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Besoin d'aide, merci !
Message de cdp11 posté le 08-01-2011 à 18:18:15 (S | E | F)
Bonjour à tous !
J'ai un DM à rendre pour lundi, mais je bloque sur un exercice, s'il vous plaît, pouvez-vous m'aider?
Enoncé :
ABC est un triangle équilatéral de côté 12 cm et I est le milieu du segment [AB].
M est un point variable du segment [AI]
et N le point du segment [AB] distinct de M tel que AM=NB.
Q est le point du segment [BC]
et P est le point du segment [AC] tels que MNQP soit un rectangle.
On note f la fonction qui à x=AM(en cm) associe l'aire, en cm², du rectangle MNQP.
a) Quel l'ensemble de définition de f ?
b)-Exprimer MN, puis MP en fonction de x. En déduire l'expression algébrique de f(x).
c)Calculer f(3), puis vérifier que pour tout x de [0;6[ : f(x)-f(3) =-2√3(x-3)²
d) En déduire que f(3) est le maximum de f sur [0;6[.
e) Quelles sont les dimensions du rectangle d'aire maximale ?
Mes réponses :
a)M est un point variable du segment [AI] donc AM=[0;6]
b)calcul de MN : MN=AB-AM-NB MN=12-2x
calcul de MP :
-le triangle ACI est un triangle rectangle en I donc j'utilise le théorème de pythagore dans ce triangle
donc :
AC²=AI²+IC² 12²=6²+IC² IC²=144-36 IC²=108 IC =√108 IC =√6x6x3 IC =6√3
-J'utilise le théorème de thales dans les triangles APN et ACI :
P E[AC], M E[AI] et (PM)//(CI)
donc :
(AP/AC)=(AM/AI)=(PM/CI)
calcul de MP :
(AM/AI)=(MP/IC) (x/6)=(MP/6√3) MP=x√3
en deduire f(x) :
f(x)=(12-2x)(x√3)
Calculer f(3), puis vérifier que pour tout x de [0;6[ : f(x)-f(3)= -2√3(x-3)²
Je suis bloquée ici, j'ai vérifié que f(x)-f(3) était égal à -2√3(x-3)²,
mais je ne sais pas comment m'y prendre pour ''vérifier pour tout x de [0;6[
Ensuite on me demande:
en déduire que f(3) est le maximum de f sur [0;6[
je ne sais pas comment faire non plus,
Je vous remercie d'avance de vos réponses.
-------------------
Modifié par bridg le 09-01-2011 10:12
Corrections et mise en forme
Message de cdp11 posté le 08-01-2011 à 18:18:15 (S | E | F)
Bonjour à tous !
J'ai un DM à rendre pour lundi, mais je bloque sur un exercice, s'il vous plaît, pouvez-vous m'aider?
Enoncé :
ABC est un triangle équilatéral de côté 12 cm et I est le milieu du segment [AB].
M est un point variable du segment [AI]
et N le point du segment [AB] distinct de M tel que AM=NB.
Q est le point du segment [BC]
et P est le point du segment [AC] tels que MNQP soit un rectangle.
On note f la fonction qui à x=AM(en cm) associe l'aire, en cm², du rectangle MNQP.
a) Quel l'ensemble de définition de f ?
b)-Exprimer MN, puis MP en fonction de x. En déduire l'expression algébrique de f(x).
c)Calculer f(3), puis vérifier que pour tout x de [0;6[ : f(x)-f(3) =-2√3(x-3)²
d) En déduire que f(3) est le maximum de f sur [0;6[.
e) Quelles sont les dimensions du rectangle d'aire maximale ?
Mes réponses :
a)M est un point variable du segment [AI] donc AM=[0;6]
b)calcul de MN : MN=AB-AM-NB MN=12-2x
calcul de MP :
-le triangle ACI est un triangle rectangle en I donc j'utilise le théorème de pythagore dans ce triangle
donc :
AC²=AI²+IC² 12²=6²+IC² IC²=144-36 IC²=108 IC =√108 IC =√6x6x3 IC =6√3
-J'utilise le théorème de thales dans les triangles APN et ACI :
P E[AC], M E[AI] et (PM)//(CI)
donc :
(AP/AC)=(AM/AI)=(PM/CI)
calcul de MP :
(AM/AI)=(MP/IC) (x/6)=(MP/6√3) MP=x√3
en deduire f(x) :
f(x)=(12-2x)(x√3)
Calculer f(3), puis vérifier que pour tout x de [0;6[ : f(x)-f(3)= -2√3(x-3)²
Je suis bloquée ici, j'ai vérifié que f(x)-f(3) était égal à -2√3(x-3)²,
mais je ne sais pas comment m'y prendre pour ''vérifier pour tout x de [0;6[
Ensuite on me demande:
en déduire que f(3) est le maximum de f sur [0;6[
je ne sais pas comment faire non plus,
Je vous remercie d'avance de vos réponses.
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Modifié par bridg le 09-01-2011 10:12
Corrections et mise en forme
Réponse: Besoin d'aide, merci ! de dadil, postée le 09-01-2011 à 12:00:45 (S | E)
Bonjour,
Tu as fait l'essentiel en trouvant l'expression de f(x)
Pour f(3) il suffit de remplacer x par 3 dans l'expression de f.
Pour montrer que f(3) est un maximum, il suffit de voir le signe (immédiat) de f(x) - f(3), signe valable quelle que soit la valeur de x.
Une dernière remarque concernant le domaine de définition, pour x= 0 ou x= 6, le rectangle est "aplati" d'aire égale à zéro, pas de contradiction avec l'expression de l'aire. Ainsi tu gardes les deux valeurs ou tu écartes les deux, tu ne peux en prendre une et écarter l'autre comme tu as fait.
Cordialement
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