donc h strictement croissante
et sur ]a;+infini[ h'(x)<0 donc h strictement décroissante
et dans mon tableau de variation je mets bien la double barre en 0 ?
en fin je dois faire sa représentation graphique
Merci d'avance
Réponse: Fonction ln de dadil, postée le 02-01-2011 à 03:16:05 (S | E)
Salut,
Tout semble correct. Comme toute les fonctions en présence ne sont pas définies en 0, il faut bien sûr mettre les double barres.
Cordialement
Réponse: Fonction ln de mathjulie, postée le 03-01-2011 à 19:22:53 (S | E)
D'accord, merci beaucoup de votre aide
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