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DM/ équation différentielle
Message de laury97 posté le 09-01-2011 à 18:53:24 (S | E | F)
Bonjour.
J'ai vraiment besoin d'aidesvp s'il vous plaît, je suis complètement largué perdu en plus ya je ne trouve pas une seule personne pour m'aider.
Merci à vous.
Exercice 1
A. On considère l’équation différentielle . (E) : y′ + y = e−x (-x en exposant)
1. Montrer que la fonction u : x → xe−x (-x en exposant) définie sur R est solution de l’équation différentielle (E)
2. On considère l’équation différentielle (E’) : y′ + y = 0. Résoudre l’équation différentielle (E’)
3. Soit v une fonction définie et dérivable sur R .Montrer que la fonction v est solution de l’équation
différentielle (E) si et seulement si la fonction v − u est solution de l’équation différentielle (E’)
4. En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle (E)
5. Déterminer l’unique solution g de (E) telle que g(0) = −3
B. On considère la fonction fk définie sur R par fk(x) = (x + k)e−x (-x en exposant) où k est un nombre réel donné.
On note Ck la courbe représentative de la fonction fk dans un repère orthogonal.
1. Montrer que la fonction fk admet un maximum en x = 1 − k
2. On note Mk le point de la courbe Ck d’abscisse 1 − k. Montrer que le point Mk appartient à la
courbe �� d’équation y = e−x (-x en exposant)
3. Étudier la fonction g définie sur R par g(x) = (x − 3)e−x (-x en exposant)
(Étude complète : limites , variations puis courbe ; libre à vous de rechercher des points particuliers
avec leurs tangentes)
Exercice 2
1. En posant z = a + ib Résoudre dans C l’équation z²
− 4z = 2z − 8
2. Placer les points dont les affixes sont solutions de l’équation en justifiant votre construction
(sous entendu : vous ne devez pas vous contenter de valeurs approchées)
Exercice 3
1. On considère la suite (Un) définie par : U0 = 0 et pour tout n ∈ N Un+1 = −2/3.Un + 10
On pose , pour tout entier naturel n, Vn = Un − 6
(a) Pour tout entier naturel n calculer Vn+1 en fonction de Vn. Quelle est la nature de la suite
(Vn) ?
(b) Exprimer Vn en fonction de n puis Un en fonction de n
(c) Étudier la convergence de la suite (Un)
2. On considère la suite (Wn) dont les termes vérifient , pour tout entier naturel non nul
nWn = (n + 1)Wn−1 + 1 et W0 = 1
(a) Calculer les premiers termes de cette suite
(b) Conjecturer la nature de cette suite
(c) Démontrer par récurrence cette conjecture
-------------------
Modifié par bridg le 09-01-2011 18:54
Message de laury97 posté le 09-01-2011 à 18:53:24 (S | E | F)
Bonjour.
J'ai vraiment besoin d'aide
Merci à vous.
Exercice 1A. On considère l’équation différentielle . (E) : y′ + y = e−x (-x en exposant)
1. Montrer que la fonction u : x → xe−x (-x en exposant) définie sur R est solution de l’équation différentielle (E)
2. On considère l’équation différentielle (E’) : y′ + y = 0. Résoudre l’équation différentielle (E’)
3. Soit v une fonction définie et dérivable sur R .Montrer que la fonction v est solution de l’équation
différentielle (E) si et seulement si la fonction v − u est solution de l’équation différentielle (E’)
4. En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle (E)
5. Déterminer l’unique solution g de (E) telle que g(0) = −3
B. On considère la fonction fk définie sur R par fk(x) = (x + k)e−x (-x en exposant) où k est un nombre réel donné.
On note Ck la courbe représentative de la fonction fk dans un repère orthogonal.
1. Montrer que la fonction fk admet un maximum en x = 1 − k
2. On note Mk le point de la courbe Ck d’abscisse 1 − k. Montrer que le point Mk appartient à la
courbe �� d’équation y = e−x (-x en exposant)
3. Étudier la fonction g définie sur R par g(x) = (x − 3)e−x (-x en exposant)
(Étude complète : limites , variations puis courbe ; libre à vous de rechercher des points particuliers
avec leurs tangentes)
Exercice 2
1. En posant z = a + ib Résoudre dans C l’équation z²
− 4z = 2z − 8
2. Placer les points dont les affixes sont solutions de l’équation en justifiant votre construction
(sous entendu : vous ne devez pas vous contenter de valeurs approchées)
Exercice 3
1. On considère la suite (Un) définie par : U0 = 0 et pour tout n ∈ N Un+1 = −2/3.Un + 10
On pose , pour tout entier naturel n, Vn = Un − 6
(a) Pour tout entier naturel n calculer Vn+1 en fonction de Vn. Quelle est la nature de la suite
(Vn) ?
(b) Exprimer Vn en fonction de n puis Un en fonction de n
(c) Étudier la convergence de la suite (Un)
2. On considère la suite (Wn) dont les termes vérifient , pour tout entier naturel non nul
nWn = (n + 1)Wn−1 + 1 et W0 = 1
(a) Calculer les premiers termes de cette suite
(b) Conjecturer la nature de cette suite
(c) Démontrer par récurrence cette conjecture
-------------------
Modifié par bridg le 09-01-2011 18:54
Réponse: DM/ équation différentielle de walidm, postée le 09-01-2011 à 19:37:43 (S | E)
Bonjour.
Montre ce que tu as trouvé. On verra où sont tes difficultés.
Réponse: DM/ équation différentielle de taconnet, postée le 11-01-2011 à 09:53:37 (S | E)
Bonjour.
Vous avez écrit :
Exercice 2
1. En posant z = a + ib. Résoudre dans C l’équation z²− 4z = 2z − 8
Êtes-vous sûr qu'il s'agit de cette équation ?
z² -4z = 2z -8 <══> z(z -4) = 2(z -4) <══> (z -4)(z -2) = 0
Donc 2 solutions réelles
z = 2 et z = 4 !
Ainsi la question suivante :
2. Placer les points dont les affixes sont solutions de l’équation en justifiant votre construction
(sous entendu : vous ne devez pas vous contenter de valeurs approchées)
est dénuée de sens.
Exercice I
Voici un lien:
Lien Internet
Exercice III
Calculer Vn+1
Vn+1 = Un+1 - 6
or
Un+1 = (-2/3)Un + 10 = (-2/3)( Vn + 6) + 10 = (-2/3) Vn + 6
en remplaçant Un+1 par cette valeur dans l'égalité précédente vous obtenez une relation entre Vn et Vn+1
Il s'agit bien d'une progression géométrique.
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